数学文化的教学意蕴及问题链的价值

【课堂研究·特设专栏：指向数学文化的问题链教学研究（一）】

编者按：随着数学课程改革的深入，数学文化的教育价值已得到大家的充分认同，并被写入了数学课程标准中。在数学教学中，如何自然而深入地体现数学文化，以实現文化育人？这已成为一个重要的实践问题。本专栏立足数学文化观，探索以问题链作为载体的数学文化教学，以期为数学文化融入数学教学提供借鉴。

【摘 要】数学课程标准对数学文化提出了明确的要求，而如何在数学教学中有机地融入数学文化是一个重要的现实问题。要全面地体现数学课程标准中所阐明的数学文化，需要借助数学实践，而问题链是让学生进入数学实践并彰显数学文化的重要抓手。

【关键词】数学文化;数学课堂;问题链

数学的文化性已被越来越多的人认识到，数学文化也成为数学课程与教学的重要组成部分。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《义务课标2022年版》）、《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《高中课标2017年版2020年修订》）在课程性质中都明确指出，数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分。如何在数学教学中有机地融入数学文化，实现文化育人的目的？这成为一个重要的实践问题。在目前的教学中，还存在一定程度的将数学文化窄化为文化素材，将数学文化的教育窄化为文化素材的欣赏等问题。基于此，本文试图基于课程标准中关于数学文化内涵的分析，讨论问题链在落实数学文化中的价值。

一、课程标准中关于“数学文化”的理解

目前关于数学文化的定义虽然未得到统一，但也形成了一些基本的共识。《高中课标2017年版2020年修订》提出，数学文化不仅是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展，还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动。在《义务课标2022年版》中虽然没有明确界定数学文化，但在教材编写建议中间接地阐述了应在教材中渗透的数学文化的基本方面，其中包括数学在自然与社会中的应用、数学发展史等背景知识。

立足于“数学是一种文化”这一观点，可以从三个方面来理解课程标准中关于数学文化的认识。一是数学是一个相对完整、独立的文化系统。数学有其自身的思想、精神、语言、方法与观点，也正是在这些文化要素的支撑下，数学得以发生与不断发展。这与数学家怀尔德在其著作《作为一种文化系统的数学》中曾做出的论断是一致的：数学构成了一个相对独立的文化系统。二是数学是人类文化的子文化，其发展受到了人类文明的影响。这正如《高中课标2017年版2020年修订》在课程性质中所指出的：随着现代科学技术特别是计算机科学、人工智能的迅猛发展，人们获取数据和处理数据的能力都得到很大的提升，伴随着大数据时代的到来，人们常常需要对网络、文本、声音、图像等反映的信息进行数字化处理，这使数学的研究领域与应用领域得到较大拓展。《义务课标2022年版》也有类似的论述，即随着大数据分析、人工智能的发展，数学研究与应用领域不断拓展。三是数学是一股重要的文化力量，推动着人类文明的发展。两份课程标准对数学的文化价值均做了类似的论述：“数学是自然科学的重要基础”“在社会科学中发挥着越来越重要的作用”“数学的应用渗透到现代社会的各个方面”“直接为社会创造价值，推动社会生产力的发展”。

概括来说，数学文化既强调将数学作为相对独立的文化系统来理解数学的本质及其发展，同时强调人类文化其他部分对数学这一子系统产生的影响，还强调数学在人类文明发展中所做出的贡献。事实上，关于数学文化的三方面理解，综合起来就是站在文化的角度呈现数学的来龙去脉，呈现数学作为一个整体性的文化实质。李铁安在对文化和数学的本质分析后指出，数学就是一种文化。数学文化是人类在数学活动中所积累的精神创造的静态结果和所表现的动态过程。[1]

二、数学实践是体现数学文化的途径

那么，究竟如何才能让学生感受到较为完整的数学文化？正如黄秦安所指出的，数学文化观采取了一种更为广泛和宽阔的理论视角去看待有关数学的各种问题[2]4-7。这种观念必然会对数学教与学产生新的认识和要求。张维忠指出，数学文化的学习表现为群体的活动性、系统的开放性、知识的默会性等特征[3]。笔者认为，活动性是数学文化学习的基础性特征，唯有活动才能让系统的开放性特征得以再现，默会性知识得以学习。更重要的是，数学文化观使我们看到了作为个体或群体的人在数学及其发展过程中的主体作用，即认识到了作为人类的一项创造性活动的数学。因此，主体性的数学活动或者说数学实践是数学文化观的其中一个要义。换言之，在数学教与学中，应利用数学实践体现数学文化。

