改进教学出新意，高屋建瓴揭本质

[摘  要] 随着新课改的推进，各种教学方式的探索开展得如火如荼，但不论教学形式发生怎样的变化，教学的基本原则——注重数学本质的揭示，永远不会发生改变. 揭露本质是一切教学设计的基本思想，是数学教学的立足之本. 文章以“配方法解一元二次方程”的教学设计为例，对如何揭露数学本质，谈一些具体的思路与看法.

[关键词] 本质;教学设计;一元二次方程

新课标提出：形式化虽为数学的基本特征，但教学时不能拘泥于形式化的表达，更要强调学生对知识本质的理解，否则会让生动活泼的数学思维，淹没在形式化的海洋中[1]. 然而，数学的本质是什么？我们在教学设计时，该如何顺利揭示其本质呢？实践证明，初中数学教学是思维的教学，是渗透数学思想，引导学生形成良好思维习惯的教学.

数学本质的理解

从不同的角度来看，数学的本质有着不同的解释：从学科结构观察，其本质为模型;从表现形式来分析，其本质是符号;从实际应用价值来看，其本质为工具;从表现形式来分析，其本质是方法;而从教学过程来看，其本质是运算与推理;从教育形态分析，其本质是思考与过程. 本文以“配方法解一元二次方程”的教学设计为例，着重从教育形态的角度来揭示数学的本质.

从数学的发展过程来看，要让数学完全形式化，是绝对不可能的. 众所周知，数学与生活有着密不可分的联系，这种联系越紧密，就越发凸显出数学探索过程的重要，学生对数学思维活动的认识与体验就越发深刻. 鉴于此，数学教学过程中揭示知识的形成与发展的历程，能让学生对知识的本质产生更加直观的感受，体验到知识所蕴含的数学思想，从而获得发现真理的方法.

教学设计分析

1. 教学简录

在某次听随堂课时，一位教师在执教“配方法解一元二次方程”时，呈现出以下教学流程.

环节一：旧知复习，导入新知

师：大家在之前已经接触过完全平方公式，现在请大家回顾一下完全平方公式具有什么典型特征？

生1：完全平方公式为（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2，其主要特征为等号左右两边的数据，具有一定的规律：一边为两个数的和或差的平方，还有一边为两个数的平方和“+”或“-”两个数乘积的2倍.

师：这里提到了“+”或“-”两个数乘积的2倍，什么时候加，什么时候减呢？

生2：这要看求两个数和的平方还是差的平方了.

师：非常好，现在我们一起来做几道练习.

活动1：在括号内填上适当的数，让式子成立.

①x2+24x+（  ）=（x+12）2;

②x2-12x+（  ）=（x-6）2;

③x2+12x+（  ）=（x+___）2;

④x2-8x+（  ）=（x-___）2.

问题：以上几个式子的左边常数项与一次项系数具有怎样的联系？遇到类似于x2+ax之类的式子，该怎样配成完全平方式？

（学生小组合作交流）

环节二：活动开展，新课授课

活动2：解方程x2+8x-9=0，师生共同探讨此方程的解法.

活动3：练一练，解以下方程.

①x2-10x+25=7;

②x2-14x=8;

③x2+2x+2=8x;

④x2+3x=1.

在学生自主解方程的基础上，教师着重强调配方法的使用步骤，特针对一次项系数为奇数的情况，进行重点强调与讲解，以强化学生的认识.

活动4：课堂小练，解以下方程.

①x2+12x+25=0;

②x2-9x=-19;

③x2+4x-10=0;

④x2-6x-11=0;

⑤求证：式子x2+4x+5中，无论x的取值是多少，结论一定大于0.

活动5：课堂总结.

师生共同回顾本节课教学的重点与难点知识，总结、交流利用配方法解一元二次方程所遵循的基本思路与步骤，并着重强调配方法应用过程中的注意事项.

2. 教学分析

综合分析本节课的教学，教师的活动安排基本以配方法的实际应用为主，试图让学生在反复的练习中，产生更加深刻的印象，达到熟能生巧的地步. 殊不知，课堂时间弥足珍贵，我们应将课堂时间充分利用起来，本节课的重点是配方法的应用，那么教师就应该带领学生一起探索配方法应用的具体过程，而不是将精力集中在练习训练中.

