紧扣主线 高效复习

钟明

[摘 要]数列求和是数列的一个重要内容，也是高考的热点。数列求和方法的复习至关重要。紧扣知识、思想方法和核心素养三大主线复习数列前[n]项求和方法，可使学生系统复习数列前[n]项和的各种求法，进而实现高效复习。

[关键词]知识;思想方法;核心素养;数列前[n]项求和;复习

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）11-0022-03

在新高考中，数列大题出现在第一道解答题的位置，更多的是关注基本方法、基本思想，其中裂项相消法和错位相减法是求数列前[n]项和的最基本的两类方法。数列前[n]项求和方法的复习至关重要。那么，如何有效开展数列前[n]项求和方法的复习呢？筆者认为，可紧扣知识、思想方法、核心素养三大主线进行复习。

一、紧扣知识主线进行复习

高中数学复习中，学生有两个基本任务，一是温故知新，二是查漏补缺。教师可指导学生从两个方面进行查漏补缺：一是数学概念、定理法则方面，梳理哪些还没有记住，哪些没有理解，哪些无法运用;二是数学思想方法和思维方法方面，厘清哪些还不会用或用得不够好。在复习数列前[n]项求和方法时，教师应紧扣知识主线引导学生梳理数列求和的常见方法。

（一）公式法

若题目明确所求的数列是等差数列或等比数列就可以直接采用公式法。其中，等差数列的求和公式为[Sn=n（a1+an）2=na1+n（n-1）d2=d2n2+a1-d2n]，等比数列的求和公式为[Sn=a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q（q≠1）]或[Sn=na1（q=1）]。

（二）分组求和法

当数列的通项是等差数列或等比数列的和（或差）的形式时，形如[cn=an+bn]（其中[an]和[bn]为等差数列或为等比数列），可以分解为基本数列（等差数列或等比数列）进行求和。

[例1]已知等比数列[an]中，若[a1=3]，公比[q>1]，且[3（an+2+an）-10an+1=0（n∈N+）]。

（1）求数列[an]的通项公式;

（2）设数列[bn+13an]是首项为1，公差为2的等差数列，求数列[bn]的通项公式和前[n]项和[Sn]。

解：（1）[an=3n]。（解题过程略）

（2）因为[bn+13an]是首项为1，公差为2的等差数列，则有[bn+13an=1+2（n-1）]，可得[bn=2n-1-13an=2n-1-3n-1]，所以[Sn=1+3+…+（2n-1）-（1+3+32+…+3n-1）=n2-12（3n-1） ]。

评析：对于复合数列，若无法直接利用数列的通项公式求和，则可将其分解为几个容易求和的基本数列，对复合数列通项中的和（差）重新分组与拆分，再利用公式进行求和。

（三）裂项相消法

裂项相消法主要是把数列的通项拆分为两项之差后求和，正负相消剩下首尾若干项。应用此法时必须注意哪些项被消除，哪些项被保留，同时需要掌握一些常见的裂项，如[1anan+1=1d1an-1an+1]，[1anan+2=12d1an-1an+2 ]（其中[an]为等差数列）。

[例2][Sn]为数列[an]的前[n]项和，已知[an>0]，[an2+2an=4Sn+3]。

（1）求[an]的通项公式;

（2）设[bn=1anan+1]，求数列[bn]的前[n]项和。

解：（1）[an=2n+1]。

（2）由（1）可知，[bn=1（2n+1）（2n+3）=1212n+1-12n+3 ]，所以数列[bn]的前[n]项和为[Tn=b1+b2+b3+…+bn][=1213-15+15-17+…+12n+1-12n+3=n3（2n+3）]。

评析：根据[an=2n+1]通项特点，得[bn=1（2n+1）（2n+3）]，显然分母为等差数列相邻两项的乘积，符合裂项相消法的应用要求。

（四）错位相减法

对于由等差数列和等比数列对应项之积组成的数列，形如[cn=an·bn]（其中[an]为等差数列，[bn]为等比数列），常用错位相减法求和。可在等式两端同时乘以等比数列的公比（或公比的倒数[1q]）后进行错位相减，再利用等比数列的求和公式化简求值。

