HPM视角下渗透数学建模思想的教学设计

[摘  要] 数学建模思想的培育可以促使学生应用数学知识解决实际问题. 文章以“相似三角形的应用”一节为例，借助数学史料使学生经历相似三角形模型的构造、总结、应用、反思过程，逐步培养其数学建模思想，提高知识应用能力.

[关键词] HPM;相似三角形;数学建模思想

“相似三角形的应用”是初中数学教学中几何建模学习的重要一节，该节内容是对相似三角形知识的应用、拓展与延伸，也是将较为抽象的相似三角形知识与生活实际相结合的过程. “相似三角形的应用”主要解决不能直接测量的物体的长、宽、高、深等问题，其相似模型大体分为平行相似型、对顶角相似型和反射相似型三类. 为了使学生更加深入地了解相似三角形应用的发展历程，培养学生数学建模思想与数形结合的能力，笔者基于相似三角形应用的发展历史，对应三类应用模型进行教学设计.

史料的选取与利用

早在约公元前1600年，巴比伦的泥板文献中就已经开始了对相似三角形的应用，公元前6世纪，泰勒斯利用阳光下物体与影子的关系测量金字塔的高度. 我国西汉末期的《周髀算经》中详细记载了相似测量术，汉代《九章算术》中的“勾股”章对于勾股测量的问题也应用了相似三角形. 虽然数学史上关于相似三角形应用的文献浩如烟海，但是中学教师所掌握的可直接用于课堂的材料却极为缺乏[1]. 对此笔者根据现有的相似三角形的应用史料，依据汪晓勤教授对于数学史融入数学教学方式的分类，采取附加式、复制式、顺应式与重构式进行教学问题设计，具体的数学史料与融入方式如下表所示.

数学史料与融入方式

教学分析

（一）教学目标

1.进一步巩固应用相似三角形的知识，掌握常见的相似三角形模型.

2.能在具体情境中运用相似三角形模型. 利用数形结合的方法，根据实际问题构建相似三角形模型，反思模型的应用.

3.感受相似三角形的发展应用过程，增强抽象数学与生活的联系感，体会数学是建构现实世界的有效模型，养成良好的数学建模思想与模型应用意识.

（二）教学重、难点

重点：将实际问题转化为数学问题，建立相应的相似三角形模型.

难点：灵活运用相似三角形知识构建、应用数学模型解决实际问题，并反思模型.

教学设计

（一）创设情境，引出相似测量

引入：我国第一部数学著作《周髀算经》最早提出了相似测量术，其中记载了这样一个故事：一次周公问商高，古时作天文测量和订立历法，天没有台阶可以攀登上去，地又不能用尺寸去测量，请问数是怎样得来的？商高回答说，数是根据圆和方的道理得来的，圆从方来，方又从矩来. 矩是根据乘、除计算出来的. 周公曰，大哉言数！请问用矩之道. 商高曰，平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方. （“矩”原是指包含直角的作图工具）

问题1：听完这个故事你是否明白了商高的相似测量术呢？

设计意图 用我国测量术的数学史故事引入，牵出相似三角形的应用，激起学生的学习兴趣，使学生感受到抽象数学知识的实用价值. 但是在具体应用方法上，并未解释清楚，从而引发学生的好奇心，激起学生“要学习”的强烈欲望.

（二）分类研讨，构造相似模型

1. 平行相似型

例1 其实早在2700多年前，古希腊的数学家、天文学家泰勒斯仅用竹竿就测量出金字塔的高度，图1是泰勒斯利用相似三角形测量金字塔的原理，图2是测量的数学模型，其中四边形ABCD为正方形，OE=201 m，HF=2 m，FG=3 m. 请你思考一下金字塔的高度PO怎样计算呢？

问题2：从图1中你发现泰勒斯用了什么样的物理原理，对应图2的模型中你得到了哪些数学关系？

学生根据光沿直线传播得到PE∥HG，又因为PO∥HF，所以∠OPE=∠FHG.

