基于数据分析素养培养的数学教学设计

【摘要】数据分析是指针对研究对象收集数据，运用数学方法对数据进行处理、分析和推断，形成关于研究对象的知识的素养。数据分析素养是高中生应具备的重要数学学科素养，高中数学教师在进行教学设计时应注意以培养学生的数据分析素养为目标，在数学教学环节中渗透数据分析方法，从而提高学生的数学解题能力。文章基于数据分析素养的培养，设计了“总体百分位数的估计”的教学案例，以期提高学生的数学思维能力。

【关键词】百分位数;数据分析;核心素养;数学教学

【基金项目】本文系山东省教育科学“十三五”规划一般课题“面向新高考数据分析素养教学案例库建设研究”的研究成果（批准号：2020YB077）。

作者简介：魏晓（1992—），女，山东省淄博市淄博实验中学。

在高中数学教学中，培养高中生的数据分析能力非常重要，高中数学教师应基于数据分析素养的培养进行数学教学的设计，进一步提高高中生的数学解题能力。接下来，笔者以“总体百分位数的估计”的教学设计为例，阐述如何在数学教学过程中渗透数据分析方法。该课位于新人教A版（2019）必修数学教材第二册第九章“统计”中的第二单元“用样本估计总体”的第二小节，要求学生学会估计总体百分位数，从而提高数据分析与统计能力。

【学情分析】

在知识层面，学生在初中已经学习了中位数的概念，初步了解用样本估计总体的思想。此外，学生通过学习该章节之前的内容，已经掌握了对总体取值的估计。但是百分位数作为新课标新添加的内容，其定义学生不太容易理解，通过整理好的图表求解百分位数对学生来说也有一定的难度。

在能力上，高一下学期的学生通过一个半学期的学习，已经具备了一定的知识基础、良好的自主学习能力和小组合作探究能力，但数据分析能力还需进一步培养。

【教学目标】

结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义，正确运用数据分析的方法解决简单的实际问题，提升数据分析核心素养。

【教学重点、难点】

教学重点：结合实例用样本估计总体百分位数，求一组数据的百分位数。

教学难点：理解百分位数的统计含义，并能解决简单的实际问题。

【教学过程设计】

（一）情境引入

师：同学们，上节课为了让大家体会统计与生活的联系，老师给大家布置了任务，搜集百分位数在实际生活中的应用案例，哪位同学愿意跟大家分享自己的成果？

学生展示的成果：

1.高等院校的入学考试成绩经常以百分位数的形式做成报告;

2.人体尺寸百分位数在产品设计中的应用（如衣服、家具等）;

3.百分位数常用于医学参考值范围的制订，例如用多指标百分位数法确定医学参考值;

4.用于身体质量指数（Body Mass Index，缩写BMI）的制订;

5.用于T标准分百分位数评价表的制订及应用。

师：通过大家的展示我们可以看出，百分位数的应用非常广泛，我们本节课就来深入学习百分位数的概念，学会由样本数据估计总体数据的百分位数，正确运用数据分析的方法解決实际生活中的问题。

设计意图：学生通过课前搜集资料，可以初步了解百分位数在实际生活中的应用，理解用统计方法解决实际问题的必要性，从而领悟数据分析的重要性。

问题思考：

某水果店店长近期遇到这样的问题：一次进货太多，水果会变得不新鲜;进货太少，又不能满足顾客的需求。店长希望每天的水果尽量新鲜，又能满足顾客的需求（满足程度80%），为此记录了本店6月共30天以来某种水果的日销售情况（单位为kg），分别如下：

75、83、93、107、89、99、91、117、96、85、99、100、87、94、107、70、55、74、94、84、96、80、101、85、80、85、84、75、104、97。

请问要想满足店长的期望，该水果每天需要进多少千克？

思考过程：教师给学生预留时间自主思考再合作探究，之后教师引导学生把店长期望满足顾客需求的程度改为50%，这时学生应该会想到中位数，然后把30个样本数据从小到大排序，使不超过中位数的数据占50%，大于或等于中位数的数据占50%。按照这样的方法，要满足店长的期望，则需把30个样本数据从小到大排序，得到第24个和第25个的数据是99和100，取这两个数的平均数=99.5，99.5即这组数据的第80百分位数，或80%分位数。因此可以建议店长该水果每天进99.5kg。

进一步思考：你认为99.5kg这个标准一定能够保证店长的期望得到满足吗？如果不一定，那么哪些环节可能会导致结论出现误差？

教师引导学生得出结论：99.5kg是来自样本观测的数据，只是总体80%分位数的一个估计值，抽样方法和样本的随机性都可能导致总体百分位数的误差。

设计意图：通过生活实际问题让学生理解数据分析在生活中的重要性，通过进一步的引申思考让学生意识到统计数据可能会出现误差，从而提升学生的数据分析核心素养。

（二）概念形成

师：刚才我们给出了第80百分位数的概念，你能否类比得出第p百分位数的概念？

师生共同探讨得出第p百分位数的概念：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，一组数据中至少有p%的数据小于或等于它，且至少有（100-p）%的数据大于或等于这个值。

师生共同总结出计算一组 n 个数据的第 p 百分位数的步骤：

1.将原始数据从小到大排列;

2.计算i=n×p%;

3.若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据;若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数。

师生总结百分位数的概念：

1.直观理解：把一组数据从小到大排列，百分位数把它们分成相应百分比的两部分;

2.任何一组数据都存在任意百分位数;

