三角形内切圆的半径公式及其应用

彭长军

【摘要】 任何三角形都有唯一的内切圆，该圆的圆心就是三内角平分线的交点，半径就是圆心到三边的距离，其大小不仅与三角形的周长有关，而且还与三角形的面积有关，在许多与内切圆有关的三角形问题中都会涉及到半径，因此，本文首先推导出三角形内切圆的半径公式，然后举例予以说明.

【关键词】 三角形;内切圆;半径;应用

如图1，设△ABC的三边长分别为BC=a，CA=b，AB=c，半周长为p=a+b+c2，内切圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，圆O的半径为r，连接OD，OE，OF，OA，OB，OC，则

OE⊥BC，OF⊥AC，OD⊥AB.

且OD=OE=OF=r.

于是S△ABC=S△OBC+S△OCA+S△OAB

=12ar+12br+12cr

=12（a+b+c）r

=pr，

由此可得三角形內切圆的半径

r=S△ABCp.①

如图2，设直角△ABC的两直角边长分别为BC=a，CA=b，斜边AB=c，内切圆O与AB，BC，CA分别相切于D，E，F，圆O的半径为r.连接OE，OF，则四边形OECF为正方形.

设BE=BD=x，

AD=AF=y，

则x+r=a，y+r=b，x+y=c，

由此可得直角三角形内切圆的半径

r=a+b-c2=a+b+c2-c=p-c，

其中p为半周长.

由公式①及直角三角形的面积公式S=12ab，得直角三角形内切圆半径r=aba+b+c，

其中a，b为两直角边长，c为斜边长.

下面举例予以说明.图3

例1 在△ABC中，已知AB=8，BC=15，∠B=60°，求△ABC的内切圆的面积.

解法1 如图3，过A作AD⊥BC于D，

则AD=ABsin60°=43，

BD=ABcos60°=4，

所以DC=11，

从而AC=AD2+DC2=13，

所以S△ABC=12BC·AD=303.

设△ABC的内切圆半径为r，则

r=2S△ABCAB+BC+CA=6038+15+13=533，

所以△ABC的内切圆的面积为πr2=253π.

解法2 因为S△ABC=12AB·BCsin60°

=303，

所以内切圆半径为r=2S△ABCAB+BC+CA=533，

其面积为253π.

注 因为AD=ABsinB，

所以S△ABC=12BC·AD=12BC·ABsinB，

同理可得S△ABC=12BC·ACsinC

=12AC·ABsinA，

即三角形的面积等于两边与其夹角正弦乘积的一半.

例2 已知等腰三角形的顶角为120°，内切圆的面积为12πcm2，求这个等腰三角形的各边的长.

解 易知内切圆半径为23cm.

设等腰三角形的腰长为xcm，则其

底边长为2xsin60°=3x（cm），

底边上的高为x2cm，

所以12×3x×x2=12（2+3）x×23，

即x=8+43，

所以这个等腰三角形的各边长分别为

8+43cm，12+83cm，8+43cm.

例3 已知Rt△ABC的周长为6+23，斜边上的中线长为2，求其内切圆半径长r.

解 易知斜边长为4，半周长为3+3，

所以r=3+3-4=3-1.

例4 在△ABC中，∠C=90°，若此三角形的面积与其周长的数值相等，求a+b-c的值.

解 设内切圆半径为r，

则pr=2pr=2，

所以a+b-c=2r=4.

例5 在△ABC中，三边上的高分别为ha，hb，hc，内切圆半径为r，求证：1r=1ha+1hb+1hc.

证明 因为

S△ABC=pr=12aha=12bhb=12chc，

所以1ha=a2pr，1hb=b2pr，1hc=c2pr，

所以1ha+1hb+1hc=a2pr+b2pr+c2pr

=a+b+c2pr

=2p2pr=1r.

例6 已知△ABC的内切圆的半径r=3，且∠B=60°，BC=8，求AB和AC的长.

解 如图4，因为

OE=3，

∠OBE=30°，

所以BE=3，

CE=8-3=5，

由切线长定理知 BD=3，CF=5.

设AD=AF=x，则半周长p=x+8.

由S△ABC=12AB·BCsin60°=pr，得x=2，

所以AB=x+3=5，

AC=x+5=7.

例7 求边长分别为6cm，8cm，10cm的三角形的内心与外心间的距离.

解 显然三角形为直角三角形.

如图，设O是内心，G为外心，AC=6，

BC=8，

AB=10.

因为OD=12（BC+CA-AB）

=12（6+8-10）

=2，

所以AD=AF=AC-CF=6-2=4，

所以DG=5-4=1，

所以OG=22+12=5.