于无色处见繁花

【摘要】本文用三角代换、坐标平移、巧设坐标、几何图形的性质及参数等手段研究2022年全国乙卷圆锥曲线大题的解法，并且拓展到一般结论，感受四两拨千斤的效果.

【关键词】圆锥曲线;三角代换;斜率积;平移;对偶式

圆锥曲线以众多的考点及多样的命题背景深受命题者的青睐，同时也因为复杂的点、线关系，复杂的计算让广大考生无从下手[1] .因此在碰到圆锥曲线问题的时候，要时刻记住山重水复疑无路，柳暗花明又一村，我们不仅要会强破硬算，更要会巧解巧算，多角度观察处理解决问题，思维打开后就会有好多解法漫天飞舞，于无色处见繁花.

本文就以2022年高考全国乙卷第20题为例浅谈此类问题的解法与结论推广.

1试题展现

常规解法

2思路分析

以上常规解法的计算量非常大，大部分同学是做不出来的.我们分析一下第2问的其他解法.

思路1从特殊位置入手，求出定点，再利用三角代换验证定点;

思路2巧设坐标，妙凑对偶式求定点;

思路3利用斜率积中的定值求出定点;

思路4利用定比点差法证明过定点;

思路5从几何性质入手，利用参数方程证明过定点.

3解法探究

解法1先猜后证

思路分析用常规解法中的特殊位置先猜测定点是A，这部分这里先省略. 由于本题椭圆焦点在y轴上，先通过坐标变换，方程化为焦点在x轴上的标准方程，这样我们使用三角代换得到的方程比较简洁，能使计算简化，再证明N，T，G三点共线（G为PA的中点）即可.

4结论拓展

5结语

一点一线走江湖，一直一曲看题图，一切一交定长短.有点有线，有直有曲，它们盘根交错，融入切割，集合三角，庞大的计算量总是让人望而却步、无从下手，本题就是如此.

換个角度，换种方法，合理利用三角代换，参数方程，几何性质等利器，就能从平淡中析出光芒，于无色处见繁花.

参考文献

[1]栾功，郭慧清.2021年高考全国甲卷理科数学第20题的探究与推广[J].中学教学参考，2022（02）：1-4.

作者简介潘庆森（1982—），男，福建永春人，中学二级教师;主要研究高三数学教学.