3.定义中所有的不等关系都是带等号的，如至少、小于或等于、大于或等于。

教师给学生补充几个重要的百分位数：

1.中位数，相当于是第50百分位数;

2.第25百分位数、中位数（第50百分位数）、第75百分位数，这3个分位数把一组由小到大排列的数据分成4等份，因此称为四分位数。其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数。

3.第1百分位数、第5百分位数、第95百分位数和第99百分位数，在统计中也经常被使用，比如医学参考值的范围制订。

设计意图：让学生掌握百分位数的概念及求解百分位数的方法。

（三）典例分析，巩固练习

例题：如下是我校25名男生BMI的样本数据，估计我校高一男生BMI的第20、50、75百分位数。

23.5、22.1、20.6、21.5、27.0、18.0、17.0、29.1、30.5、27.8、22.6、22.3、20.8、17.9、19.3、21.1、19.7、23.6、18.7、25.5、16.6、19.8、21.4、22.7、24.1。

解答：把25个样本数据从小到大顺序排序如下：

16.6、17.0、17.9、18.0、18.7、19.3、19.7、19.8、20.6、20.8、21.1、21.4、21.5、22.1、22.3、22.6、22.7、23.5、23.6、24.1、25.5、27.0、27.8、29.1、30.5。

由20%×25=5，50%×25=12.5，75%×25=18.75，可知这些数据的第20、50、75百分位数为第5与6项数据的平均数，第13项与第19项数据的平均数，计算得出=19.0、21.5、23.6。据此可以估计我校高一男生的BMI的第20、50、75百分位数分别约为19.0、21.5、23.6。

练习：求下列数据的20%分位数、25%分位数、50%分位数。

40、40、35、50、55、45、42、50、51、42。

解：以上数据从小到大的顺序排列为35、40、40、42、42、45、50、50、51、55。

由10×20%=2，10×25%=2.5，10×50%=5可知，这

10个数据的20%分位数是=40，25%分位数是40，50%分位数是=43.5。

设计意图：通过例题和练习引导学生总结百分位数的特点。

1.数据组中的最小数为第0百分数，数据组中的最大数为第100百分位数;

2.一组数据的百分位数既可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数;

3.一组数据的某些百分位数可能是同一个数。

（四）课堂练习

1.根据近期的流行病学的调查，新型冠状病毒潜伏期多在1—14天，一般不超过2周，下图为抽取的420例新冠患者的潜伏期（天）的统计结果，计算这组数据的75%分位数。

2.下面是从我校2020级19班和2020级20班某次考试的数学成绩中分别抽取的10个样本数据，请用自己所学的知识分析两个班的数学成绩情况。

2020级19班：130、96、83、105、95、128、121、105、102、105。

2020级20班：117、98、71、117、131、80、116、103、110、95。

设计意图：课堂练习根据生活中的实际数据编制，让学生通过解决生活中的实际问题巩固所学知识，提升数据分析能力。

（五）课堂小结

师：请大家分享一下本节课你收获了哪些数学知识和数学思想。

设计意图：让学生自我总结，分享自己在数学知识、数学思想方面的收获和感悟。

（六）课后作业

1.必做题：课本P203练习1和2;P223复习参考题10和11。

2.选做题：尝试用电子软件计算一组数据的百分位数。

设计意图：布置分层作业，必做题面向全体学生，提升学生解决问题的能力，培养数据分析素养;选做题面向学有余力的学生，进一步发展学生的数据分析素养。

（七）课后反思

百分位数与现实生活中很多问题都有密切的联系，例如医学中的参考值的设定、产品设计、教育教学分析等，《普通高中数学课程标准（2017年版）》中新增了“总体百分位数估计”这一内容是非常有必要的。该节课的主要任务是让学生理解百分位数的定义，掌握用样本数据估计总体百分位数的方法并用来解决实际生活中的相关问题。在教学设计中，教师结合生活实际中的例子，更能让学生体会到百分位数估计的重要性。在教学中，教师展示了学生课前自己去搜集的百分位数应用的案例，能够让学生了解百分位数应用的广泛性，也有利于激发学生的学习动力，使得学生对学习该节的知识产生兴趣，从而积极主动地参与学习。教师没有直接用课本的例子，而是将它们改编成了更为贴近学生生活的例子，从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型进行解释与应用的过程，进而使学生在思维能力、情感态度与价值观念等方面得到进步与发展。课堂练习用生活中的数据改编，可以让学生用数学的眼光看世界，通过让学生自己分析数据求解百分位数，提升数据分析核心素养。以上是该次教学设计比较成功的地方。

数据分析主要表现为收集和整理数据，理解和处理数据，获得和解释结论，概括和形成知识。然而该节课例题和练习中的数据大多都是已经处理好的，主要是让学生分析数据、解释结论，在让学生收集、整理数据方面有所欠缺。这是该次教学设计的不足。笔者认为，教师可以布置一个开放性的实践题目，让学生自己选择一个方向，自主设计问题、收集数据、提出问题、解决问题，从而更加深入了解百分位数，提升学生的数据分析素养。

【参考文献】

[1]張唯一.立足统计学科本质 积累数据分析经验：对“总体百分位数的估计”一课的思考[J].中国数学教育，2021（08）：63-64.

[2]李德平.“总体百分位数的估计”教学设计

[J].中国数学教育，2021（08）：58-62.

[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[4]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《普通高中数学课程标准（2017年版）解读》[M].

北京：高等教育出版社，2018.