促进知识自然生长的章节起始课教学实践探究

苏文涛 秦文波

[摘  要] 章节起始课一方面使学生初步感知学习本章的意义与价值，引领后续学习，另外一方面可以帮助学生初步建构学习本章的内容框架，提高课堂教学的思想性. 以问题引领章节起始课教学，可以使知识的生成水到渠成.

[关键词] 章节起始课;圆;课堂教学;教学反思

作为新课程改革背景下的初中数学基本课型之一，章节起始课涉及本章的核心知识及数学思想方法，是数学教学富有成效的坚实基础，对学生整章知识的学习意义深远. 本文结合人教版课标教材九年级上册“24.1.1圆”，谈谈如何上好章节起始课，以实现学科育人的目标.

章节起始课要点分析

章节起始课目标宏大，具有总览全局的作用.从明线上讲，它包含本单元学习需要掌握的知识以及知识之间的内在联系;从暗线上讲，它包含本单元需要渗透给学生的思想方法，从而引导学生本单元的学习. 下面分别来说章节起始课的作用、内容以及学习策略.

（一）章前起始课的作用

1. 厘清知识逻辑

章前起始课具有承上启下的作用.这是因为，数学知识并不是孤立存在的，上好章节起始课，有助于学生厘清本章知识与前面所学内容以及本章知识之间的内在联系. 学生通过经历概念、性质的形成过程，对知识的理解深刻了，应用才会得心应手. 因此，学习章节起始课时，应强调整体化教学，使学生明白知识形成的来龙去脉，增强学习的有效性.

2. 看清学习框架

章节起始课具有总览全局的作用.通过章节起始课的学习，帮助学生初步建构本章的内容框架，理清解决本章涉及的基本数学问题，在学生的最近发展区推动知识建构，完善知识体系，对本章知识的学习有很好的导向性.

3. 弄清思想方法

在章节起始课的教学中，要让学生明白本章学习的思路与方法，让学生明白“为什么要学？学什么？怎样学？”，由此达到“授人以鱼，不如授人以渔”的目的，提高有效教学的思想性.

（二）章前起始课的内容

章节起始课，即每一章的第一节课，包含引言、章前图和本章正文第一节的内容三部分. 引言，既有对前面所学相关内容的概括，也有对本章节所学内容的简单介绍，由此具有承上启下的作用;章前图，用于展示本章内容在生活中的应用. 章前图和引言的选材，把学生熟悉的题材引入教材，为学生提供了解释、思考现实世界的途径. 正文第一节内容一般介绍本章基本概念，而概括与归纳是概念教学的核心，学生通过观察、操作，经历概念的形成过程，归纳出事物的属性，从而真正理解概念. 上好章节起始课，其作用不言而喻.

（三）章前起始课的教学策略

如何上好章节起始课？可以从以下几方面入手：

1. 深入挖掘教材，吃透章前引言

在章节起始课的教学过程中，教师应遵循启发性原则，可以将章前引言融入教学过程中，帮助学生感知单元教学整体内容，以便于学生将知识串联.

2. 紧扣章前引言，巧妙设置情境

章前起始课的教学，重心在于概念教学，而数学概念的获得有两种方式：一是借助丰富的“生活现实”情景，抽象出其共有的属性，从而获得新的概念;其二是基于逻辑发展的需要，从“数学现实”中获得. 不管基于哪一种方式，紧扣章前引言设置情境，都可以引导学生有效参与到新知的获得活动中来.

3. 巧妙设置问题，自然生成概念

“单元整体教学”思想引导下的章前起始课教学，具有统领全章的作用. 不管是通过“生活现实”情景问题，还是通过“数学现实”情景问题习得概念，都是一个循序渐进的过程. 在这个过程中，教师应遵循结构性原则，精心设置问题，引导学生经历概念的形成过程，促进概念自然生成.