观察学生所做的课堂小练，大家对于方法的掌握还不错，大部分学生都能顺利应用配方法来解决一元二次方程. 但细细回味，又觉得课堂过于浅顯，缺乏了数学思想的渗透过程，也没有揭示配方法的实质，这节课对提升学生的能力方面，还有待加强.

经过一定的思考，笔者认为本节课首先要引导学生思考：用配方法解方程的意图是什么？说到底，用配方法解一元二次方程，就是将方程配成（x+m）2=n的一般形式，即将二次方程转化为两个一元一次方程形式，即（x+m）=±. 学生对于一元一次方程的解法已经相当熟悉，这就是将未知转化为已知的过程，也是化归思想在教学中的渗透过程.

本节课，我们不仅要引导学生如何用配方法解题，还要让学生知道配方法应用的实际目的是什么？这位教师将目光聚焦在学生的解题练习上，而忽略了对知识间联系的剖析，学生也少了自主探索的过程，问题的本质并未暴露出来.

3. 教学改进

新课标提出：学习过程应该是一个主动、生动、富有个性的过程，教师应给予学生充足的时间与空间，让学生亲历实验、观察、猜想、验证、推理等过程.  鉴于此，本节课应引导学生对配方法进行自主探索，鼓励学生自主揭露这种方法的本质.

制定教学目标：

（1）根据平方根的意义，能解类似于（x+m）2=n（n≥0）之类的方程;

（2）理解配方法的目的及意义，能用它解简单的一元二次方程，感知数学转化思想.

学情分析：

在之前的学习中，学生已经接触过“开平方”的相关内容，对一元二次方程的概念、方程根的估算、方程解的意义、作用等都有了一定的认识，这些内容都是本节课教学的基础. 鉴于此，学生在原有认知结构上，有能力通过自主思考、合作交流等方式，来探讨本节课的教学主题.

基于这几点思考，笔者对本节课的教学设计进行了如下改进.

环节一：复习旧知，引入主题

活动1：思考以下几个问题：

①如果已知一个数的平方为7，那么这个数可能是多少？②非负数a存在几个平方根？平方根之间具有怎样的联系？③因式分解的完全平方公式，该如何用字母符号来表示？

环节二：自主探究，启发思维

问题：（1）你们会解的一元二次方程有哪些？

（2）解下列方程：①x2=5;②2x2+3=5;③x2+1+2x=5;④72+（x+6）2=102.

（3）在之前的学习中，我们已经研究了梯子底端滑动距离x m，满足方程x2+12x-15=0，大家能仿照以上几个方程的求解方法，获得x的准确值吗？说说你们所遇到的困难.

（学生进入合作交流状态）

此环节参考了教材进行设计，三个问题由浅入深、逐层递进，让学生的思维呈阶梯状上升.

第一个问题具有启迪、指向的作用，让学生思考简单的一元二次方程的求解方法，如果学生想起来比较困难，第二个问题则是为第一个问题所服务，让学生通过解几道题来启发思维. 如解方程x2=5，利于学生回顾平方根的意义;解方程2x2+3=5，可将问题转化为x2=1，根据平方根的意义可获得x的两个解;解方程x2+1+2x=5，可将问题转化为（x+1）2=5，将它与x2=5进行比较，可顺利获解;而方程72+（x+6）2=102则可转化成（6+x）2=51，运用以上求解方法，也可快速获得问题的解.

第二个问题，待求解的方程，看似形式多样，但每个方程都具有明确的指向性，即用开方法，将一元二次方程转化成一元一次方程进行求解，而且这几个方程间又存在一定的内在联系，学生的思维也随着方程的变化而逐渐深化. 求解过程中，教师也可沿着学生的思路，适当地加以点拨，以渗透数学思想，让学生边转化边求解，从而获得更多、更深的思想感悟.

第三个问题则从实际问题出发，引导学生初步体会开方法的实际应用，这是配方法的基础，也是解一元二次方程的根本.

环节三：新课授课，合作学习

沿着以上解决梯子底部滑动的问题，引导学生继续往下思考，要求学生先自主探究，再与教师积极地互动交流. 在交流过程中，教师将本题的解题过程板书在黑板上.