[例3]设[an]是公比不为1的等比数列，[a1]为[a2]，[a3]的等差中项。

（1）求[an]的公比;

（2）若[a1=1]，求数列[nan]的前[n]项和。

解：（1）[an]的公比为-2。（解题过程略）

（2）设[nan]的前[n]项和为[Sn]。由（1）及题意可得[an=（-2）n-1]，所以[Sn=1+2×（-2）+…+n×（-2）n-1]，[-2Sn=-2+2×（-2）2+…+（n-1）×（-2）n-1+n×（-2）n]，两式相减得[3Sn=1+（-2）+（-2）2+…+] [（-2）n-1-n×（-2）n=1-（-2）n3-n×（-2）n ]，最后化简得[Sn=19-（3n+1）（-2）n9]。

评析：错位相减法适用于由一个等差数列[an]及一个等比数列[bn]对应项之积组成的复合数列。用错位相减法求解，常会因为步骤烦琐、计算量大，而导致漏项或添项以及符号出错等。因此在等式两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多出一项，两式相减除第一项和最后一项外，剩下的[n]-1项是一个等比数列。

以知识为主线引导学生温故知新，可让学生更清楚各类数列前[n]项求和方法的基本特点和应用要求，同时强化学生对基础知识和基本技能的掌握。

二、紧扣思想方法主线进行复习

如果说新课的学习重在“把书读厚”，那么复习课则要“把书读薄”。把握知识和方法的本质是“把书读薄”的重要手段。要让学生搞清楚知识背后所蕴含的思想方法与思维方法，教师应指导、帮助、督促学生加强对思想方法与思维方法的梳理与比较。教师应紧扣思想方法主线引导学生复习数列前[n]项和的求法。

[例4]已知数列[an]满足[a1=1]，[an+1=3an+1]。

（1）证明[an+12]是等比数列，并求[an]的通项公式;

（2）证明：[1a1+1a2+…+1an<32]。

（1）证明：由[an+1=3an+1]得[an+1+12=3an+12]，所以[an+1+12an+12=3]，则[an+12]是首项为[a1+12=32]，公比为3的等比数列，所以[an+12=32×3n-1]，解得[an=3n-12]。

（2）由（1）知[an=3n-12]，所以[1an=23n-1]，因为当[n≥1]时[，3n-1≥2·3n-1]，所以[13n-1≤12·3n-1]，于是[1a1+1a2+…+1an≤1+13+…+13n-1=321-13n<32]，所以[1a1+1a2+…+1an<32]。

评析：本题考查了数列的概念、递推公式，等比数列的定义、通项公式，等比数列的前[n]项和公式和放缩法证明不等式，体现了化归与转化思想的应用。

[例5]已知数列[an=n2·2n]，求数列前[n]项和[Sn]。

分析：深层理解数列前[n]项和[Sn]的定义，用构造法求数列前[n]项和。由[Sn=12×21+22×22+…+（n-1）2×2n-1+n2×2n]，[Sn-1=12×21+22×22+…+（n-1）2×2n-1]，当[n>1]时，[Sn-Sn-1=n2·2n]，所以[Sn2n-12×Sn-12n-1=n2 （n≥2）]。利用待定系数法求出数列[Sn2n]通项，再求[Sn]。

解：∵[Sn=12×21+22×22+…+（n-1）2×2n-1+n2×2n]，

[Sn-1=12×21+22×22+…+（n-1）2×2n-1]，

∴当[n>1]时，[Sn-Sn-1=n2·2n]，

由[Sn2n-12×Sn-12n-1=n2（n≥2）]，利用待定系数法，

设[Sn2n+pn2+qn+r=12Sn-12n-1+p（n-1）2+q（n-1）+r  ]，

[?Sn2n=12×Sn-12n-1-12pn2-q+2p2n+p-q-r2 ]，

所以[-p2=1]，[-q+2p2=0]，[p-q-r2=0]，所以[p=-2]，[q=4]，[r=-6]，

[∴Sn2n-2n2+4n-6=12Sn-12n-1-2（n-1）2+4（n-1）-6]

