数形结合思想在初中数学解题中的若干应用

管卫伟

数形结合思想方法的掌握无论是对一个中学生来说还是其他义务教育阶段的学生来讲，都是尤为重要的。这种方法有助于教师在讲解过程中展开教学，既可将知识点化繁为简，又可以让学生更好地理解数学问题[1]。将抽象、复杂的问题简化，从而不断增强学生数学思维的转化与逻辑思维能力，准确地理解并掌握问题的本质;采取数形结合思想来求解比较烦琐、抽象的题目，这个过程能够帮助学生一步一步养成好的思维习惯，帮助他们记住并掌握所学的知识，培养其数形结合的思维和发散性思维，让学生在学习此方法时不断总结和归纳解题的对策。

一、以“形”助“数”

在初中数学解题过程中，会发现题中存在许多有关代数式的问题。由于初中阶段的学生空间想象力较弱，无法通过转换自己的思维解决这类问题，这时教师需要在课堂上对学生加以引导、启发，使学生能够自主地借助自己的空间想象力以及数形结合的思想来解决[2]。运用这种“以形助数”的方法来解决此类问题尤为必要。

例如，数形结合解决三角形的构成问题。∠BAC=30°，AB=10。现请你给定线段BC的长，使构成的△ABC能唯一确定。你认为BC的长可以是_______，________。

分析求解：观察题目信息，这是一个求解代数式的问题，并且这是一个关于三角形的构成问题，需要结合图形进一步解决。学生在做此类问题时可以通过动手摆动三根木棒，发现不是任意的三根木棒都能使它构成一个封闭的三角形，运用木棒可以将抽象的问题转变成更形象的问题得以解决。

当BC<5时，不能构成△ABC;

当BC=5时，构成的△ABC能唯一确定;

当时5当BC≥10时，构成的三角形能唯一确定;

综上所述，当BC=5或BC≥10时，构成的△ABC能唯一确定。

二、以“数”解“形”

数形结合可以将难以解决的数学问题轻而易举地解决。让我们获取更多的信息及知识，进而运用“数”使图形精确化。

初中数学学习中，有许多关于图形与数字结合需要运用数形结合思维来解决的数学问题，可以运用平面直角坐标系和思维方法，解决有关三角形构成的相关问题、借助勾股定理来证明直角三角形的问题以及求解一个函数的解析式与图象性质的问题等。这些问题具有高度的抽象性，学生需要有一定的抽象思维和空间想象力，运用以數解形的方法解决数学问题。

例如，探究数字变化的问题。如图1所示，把形状大小相同的小石子摆放成如下图所示，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要小石子的总数是多少？

分析求解：首先对这个问题进行分析并观察这几个图形，发现都是规则的特殊图形，并且每个图形小石子的总数为每条边上小石子的颗数乘以边数，但各条边的顶点重复了一次，为保证不重复应该减去重复顶点位置的小石子，第一个图形是一个规则图形即三角形，通过数边共有3条边上有小石子，每条边上有2颗小石子，一共重复了3颗小石子，需要小石子的总数为（2×3-3）颗。

第二个图形是一个规则的四边形，通过数边共有4条上有小石子，每条边上有3颗小石子，一共重复了4颗小石子，需要小石子为（3×4-4）颗。

第三个图形是一个规则的五边形，通过数边共有5条边上有小石子，每条边上有4颗小石子，一共重复了5颗小石子，需要小石子为（4×5-5）颗。

按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要小石子的颗数是（n-1）（n+2）-（n+2）=n（n+2）。

故答案为n（n+2）=n2+2n。

综上分析，在初中数学问题中，学生对一些较复杂抽象的数学问题存在解决的困难，利用数形结合思想能够不断地开阔学生的数学知识视野，使学生养成运用数形结合思维解决问题的良好习惯，让他们深刻地体会到运用数形结合思想方法解题的重要性及灵活性，能够做到学以致用。

参考文献：

[1]徐玉婵.数形结合思想在初中数学解题中的应用[A].教师教育论坛（第五辑）[C]，2019.

[2]童琛菲.数形结合思想在初中数学解题教学中的渗透策略[J].数学学习与研究（教研版），2020（3）：114.