圆锥曲线与同系数直线之缘

【摘要】笔者在用GeoGebra仿真直线与圆锥曲线相交问题时发现一个有趣的现象，当直线与圆锥曲线同系数时，相交弦中点始终在同一条直线上，然后用两种方法证明了该现象的正确性. 受证明方法的启发，借助极限思想发现圆锥曲线在其任一点切线方程的斜率与同系数直线的斜率存在着关系，并推导出两个相关结论. 最后用本文的结论推导验证了椭圆和双曲线关于切线的两个性质.

【关键词】圆锥曲线;直线;切线斜率

当圆锥曲线中的圆、椭圆和双曲线的中心均为原点时，它们的方程有共同的形式，为Ax²+By²=1.

（1）当A>0，B>0且A=B时，方程表示圆;

（2）当A>0，B>0且A≠B时，方程表示椭圆;

（3）当A·B<0时，方程表示双曲线;

文中与圆锥曲线同系数的直线指的是变量前的系数相等，方程为：Ax+By+C=0.

1同系数圆锥曲线与直线相交之缘

笔者在教学中用GeoGebra仿真直线与圆锥曲线相交问题时发现一个有趣的现象. 当直线和圆锥曲线同系數时，无论系数如何变化，直线和圆锥曲线相交弦的中点始终在同一条直线上. 如图1，图中圆锥曲线方程设置为Ax²+By²=1，直线方程设置为Ax+By+C=0，其中A>0，B>0或A·B<0. 从图中不难发现，当系数A、B取不同值时，圆锥曲线可为圆、椭圆和双曲线，同系数直线方程和它们只要相交于两点，两点的中点始终在同一条直线上，由软件得出该直线方程为x-y=0. 为了验证这一仿真结果，证明如下.

2圆锥曲线上点的切线与同系数直线之缘

3圆锥曲线在其任一点切线方程的推广

作者简介张仙艳（1987—），女，河南驻马店人，中小学一级教师;主要从事高中动态数学图形、解题方法、数字图像等研究;发表论文数篇.

参考文献

[1] 彭耿铃.圆锥曲线的切线方程及其推广的结论[ J].中 学生数理化（高二数学），2021，（02）：26?27