4. 精心设计习题，培养应用能力

习题是检验学生数学掌握程度的重要工具，是学生理解概念并会应用的载体. 习题的设计，重在“质”，教师应根据学生的学情设置合适的习题，从而培养学生的应用能力.

章节起始课教学设计示例

基于以上分析，章节起始课的教学，要让学生明白研究内容和研究方法的内在逻辑联系. 笔者现结合人教版课标教材九年级上册“24.1.1圆”，按照“整体建构，问题驱动”的思路，谈谈章节起始课的教学，设计过程如下：

（一）引入

引导语：圆，是我们生活中常见的图形，比如，旋转的水车、摩天轮、旋转的风车（如图1所示），它们都给我们一种圆的形象. 正如毕达哥拉斯所說：一切平面图形中最美的是圆，这一章我们就在前面学习旋转的基础上进一步来认识圆，我们先探究圆的定义及相关概念.

生活中许多娱乐节目运用了圆的定义及相关概念设计了一些方案，这是一次“抢金蛋”活动，请看这两个方案（如图2、3所示），你认为哪一种站法更公平？

师生活动：教师展示生活中旋转的水车、旋转的摩天轮、旋转的风车等动态图片，由此引出生活中的圆. 教师再抛出圆的定义及相关概念在生活中的应用，即“抢金蛋”问题，在同等条件下，采取哪种方案站位更公平？学生回答站成圆形，教师继续追问：为什么站成圆形到金蛋的距离就相等呢？由此引出圆的学习.

设计意图 本章是在上一章学习旋转的基础上对圆的知识进行深化，第一个引入，目的在于承上启下，由此引出本章圆的学习;第二个引入，目的在于引出本节圆的定义和相关概念的学习. 提供一系列学生日常生活中可以接触到的、熟悉的问题，可以激发学生的好奇心、求知欲.

（二）初识圆

问题1：你会用圆规画圆吗？

问题2：你会用绳子画一个圆吗？

师生活动：学生先后利用圆规和绳子画圆，教师巡查，适时给予指导.

问题3：回顾画圆的过程，你能说说圆是怎么形成的吗？

师生活动：教师和学生共同归纳出圆的共有属性，得到定义，再给出定点、定长和圆的写法和读法.

设计意图 定义的形成过程，一定是学生动手操作、归纳要点，最后教师进行提炼的过程. 学生参与到定义的形成过程中，可以加深对定义的理解.

问题4：大家想想，在一个平面内，以定点O为圆心能画多少个圆呢？

追问1：那以定长1 cm为半径，能画多少个圆呢？

追问2：那么以定点O为圆心，定长1 cm为半径，又能画多少个圆呢？

追问3：由此可见，要确定一个圆，由哪些要素决定？分别起到什么作用？

师生活动：学生思考后回答，教师根据学生的回答，进行评价纠错.

设计意图 问题4及追问1、2，目的在于引出追问3，也就是说要确定一个圆，必须有两个要素，即圆心（定点）和半径（定长），它们分别确定圆的位置和大小.

问题5：刚才大家说“抢金蛋”时站在一个圆上就公平了，现在学习了圆的定义，你能够解释一下吗？

追问：为什么站成矩形抢金蛋就不公平了呢？

师生活动：教师引导学生将“站成圆形抢金蛋”的公平问题抽象到圆的性质上，使学生认识到：圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r），由此让学生加深对圆的性质的理解.

设计意图 在学习了圆的定义后，再来解决引入中的“围成圆形抢金蛋”的公平问题，一方面可以使学生感受到研究圆的必要性，另外一方面加深对圆的性质的理解.

问题6：如果在矩形的四个顶点处分别站有一名同学（如图4所示），他们的站位公平吗？

追问1：既然他们的站位公平，那在这个矩形中，为什么A，B，C，D四个点到点O的距离都相等？

追问2：你能否证明这个问题呢？（教师PPT展示课本80页例1）

师生活动：教师根据回答引导学生到追问1上来，学生回答“矩形的对角线相等且相互平分”，教师再出示课本问题，让学生证明“四点共圆”.待学生证明后，找人点评.