问题3：你寻找到了哪两个三角形相似，其相似的条件是什么？

师生共同探寻其中的相似三角形，标出对应量列出比例关系求解.

问题4：现实情境中一定要保证线段OE与FG在一条直线上吗？如果不能直接进入金字塔测量OE，你能想到什么办法求出其长度呢？

学生相互讨论，再次利用三角形相似判定定理、中位线定理等解决两问题. 师生共同梳理相似三角形模型构建的步骤与要点：

（1）梳理题意，将实际问题转化为数学问题，构建出数学模型.

（2）寻找模型中证明三角形相似的条件，列出相似比求解.

（3）图形与几何的计算问题，需要先经过证明，再进行计算.

（4）将解决的数学问题还原为实际问题，还原中注意反思模型实践时可能存在的问题与解决办法.

设计意图 该问题跨学科融合了物理知识，把问题建立在学生已有的经验基础上探寻模型规律，贴近学生的生活实际. 问题解决时让学生先观察实际情境图进行思考，再展示数学模型图，可以使学生充分感知几何模型的构造对于解决问题的重要性，逐步培养学生的模型思想. 并且该问题中笔者充分考虑了模型的实践性，针对可能存在疑惑或困难的操作进行设问，增强模型的现实意义，并且为下一个平行问题做铺垫. 通过该问题总结一般相似应用模型的规律与要点，使学生掌握解决问题的方法与步骤.

例2 有一块形状为直角三角形的木板，其直角边长分别为5 m和12 m，如果木匠师傅要在其中裁截出一块面积最大的正方形木板，请你帮木匠师傅计算出正方形木板的边长. （改編自《九章算术》中的“勾股容方”问题）

合作探究：该问题源自我国历史上著名的“勾股容方”问题，先自己思考，再小组成员间相互交流讨论，看看你能帮木匠师傅构造出几种容方模型（如图3所示，其中的两种）.

问题5：如何计算两种情况中正方形的边长呢？

学生根据上述归纳的步骤，从构造的容方模型中寻找相似三角形，并列出比例关系求解. 对于第二种容方模型，学生在寻找求解相似比例时可能存在困难.

追问：两个三角形相似，除了边对应成比例外，还有哪些性质呢？

学生回忆三角形相似的性质，根据相似三角形对应边上的高对应成比例（如图4所示），列出能求解的相似比例式，再比较面积的大小关系.

问题6：（推广）该问题中利用的是直角三角形，如果将△ABC换成一般三角形，该相似模型还适用吗？

小组再次讨论结论的一般性，师生共同得出第二种模型对于所有三角形均成立，但前提是对应边上的高已知或能计算出来.

设计意图 “勾股容方”是我国历史上著名的数学问题，但《九章算术》中的问题情境过于单一，通过对问题的改编使其更具有实际应用感. 该问题的学习采用小组合作探究的活动方式，在合作探究中使学生经历根据实际问题建立模型的过程，培养模型构建能力. 容方模型有两种构造方式，教学设计时要预设到学生对于第二种容方模型求解存在困难，引导学生学会利用相似三角形的其他性质. 最后对该模型的推广做出设问，引发学生思考结论是否能一般化，增强学生对模型的总结与反思能力.

2. 对顶角相似型

例3 今有井径五尺，不知其深. 立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸. 问井深几何？[2]（1尺=10寸）

问题7：根据题意对照图5模型，你理解出了怎样的题意？

学生解释题意，根据∠EAB=∠B，∠EFA=∠BFG证明出△AFE∽△BFG，列出比例关系代入已知的各边长度求解.

问题8：你认为在测量时，测量者应该注意什么？

学生自我模拟测量过程，根据数学模型反思实际问题中的注意点，教师引导得出EA⊥AB，E，F，G三点在同一条直线上的关键点.

问题9：对顶角相似模型除了可以测井深还可以测河宽，与小组同学商讨一下，怎样利用对顶角相似模型测量一个河的宽呢？

学生小组讨论，师生共同利用该类相似模型设计测量河宽方案.