[?Sn2n-2n2+4n-6=S12-2+4-6×12n-1=-32n-1]，故[Sn=（n2-2n+3）·2n+1-6]。

评析：让学生在原来的认知和知识框架下深化学习，把握数学知识中所蕴含的通性通法和数学思想。教师应通过审题示范、解题分析示范、解题反思示范，促进学生数学思维的发展，提升数学复习效果。

三、紧扣核心素养主线进行复习

在复习一些重要的知识与方法时，教师要尽量让学生多参与、多体会、多感悟，不断培养学生思维的深刻性，发展学生直观想象、逻辑推理、数学运算等学科核心素养。教师应紧扣核心素养这一主线引导学生复习数列前[n]项和的求法。

[例6]设等差数列[an]的公差为[d]，點[（an ， bn）]在函数[f（x）=2x]的图像上[（n∈N*）]。

（1）若[a1=-2]，点[（a8 ， 4b7）]在函数[f（x）]的图像上，求数列[an]的前[n]项和[Sn];

（2）若[a1=1]，函数[f（x）]的图像在点[（a2 ， b2）]处的切线在[x]轴上的截距为[2-1ln2]，求数列[anbn]的前[n]项和[Tn]。

解：（1）由已知得[b7=2a7， b8=2a8=4b7]，所以[2a8=4×2a7=2a7+2]，则有[a8=a7+2]，解得[d=a8-a7=2]，又因为[a1=-2]，所以由等差数列前[n]项和的公式得[Sn=na1+n（n-1）2d=n2-3n];

（2）函数[f（x）=2x]在点[（a2 ， b2）]处的切线方程为[y-2a2=（2a2ln2）（x-a2）]，其在[x]轴上的截距为[a2-1ln2]，且由[a2-1ln2=2-1ln2]，得[a2=2]，所以[d=a2-a1=1]，从而得[an=n ， bn=2n]，故数列[anbn]的通项公式为[anbn=n2n]，由错位相减法得[Tn=12+222+323+…+n-12n-1+n2n]，[12Tn=122+223+324+…+n-12n+n2n+1]，两式相减得[12Tn=12+122+123+…+12n-n2n+1]，最后化简得[Tn=2n+1-n-22n]。

另也可用构造法求解。当[n≥2]时，由[Tn-Tn-1=n·12n]，得[Tn12n-2Tn-112n-1=n]，令[bn=Tn12n]得[bn-2bn-1=n]，

设[bn+An+B=2（bn-1+A（n-1）+B）]，则[A=1 ， B=2]，

所以[bn+n+2=（b1+2+2）?2n-1]，得[bn=2n+1-n-2（n≥2）]，

所以[bn=Tn12n=2n+1-n-2]，当[n=1]时，[T1=12]也符合关系式，所以[Tn=2n+1-n-22n]。

评析：本题的第（1）问以函数为载体，以“点在函数图像上”为切入点得到数列的递推关系式，考查等差数列前[n]项和的知识。第（2）问以导数为工具，以曲线的切线方程为切入点，以“直线在[x]轴上的截距为[2-1ln2]”为线索，利用方程思想求公差[d]，又以[anbn]的通项公式识别“数学模型”，最终用错位相减法（或构造法）解决问题。本题有效考查了学生的直观想象、逻辑推理和数学建模等数学学科核心素养。

综上可知，在高中数学复习教学中，教师应紧扣知识、思想方法和核心素养三大主线引导学生进行复习，使学生把握数学本质和掌握数学知识、方法，进而发展学生的高阶思维，培养学生的数学学科核心素养。

[   参   考   文   献   ]

[1]  王瑞丁.数列求和面面观[J].中学教学参考，2021（20）：27-29.

[2]  陈豪，陈弈龙.基于2020年高考全国1卷第17题一类问题的研究[J].中学数学研究（华南师范大学版），2021（1）：16-18.

[3]  吕曾锋.数学单元教学设计的四大视角：以“数列”为例[J].中学教研（数学），2021（1）：13-15.

（责任编辑 黄春香）