从课程标准视角理解教材异同

赵华

一、问题的提出及研究背景

自《普通高中数学课程标准（2017年版）》（下文简称“新课标”）颁布以来，高中数学各版本新教材相继问世。将苏教2019年版与2005年版教材（下文简称“新教材”“旧教材”）进行对比，不难发现：新、旧教材间存在显著差异，但也有不变的内容。查看人教2019年版教材，发现其与苏教版新教材在同一课题的编写上也存在着巨大差异。面对新、旧教材以及新教材间的异同，一线教师要如何理解以便使用好新教材呢？

本文以“正弦定理”为例，着重从课程标准视角来理解苏教版新、旧教材间的异同点：章节架构、问题设计、定理证明、概念描述和例题设计，同时参考了人教A版新教材。

二、教材对比分析及理解

正弦定理是高中数学中研究三角形边角关系的重要结论，也是解三角形的重要定理。下面将从章节架构、问题设计、定理证明、概念描述、例题设计等五个方面阐述对新、旧教材的对比分析及理解。

（一）章节重构，突出课程主线

教材内容的章节位置，不仅代表其在课程中的地位，同时体现课程的整体设计思路。

对比新、旧教材，发现正弦定理均设置在“解三角形”一章，只是节顺序有所调整，同时章顺序也发生重大变化。由此可见，新教材对课程内容的章节设置做了重大调整。按照新课标要求，在课程结构上，课程内容分为四条主线：函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动。在主线设计思路下，同一主题内容要相邻而置，同主题下的内容要衔接自然。因而新教材就不得不对章节进行重构。正弦定理属于几何与代数主线，由于向量是联系几何与代数的天然桥梁，而正弦定理是刻画几何图形三角形的代数形式，故在同一主题下，“向量”（第9章）章节先于“正弦定理”（第11章）。同为解三角形的重要定理，余弦定理与向量的联系更紧密、过渡更自然，因而余弦定理设置先于正弦定理。在突出课程主线的设计思路下，章节重构后的新教材使用起来更顺畅。

人教A版新教材没有设置“解三角形”一章，而是将解三角形的两个重要定理设置在“平面向量的应用”中。但从章节划分上看，它的整体性更好，更能突出课程主线。当然，这样设置在强化了平面向量应用的同时，也弱化了“解三角形”的地位。

（二）问题设计，注重知识关联

不同的导入问题会将活动探究引向不同方向。同一章的多个子节内容，既可采用不同问题导入，也可采用相同问题导入。大体上，好的导入问题或者从不同方向聚焦本质，或者从同一方向发散联结。新教材对正弦定理的导入设计属于后者。

在“正弦定理”的导入问题上，新教材仅用一句话：“还有其他途径将向量等式■=■+■数量化吗？”而在旧教材中，则是从特殊的直角三角形入手，先得到正弦定理，再提出一般猜想。相比之下，旧教材的导入更符合学生认知规律，突出数学思想方法。那为何要做此变更？新课标在课程结构的设计依据中明确指出，要“依据数学学科特点，关注知识之间的关联”。旧教材正是因为没有关注到正、余弦定理之间的关联性，才采用不同问题设计。而新教材则将正、余弦定理联系起来看待，采用同一个导入问题，自然而然地揭示它们之间的关联性。

当然，同一个问题依赖于两种不同的数量化处理导出两个不同的定理，虽然显现两个定理间的关联性，但由于向量等式数量化的方法并不唯此两种，还可能导出其他结论，如射影定理。因而这样的导入方式也承担了一定的风险。相比之下，人教2019年版中的导入方式似乎更高明些，它相当于将苏教新、旧教材的导入方式进行了整合。

（三）证法调整，侧重向量方法

关于正弦定理的推导方法颇为丰富，古有同径法和外接圆法，现有作高法、等积法、坐标法和向量法等。但教材受篇幅局限性的影响，并不能将其一一罗列。因而，教材对推导方法必须有所选择、有所侧重。

旧教材首先提供了四种途径去尝试证明（如上表），分别为作高法、坐标法、外接圆法、向量法。随后给出了（1）和（4）的详细证明过程。新教材则因为沿用了前一节的“向量式”导入，顺其自然地给出了向量法的证明过程，而将（1）作为思考题提出。至于外接圆法，两版教材均以课后探究题形式出现。新教材比旧教材更侧重于向量法的运用。除了向量法是顺应导入问题的必然选择外，还有一个重要原因。新课标要求，通过数学课程的学习，学生要获得基本思想方法。具体到几何与代数主线下，就是要学会运用研究图形的四个基本方法：综合法、分析法、解析法和向量法。由于向量概念起源于几何，是研究几何图形的基本方法。而三角形又是基本几何图形。因而在研究三角形时，侧重于向量法的运用具有典型性和代表性。

人教版新教材在正弦定理的推导方法上不存在侧重于哪一种方法的纠结。因为章节架构不同，导致正弦定理的推导背景不同。它以平面向量的应用为推导背景，运用向量法推导正弦定理顺理成章。而苏教版新、旧教材都是以解三角形为推导背景，面对多种解决途径，自然不可避免地要进行侧重权衡。

（四）概念完善，凸显核心素养

从知识角度来看，“解三角形”一章应包含两个重要定理和一个基本概念（解三角形）。但旧教材并未给出基本概念，而是以备注形式定义了“解斜三角形”，新教材则不同。那么，从“解斜三角形”到“解三角形”的变更意味着什么？

就名称而言，斜三角形是指非直角三角形，而三角形是指任意三角形。如果说直角三角形是特殊三角形，那么斜三角形也是特殊三角形。因此，旧教材实现了从一种特殊情况入手解决了另一种特殊情况，即完成从特殊到特殊的推理。新教材则是在旧教材的基础上，对三类三角形的结论进行整合、归纳，得出一般结论，实现了从一种特殊情况入手解决了一般情况，即完成从特殊到一般的推理。新课标最大的变化即提出了数学学科的六个核心素养，其中逻辑推理包括两类：一类是从特殊到一般的推理，一类是从一般到特殊的推理。因而，从“解斜三角形”到“解三角形”，表面上看是概念名称的一字之变，实质上是课标要求从关注知识上升到关注素养的转变。

（五）例题设置，贯彻“四基”要求

纵观新教材正弦定理整节内容，无论是从章节架构到问题设计，还是从证明方法到核心概念都变更出新，却有一个环节保持不变——例题设置。

仔细研究发现，新教材中的例题保持不变与新课标提出的“四基”要求密切相关。新课标要求，通过数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，简称“四基”。而教材中的例题，不同于一般的习题，除了具有示范性作用外，它还具有基础性和典型性，是直接围绕数学核心概念和思想方法的基本问题，或者是通过概念之间的关联产生的典型例题。因而，教材中的例题是学生获得“四基”的重要载体之一。旧教材中的例题能够延续到新教材中来，说明其本身已经充分体现了“四基”要求。这样的例题更值得教师在备课中深入思考，在课堂教学中充分利用，以达到通过例题的学习让学生获得“四基”的目的。

三、教材理解中的困惑

盡管从新课标视角去理解新教材的变更与否更容易，但同时也存在一些困惑。比如，新教材重点突出了向量法对三角形的研究。但纵观整章内容，除了定理证明，涉及向量法的题目共有三道，似乎有些虎头蛇尾了。所以在教学中如何协调向量法与解三角形的地位问题，值得我们进一步去研究与探索。