用绝对值几何意义求一类代数式最小值

奚雯燕

【摘要】 绝对值是七年级上的内容.数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.从概念中可以获知，绝对值是一个值，体现了代数的特征;绝对值表示一段距离，距离是几何的内容.因此绝对值是代数与几何的结合体，可以实现数与形之间的转换，数形结合在绝对值这个载体上得到了充分的诠释.本文主要利用绝对值的几何意义来快速解决某一类代数式最小值问题.

【关键词】 数形结合;绝对值;最小值

1 供应站问题

问题1 如图1，在一条直线的流水线l上，有一台机床A，旁边有1名工人，现要在流水线上设置一个零件供应站P，建在哪里可使这名工人到它的距离最小？

分析 显然P应放在A处，距离最小，最小值为0.

问题2 如图2，在一条直线的流水线l上，有两台机床A，B，每台机床各有1名工人，现要在流水线上设置一个零件供应站P，建在哪里可使2名工人到它的距离之和最小？

分析 点A，B把直线分成3段，分别进行比较.

①如图3，当点P在点A左侧时，PA+PB>AB;

②如图4，当点P在点A，B之间时（包括A，B），PA+PB=AB;

③如图5，当点P在点B右侧时，PA+PB>AB.

综上所述，当点P在线段AB上（包括端点），P到A，B两点的距离和最小，最小值为AB长.

问题3 如图6，在一条直线的流水线l上，有三台机床A，B，C，每台机床各有1名工人，现要在流水线上设置一个零件供应站P，建在哪里可使3名工人到它的距离之和最小？

分析 点A，B，C把直线分成4段，分别进行比较.

①如图7，当点P在点A左侧时，PA+PB+PC>AB+AC;

②如图8，当点P在点A，B之间时（包括A，B），PA+PB+PC≥AC，当P与B重合时等号成立;

③如图9，当点P在点B，C之间时（包括B，C），PA+PB+PC≥AC，当P与B重合时等号成立;

④如图10，当点P在点C右侧时，PA+PB+PC>BC+AC.

0

综上可知，当点P在点B处时，P到A，B，C三点的距离和最小，最小值为AC长.

问题4 如图11，在一条直线的流水线l上，有四台机床A，B，C，D，每台机床各有1名工人，现要在流水线上设置一个零件供应站P，建在哪里可使4名工人到它的距离之和最小？

1

分析 点A，B，C，D把直线分成5段，分别进行比较.

①如图12，当点P在点A左侧时，PA+PB+PC+PD>AB+AC+AD;

2

②如图13，当点P在点A，B之间时（包括A，B），PA+PB+PC+PD=（PA+PD）+（PB+PC）≥ AD+BC，當P与B重合时等号成立;

3

③如图14，当点P在点B，C之间时（包括B，C），PA+PB+PC+PD=BC+AD;

4

④如图15，当点P在点C，D之间时（包括C，D），PA+PB+PC+PD=（PA+PD）+（PB+PC）≥AD+BC，当P与C重合时等号成立;

5

⑤如图16，当点P在点D右侧时，PA+PB+PC+PD>DA+DB+DC.

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综上可知，当点P在线段BC上（包括端点B、C），P到A，B，C，D四点的距离和最小，最小值为BC+AD.

2 模型提炼

问题5 根据上述几个问题的探索结果，若流水线l上有五台机床，零件供应站应建在哪里？如果是六台机床呢？

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分析 从问题1和问题3，可以发现，当流水线上有奇数个点时，供应站建在最中间一个点，所以当有五台机床时，供应站设置在第三台机床处.从问题2和问题4，可以发现，当流水线上有偶数数个点时，供应站设置在最中间一段上（包括两个端点），所以当有六台机床时，供应站设置在第三台与第四台机床之间，包括两个机床.

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问题6 若在一条直线的流水线l上，有2n+1台机床，n是正整数，每台机床各有1名工人，现要在流水线上设置一个零件供应站P，建在哪里可使n名工人与它的距离之和最小？

分析 设从左至右机床依次是A1，A2，A3，…，A2n+1，当n是正整数时，2n+1是奇数，P应设置在“最中间”一点，即An+1处.

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问题7 若在一条直线的流水线l上，有2n台机床，n是正整数，每台机床各有1名工人，现要在流水线上设置一个零件供应站P，建在哪里可使n名工人与它的距离之和最小？

分析 设从左至右机床依次是A1，A2，A3，…，A2n，当n是正整数时，2n是偶数，P应设置在“最中间”一段，即线段AnAn+1上，包括两个端点.

0

模型 一条直线l上从左至右有A1，A2，A3，…，An这n个点，在直线l上取点P，要使得P到这n个点的距离之和最小，P点应设置在直线l的“最中间”处.

注 这个“最中间”是相对n个点讲的，类似于找中位数的方法.若n是奇数，“最中间”就是第n+12个点，即点An+12;若n是偶数，“最中间”就是第n个和第n+1个这两个点之间的部分，即线段AnAn+1，包括两个端点.

3 几个绝对值的和

数轴上点A，B分别表示a，b，则AB=|a-b|;反之|a-b|的意义是数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离.特别是后半句，实现了代数问题向几何问题的转化，这样的转化可以快速解决某类问题.

问题8 求|x-1|+|x-2|的最小值，并说出此时x满足的条件.