设计意图 把一个图形看成满足某种条件的集合，必须符合：（1）图形上的每个点都满足这个条件;（2）满足这个条件的每个点都在这个图形上. 前面学生已经认识了（1），接下来就要处理（2）. 由于学生已经学习过矩形的性质，因此证明追问2，即例题“四点共圆”就是一个水到渠成的事情.

问题7：这四个点在什么样的圆上？

追问1：在这个平面内，还有没有其他公平的点？

追问2：它们在哪里？

追问3：这样的点多不多？

追问4：有多少个？

追问5：它们组成了什么图形？

追问6：圆上的点又有什么特征？

追问7：在同一个平面内，满足到圆心的距离等于半径的点又组成了什么图形？

师生活动：学生思考后回答，最终得出圆的集合定义：在一个平面内，圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合（如图5所示）.

设计意图 圆的集合定义不易理解，教学过程中，教师通过动画展示，不断追问，不断加深学生对圆的集合定义的理解，体会数学抽象过程.？摇

问题8：如图6所示，如果有三个同学分别站在直角三角形的顶点，他们以相同的速度去抢金蛋，现在金蛋放在哪个位置，他们的站位才公平呢？

追问1：为什么放在斜边的中点，他们的站位就公平呢？

追问2：为什么在直角三角形中，三顶点到斜边的中点的距离相等？

师生活动：教师提问，学生回答.

设计意图 利用“抢金蛋”游戏，培养学生逆向思维. 通过训练，不断强化学生对圆的集合定义的理解.

问题9：如图7所示，A，B，C三点在以点O为圆心，OA长为半径的圆上，那现在AB，AC以及它们之间的部分又叫什么呢？

师生活动：教师引导学生自学课本80页，完成任务：（1）在课本上勾画并理解圆的相关概念;（2）在学案上标识弦、优弧、劣弧的表示法. 教师巡视，查看自学情况，请一名学生将答案写在黑板上，同时展示另外一名学生的答案，分别再请两名学生对投影答案中的弦与弧点评，教师适时补充，同时将学生在黑板上写的答案对比，促使学生厘清相关概念.

设计意图 让学生勾画并理解圆的相关概念，也是学法指导. 同时，利用一个实例来展现学生对相关概念的认识，从而加深学生理解.

问题10：仍然在这个圆中，能不能画出和重合的弧？

師生活动：学生思考后给出等弧的概念，教师动画展示，强调等弧的写法.

设计意图 等弧不易理解，教师把这个概念拿出来，用动画展示，强化学生对概念的理解.

（三）再识圆

问题11：如图8所示，弦AB与另一条过圆心的弦，即直径AC有怎样的大小关系？哪个大？

追问1：图8中AC是直径，AB是一般的弦，换一句话说，直径AC就是圆中最长的弦. 为什么直径就是圆中最长的弦？

追问2：这是一般的弦所在直线与直径所在直线的交点在圆上的情况，如果它们的交点在圆外或者在圆内，又怎么证明呢？

师生活动：教师提问，学生通过图7直观感受直径是圆中最长的弦，教师让学生先自行思考，再合作探究证明，最后请同学上台展示，得到结果（如图9所示），教师予以方法总结.

设计意图 通过刚才的学习，学生已经知道弧有大小之分，实际上，对应的弦也能够比较大小，这也是学生在对圆的定义及相关概念已经有充分认识的基础上，进一步探究它们之间的关系. 通过合作探究，培养学生“愿学、会学”的数学学习兴趣;通过小组展示，让学生充分发表观点，让学生在倾听中不断优化自己的方法，体现了因生成而精彩的“教学观”，因随机而真实的“学生观”，因交互而发展的“课程观”.