设计意图 该问题情境设置相较于前两个例题增加了难度，考查学生结合模型对题意的理解与分析，培养学生数学抽象素养. 数学是一门实用性学科，在学习数学知识时要将其与现实情境相连通，考虑现实中的影响因素与注意点，对顶角相似模型的关键在于找到对顶角，因此要引导学生关注构造对顶角时的必要条件——使得E，F，G在一条直线上. 同一个数学模型可以适用于多样的问题情境，设计测量河宽的方案可以使学生感受到对顶角相似模型不仅可以用来测量深度，还可以用来测量宽度. ？摇？摇

3. 反射相似型

问题10：假如你现在有一面镜子，你能利用镜子想到什么样的方案测量楼高呢？

学生自己思考讨论方案，并画出方案图.

例4 如图6所示，在《数学入门》中记载了古人利用镜面反射原理测量楼高的方法，如果人高2 m，测得人距离镜面3 m，镜面距离楼15 m，请问楼高多少？（忽略镜子的大小）

问题11：根据实物图，再修改你设计的模型图. 根据反射原理你得到了哪一组角对应相等？

学生自己构造并完善模型，寻找三角形相似条件，列出相似比，求楼高.

设计意图 在该类相似模型学习前，根据学生已有的知识经验给出相应的工具，使学生自我思考设计测量方案，展现自我能动性，再根据实物图完善自己构建的相似模型，进一步培养解决实际问题的能力与建模思想，感受数学是刻画现实世界的有效数学模型.

（三）应用模型，拓展深化思维

练习一：今有邑方不知大小，各中开门. 出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木. 问邑方几何？[2]（如图7所示）

练习二：在班级测量实践活动时，某一小组要测量的大树周围都是建筑物，无法利用竹竿测量树高. 如图8所示，现在知道建筑物EC与这棵树AB之间的距离BC=4 m，其落在建筑物墙面上的影子CD=2 m，此时竹竿GF=1.2 m，它落在地面上的影子GH=2 m，想想如何用不同的办法帮他们计算一下树的高度（至少两种）.

设计意图 以上两个巩固练习的设置基于学生对本节课基础知识的掌握，深化三角形相似模型，培养学生的建模思想与能力. 第一个练习是“勾股容方”模型的变式，该变式打破了学生对模型的固化思想，使其感受模型的灵活与变换魅力. 第二个是基于实践的相似三角形测量问题，模拟真实测量中可能产生的问题，使学生采用多种方式解决该问题，发展学生的问题解决能力，同时感受数学模型的建立给解决真实问题带来的多样化策略.

（四）总结收获，回顾反思模型

问题12：学习完相似三角形的应用你是否明白了商高的测量术呢？

问题13：这节课学习的三类模型有哪些特点？用三类模型解决问题的步骤是什么？现实中操作模型时应该注意些什么？

问题14：你在解决问题中学习到哪些数学思想方法？对于模型建构你有什么样的感悟？

学生畅所欲言讲述自己的收获与感悟，教师针对这些问题做出补充与强调.

设计意图 学生与教师共同归纳总结知识，解决课堂开始的疑问，反思课堂中模型特点与思想方法. 帮助学生梳理知识，养成自我总结反思的良好学习习惯. ？摇

本节课的教学设计立足学生的知识与生活经验基础，以相似三角形的应用史料为载体，包容相似三角形的应用知识. 使学生通过观察、分析、归纳、转化、构建、解答、反思等一系列过程，感受抽象数学知识与生活的相互联系，体会到数学建模对于解决实际问题的便利之处，进而培养数学建模思想，发展数学建模能力.

参考文献：

[1] 王娟，汪晓勤. 16世纪的测量工具与相似三角形的应用[J]. 中学数学月刊，2020（03）：47-51.

[2] 白尚恕. 《九章算术》注释[M]. 北京：科学出版社，1983.

基金項目：湖州师范学院研究生科研项目资助“HPM视角下的初中代数教学案例开发研究”（项目编号：YJGX20011）.

作者简介：李新菊（1997—），硕士研究生，从事数学课程与教学论研究.？摇