分析 |x-1|的几何意义是数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离，|x-2|的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离.也就是数轴上有两个定点A，B，分别表示1和2，现在要找一个点P，使得P到A，B两点的距离之和最小.按照模型，两个定点的“最中间”就是线段AB，当点P放在线段AB上，即1≤x≤2时P点到A，B两点距离之和最小，最小值就是线段AB的长，最小值为1.

问题9 求|x+1|+|x-2|+|x-4|的最小值，并说出此时x满足的条件.

分析 |x+1|的几何意义是数轴上表示x的点与表示-1的点之间的距离，|x-2|的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离，|x-4|的几何意义是数轴上表示x的点与表示4的点之间的距离.也就是数轴上有三个定点A，B，C，分别表示-1，2和4，现在要找一个点P，使得P到A，B，C三点的距离之和最小.按照模型，三个定点的“最中间”就是点B，当点P放在点B处，即x=2时点P到A，B，C三点的距离之和最小，最小值就是线段AC的长，最小值为5.

问题10 求2|x+1|+|x-2|+|x-4|的最小值，并说出此时x满足的条件.

分析 2|x+1|+|x-2|+|x-4|=|x+1|+|x+1|+|x-2|+|x-4|.

数轴上有四个定点A，B，C，D，分别表示-1，-1，2和4，现在要找一个点P，使得P到A，B，C，D四点的距离之和最小.按照模型，四个定点的“最中间”就是线段BC，当点P放在线段BC上，即-1≤x≤2时点P到A，B，C，D四点的距离之和最小，最小值为BC+AD=8.

结论1 |x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+…+|x-an|（a1≤a2≤a3≤…≤an）：

（1）若n为奇数，则当x=an+12时（取中心点），代数式的值最小;

（2）若n为偶数，則当an2≤x≤an2+1时（取中心区域），代数式的值最小.

证明 （1）当n=2k-1时，k为正整数

|x-a1|+|x-a2k-1|≥a2k-1-a1，

当a1≤x≤a2k-1时，等号成立;

|x-a2|+|x-a2k-2|≥a2k-2-a2，

当a2≤x≤a2k-2时，等号成立;

…

|x-ak-1|+|x-ak+1|≥ak+1-ak-1，

当ak-1≤x≤ak+1时，等号成立;

|x-ak|≥0，当x=ak时，等号成立.

把这k个式子相加得，

|x-a1|+|x-a2|+…+|x-a2k-1|≥a2k-1+a2k-2+…+ak+1-a1-a2-1…-ak-1（*）

当a1≤x≤a2k-1，a2≤x≤a2k-2，…，ak-1≤x≤ak+1，x=ak同时成立时，（*）取等号，即最小值，此时x=ak=an+12.

（2）当n=2k时，k为正整数

|x-a1|+|x-a2k|≥a2k-a1，

当a1≤x≤a2k时，等号成立;

|x-a2|+|x-a2k-1|≥a2k-1-a2，当a2≤x≤a2k-1时，等号成立;

…

|x-ak|+|x-ak+1|≥ak+1-ak，当ak≤x≤ak+1时，等号成立.

把这k个式子相加得，

|x-a1|+|x-a2|+…+|x-a2k|≥a2k+a2k-1+…+ak+1-a1-a2-…-ak（*）

当a1≤x≤a2k，a2≤x≤a2k-1，…，ak≤x≤ak+1同时成立时，（*）取等号，即最小值，此时ak≤x≤ak+1（an2≤x≤an2+1）.

问题11 求12x+1+13x-2的最小值，并说出此时x满足的条件.

分析 12x+1+13x-2=12|x+2|+13|x-6|=16（3|x+2|+2|x-6|）.只要求出3|x+2|+2|x-6|的最小值，问题就能解决了.

按照问题10的思路，3|x+2|+2|x-6|=|x+2|+|x+2|+|x+2|+|x-6|+|x-6|，数轴上有五个定点A，B，C，D，E，分别表示

-2，-2，-2，6和6.

按照模型，五个定点的“最中间”就是点C，当点P放在点C处，即x=-2时点P到A，B，C，D，E五点的距离之和最小，最小值为

BD+AE=16.

于是12x+1+13x-2的最小值为83.

结论2 对于求代数式|b1x-a1|+|b2x-a2|+|b3x-a3|+…+|bnx-an|的最小值问题，我们先将代数式转化为特殊形式d（|x-c1|+|x-c2|+|x-c3|+…+|x-cm|）（c1≤c2≤c3≤…≤cm），然后通过结论1所述方法求解.

4 解决问题

某公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人.三个区在一条直线上，位置如图21所示.公司打算在其间只设一个停靠点，要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在哪里？

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分析 此问题可以转化为几个绝对值和的最小问题.将这条直线看作数轴，A为原点，100米为一个单位长度，则B表示100，C表示300，停靠点表示数x，路程和表示为

|x|+…+|x|30个+

|x-100|+…+|x-100|15个+

|x-300|+…+|x-300|10个.

因为0≤…≤030个≤100≤…≤10015个≤300≤…≤30010个，55个数“最中间”是第28个数0，因此所以当停靠点设在点A处，可使距离和最小，最小值为

15×100+10×300=4500米.

注 停靠站建在哪里，只和点的个数有关，与相邻点之间的距离无关.