对一道与三角形有关的最值题解法的探究

刘健康

与三角形有关的最值问题的常见命题形式，是根据已知三角形的边角及其关系式、角的三角函数值，求三角形的面积、周长、边长、角的最值.此类问题侧重于考查正余弦定理、勾股定理、三角函数的定义、性质以及三角恒等变换的技巧.下面结合一道例题，谈一谈与三角形有关的最值问题的解法.

例题：已知ΔABC 是锐角三角形，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，若 B =π3，b =3，求ΔABC 面积的最大值.

题目中给出的条件较为简单，要求根据已知的一个角和一条边，求三角形面积的最值.解答本题，需灵活运用正余弦定理进行边角互化，最后结合三角形为锐角三角形这一特性来对角进行限定，以此作为约束条件，求得三角形面积的最值.解答本题主要有两种思路.

方法一：利用三角函数的性质

求解有关三角形的最值问题，经常要用到三角函数的有界性和单调性.首先需根据已知条件，利用正余弦定理进行边角互化，将三角形的面积用三角函数表示出来，再通过恒等变换，将面积的表达式转化为只含有一种函数名称的函数式，最后根据三角函数的有界性和单调性求得最值.

解法一：

该解法中主要运用了正弦定理 a sin A = b sin B = c sin C 以及正弦函數的有界性、单调性.在解题时，需运用正弦定理将所有的边化为角，然后用角的三角函数式表示出三角形的面积，便可根据角的范围和三角函数的单调性、有界性来求得最值.

解法二：

在解题时，需运用余弦定理 cosB = a2+ c 2- b 22ac 将所有的角化为边，然后用角的三角函数式表示出三角形的面积，再根据三角函数的单调性、有界性来求得最值.

方法二：利用基本不等式

若 a、b >0，则 a + b ≥2 ab ，该式称为基本不等式.运用基本不等式求最值，需把握三个条件：（1）两个数或式子均为正数;（2）当两式或数的和为定值时，其积取最大值;当两式或数的积为定值时，其和取最小值;（3）当且仅当 a = b 时，等号成立.

我们根据余弦定理将所有的角化为边，然后用边表示出三角形的面积，再构造出两式的和，并使其积为定值，这样就可以运用基本不等式来求得三角形面积的最值.

无论是利用三角函数的性质，还是利用基本不等求解与三角形有关的最值问题，都需灵活运用正弦定理、余弦定理进行边角互化，用三角形的内角的函数式、边之间的关系式表示出目标式，再将目标式进行合理的变形，以便利用三角函数的性质和基本不等式求得最值.在解题时，一定要深入挖掘与三角形有关的隐含条件，如三角形的内角和为180°，锐角的范围为（0°，90°），三角形的两边之和大于第三边等，这是对三角形的角、边的限制条件，也是求最值的关键因素.