环节四：课堂小结，知识梳理

要求学生用小组合作交流的方式来讨论：用这种方法来解一元二次方程，应遵循怎样的思路与步骤，其中的关键点与难点是什么？

4. 设计意图

改进后的教学方法，通过师生积极、有效的互动，对例题进行讲解、分析，完整地展示了规范配方法求解一元二次方程的步骤与过程，让学生深切体验到这种解方程的方法与主要思路，并对解题过程中的关键点，即用转化思想，将方程转化为（x+m）2=n（n≥0）的形式，實现求解.

值得注意的是，有些方程虽存在两个异同的解，但我们应结合问题的实际情况，检验解的合理性，对于不合理的解需要舍掉. 关于梯子底部滑动的问题，在之前的教学中就有涉及，本节课继续引用这个例子，不仅达到前后呼应的作用，还让学生心理上产生一种亲近感，为形成良好的情感态度奠定基础.

课堂小结环节，要求学生思考配方法解一元二次方程的步骤与思路等，主要是为了帮助学生梳理知识的脉络，让学生自主抽象出相关的定义，并学会自主应用配方法来求解方程. 其中，教师还特地提出用配方法解一元二次方程的关键点与难点是什么问题，主要是让学生重新审视自己的思维过程，对于易错点或思维的障碍点，再次巩固、提升，以有效揭露数学本质.

几点思考

1. 建构新知显本质

张奠宇教授提出：数学本质涵盖知识间的规律、联系、思想方法以及数学理性精神的体验[2]. 从中也能看出数学本质与其他学科有着显著区别. 要在课堂教学中彰显知识的本质，首先要从新知的建构着手，通过教学活动的开展，凸显出知识的内涵，让学生建构完整的认知结构，获得求真求简的学习习惯.

量子论的创设者普朗克认为：数学的知识结构是客观存在的内容，教学中帮助学生建构完整的知识结构，不仅能帮助学生发现知识间的内在联系，还能建立良好的认知体系，为知识的记忆、迁移、检索与应用奠定基础. 因此，新知的建构，最利于揭示数学本质，这也是课堂重要性的体现.

本节课，新知建构过程中，教师引导学生结合原有的认知结构，通过新知的引入、交流、探究与合作等方式，成功地帮助学生理清了知识间的联系，让学生建立了良好的认知结构，有效地揭露了知识间的逻辑关系，使得学生在后继学习中，达到“见木成林”的能力. 通过两节课的分析，显然经过改进后的课程显得更加厚重且有深度.

2. 亲身经历悟本质

课堂教学不仅仅是知识与技能的教学，更重要的是能力的培养. 本节课，值得思考的问题在于如何让学生亲历知识的形成与发展过程，并获得良好的学习体验，为揭露数学本质奠定基础. 第一种教学设计，将本节课非常清晰地分解为几个环节，着重以课堂练习训练为主，学生看似学会了解题，但并没有掌握知识的本质与解方程过程中所蕴含的基本思想，这样的课堂过于浅显，很难让学生的思维获得提升.

改进后的教学，需要学生积极地参与互动与探究，亲身感受配方法解一元二次方程的原理. 此过程不仅揭示了问题的本质，还能有效地培养学生的创新意识，为核心素养的形成奠定基础.

3. 渗透思想传本质

数学思想是人类对数学现象抽象与概括的认识，学习过的知识有可能会被遗忘，但获得的数学思想却能伴随人一生. 它作为知识形成与发展所依赖的基本思想，是学习过数学与没有学习过数学的思维差异所在. 因此我们应重视教学过程中数学思想方法的渗透，这也是揭露数学本质的基本途径.

本教学过程涉及的数学思想方法有化归思想、方程思想、推理思想等. 改进后的教学设计，将数学思想渗透于教学的方方面面，让课堂充满了思想性与灵动感，学生思维也随着数学思想方法的应用而螺旋式上升.

总之，作为新时代的一线数学教师，应立足于长远的“育人”目标，摒弃“高分低能”“速成教育”的理念，认真钻研教学，领悟新课标的精神，将揭示数学本质的教育理念落到实处[3]. 让学生在课堂中学有所得，学有所成. 实践证明，数学本质的揭露过程是自然、本真、水到渠成的过程. 我们只要紧扣本质的精髓，就能让教学变得丰富而又实用.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 张奠宙. 教育数学是具有教育形态的数学[J]. 数学教育学报，2005（03）：1-4.

[3] 史宁中. 数学教育的未来发展[J]. 数学教学，2014（01）1-3+18.

作者简介：蔡丽娟（1985—），本科学历，中小学一级教师，从事初中数学教学工作.