问题12：刚才我们研究了等弧，那长度相等的弧是等弧吗？

师生活动：学生先自行思考，再合作探究证明长度相等的弧不一定是等弧. 学生讨论后举手发言，教师随后给出动画展示（如图10所示），并予以总结.

思考：长度相等的弧是等弧吗？

设计意图 学生已经知道弧有大小之分，在此基础上，再来讨论“长度相等的弧是否是等弧”就是自然的事情，由此加深对弧的认识.

（四）回顾圆

问题13：通过本节课的学习，你学到了哪些知识？

师生活动：学生小组讨论后再进行全班交流，最后教师总结，完成板书.

设计意图 教师引导学生从知识和思想方法角度进行总结，为后面学习圆的其他性质和应用埋下伏笔，与本节课开头相呼应，起到承上启下的作用.

（五）巩固圆

1. 在△ABC中，∠B=90°，试说明A，B，C三点在同一个圆上.

2. 你见过树木的年轮吗？从树木的年轮，可以知道树木的年龄. 把树干的横截面看成是圆形的，如果一棵20年树龄的树干直径是23 cm，这棵树的半径平均每年增加多少？

3. 设计：以圆为主要元素，为班级设计一个有意义的班徽，并附上解释.

设计意图 第一题以“抢金蛋”的游戏引入，融于课堂教学过程中，考查学生对圆的集合定义的理解;第2题和第3题考查学生解决实际问题的能力.

教学反思

（一）以整体建构为目标，凸显章节起始课的整体建构价值

章节起始课的教学，一方面帮助学生在“已有知識”与“需要掌握的知识”之间架起一座沟通的桥梁，引领后续学习;另一方面可以帮助学生初步建构学习本章的内容框架，理清解决本章所涉及的基本数学问题及其解决的基本数学思想和方法，提高课堂教学的思想性. 以上教学，较好地实现了这两方面的价值[1].

在学习本章内容之前，学生已经学习了“旋转”，为什么要将“圆”的学习置于“旋转”之后呢？正是因为生活中特殊物体的旋转给人以圆的印象才引出圆的学习. 本节课，我们重心在于学习圆及其相关概念，讨论圆中的数量关系，而圆中的位置关系将在后期一一学习. 由此，本节课的教学，不仅强调了知识的联系性，同时也强调了知识的整体性.

（二）以情境教学为载体，助推章节起始课的目标达成

创设问题情境，是引发认知冲突、展开数学深度探究活动的基本平台.

学生在小学阶段已经对圆有了初步认识，但课本并没有给出圆的描述性定义，教学中我们通过设置情景，让学生动手操作，从而归纳出形成圆的条件，得到了圆的描述性定义. 通过“站在圆上及矩形（或矩形四个顶点）上以相同速度来抢金蛋是否公平”为话题，不断加深学生对集合性定义的理解，从而抽象出定义就成为十分自然的事情. 以情境教学为载体，有效地促进了目标的达成.

（三）以问题为依托，强调章节起始课知识形成的逻辑性[2]

如何将章节起始课上好，需要问题的引领，而问题的质量也决定了教学的价值. 课堂中通过不断追问，让学生经历了圆的形成过程，得到了圆的定义，体验了圆的相关概念，探索出了“直径是圆中最长的弦”“长度相等的弧不一定是等弧”，通过“发现圆——初识圆——再识圆——回顾圆——巩固圆”的学习过程，进一步促进了目标的达成，而这样由浅入深学习的过程，在学生的后续学习中也会起着经验性的作用.

参考文献：

[1] 王为峰.大概念引领 整体化建构——“平行四边形”章统领课的教学及其分析[J]. 中学数学教学参考，2020（z2）：18-21.

[2] 高旻. 基于“深度学习” 提升推理能力——“直角三角形的性质定理”的教学与思考[J]. 中学数学月刊，2020（09）：31-33.

作者简介：苏文涛（1985—），硕士研究生，中学一级教师，从事初中数学教学与研究工作.