数学实践是一种特殊的学科实践，在教育领域中体现了一般的学科实践的基本内涵。崔允漷等认为，学科实践是指具有学科意蕴的典型实践，即学科专业共同体怀着共享的愿景与价值观，运用该学科的概念、思想与工具，整合心理过程与操控技能，解决真实情境中的问题的一套典型做法[4]。因此，数学课程中的数学实践，是一种具有数学学科意蕴、具有教育意义的典型实践。数学实践过程负载着数学特有的价值观、精神与思维，同时也是由这些要素推动着数学实践的发展与数学实践结果的凝练。

那么，彰显数学文化的数学实践活动应是怎样的？对教与学提出了什么样的价值追求？

首先，彰显数学精神与思维支撑下的数学发生发展过程。从数学文化观来看，数学并非仅仅是静态的、已完成的知识体系，而是呈现出由拥有共同信念的数学共同体在数学精神的支撑下，利用数学思维不断推动数学发展的动态过程。因此，教学中的数学实践就不能只是强调作为结果的数学知识的传承，还应强调让学生经历数学发生发展的过程，体验其背后所蕴含的数学思维与精神。

其次，彰显数学发展的文化动因。数学发展有其自身内部的动因，也有如前文所述技术发展等数学所处的人类文化的外部动因，并受相应文化所拥有的价值观、行为模式等的影响。比如，正是对实用与理论的不同志趣，在很大程度上导致了中国古代数学重应用、古希腊数学重理论的特点。因此，教学中的数学实践需要将数学的发展背景放大到人类文化的大视野中，使学生更好地理解数学及其发展。

最后，彰显数学的文化力量。无论是历史还是当下，数学在人类文明的进步过程中都做出了重要的贡献，在许多领域数学已从后台走向前台。但在学生的数学学习中，仍然存在着将数学与学生的现实生活、所处的文化相剥离的现象。因此，教学中的数学实践应进一步密切数学与人类文化其他部分之间的联系，让学生感受到数学的文化价值。

三、问题链是激活数学实践、彰显数学文化的抓手

由上述分析可知，数学实践是体现数学文化的重要途径。然而在教学实践中，如何才能让学生进入并持续性地维持在有价值的数学实践中呢？笔者认为，数学问题链是一个重要的抓手。数学问题链教学是指教师借助由有序的、主干数学问题组成的问题链展开教学的一种教学模式[5]。这里的问题是指在数学发展或在数学学习中具有核心地位的，处于关键位置的大问题、主干问题，问题与问题之间的关系反映了重要的数学思维及数学发展的基本脉络。问题链在激活学生的数学实践并彰显数学文化上有以下价值。

（一）问题吸引学生参与数学实践，体会数学发展的文化动因

将学生吸引到数学实践中来，这是数学实践发挥育人价值的前提。如果学生游离在数学实践的学习活动之外，那么数学实践活动设计得再好，也无法真正起到育人的作用。在数学教学中，也不乏因为学生不理解学习的必要性、缺乏足够的学习动机而对其学习造成消极影响的现象。出现这种现象的一个重要原因在于，教学中将数学从其丰富的意义脉络中剥离出来，变成了纯粹知识的教学与符号技能的训练。数学文化观告诉我们，数学是在受到内外部问题的驱动下得到不断发展的。在教学中，通过问题可以还原数学在其发展过程中遇到的困境，揭示数学发展的文化动因，从而让学生投入到为了解决问题而开展的数学实践中来。

首先，数学史中的问题吸引学生理解历史上的数学实践。比如，在高中数学虚数的学习中，如果只是将虚数作为一种新的数，只是着重于运算法则之下的符号操作的话，也许能达成技能的熟练，但对虚数的意义以及为什么要学习虚数等问题是缺乏理解的。在笔者参与的一个课例研究中，为了吸引学生赏析历史中的数学实践过程，笔者设置了以下问题。首先，设置一个引入性问题：对于三次方程x3=15x+4，你能求出它的根吗？是怎么求的？经过讨论，学生发现这个方程可通过因式分解变成（x-4）（x2+4x+1）=0，从而找到方程的一个根4。接着，这个问题又引发学生思考另一个问题：如果遇到不容易因式分解的三次方程，又该如何求解呢？从而将学生吸引到数学家卡丹对解三次方程的研究中。[6]

其次，现实中面临的问题能激活学生的求知欲，激发学生的实践兴趣。比如，在小学折线统计图的教学中，教师可以通过“如何直观地反映某地新冠疫情的变化趋势”这一问题，让学生产生“条形统计图虽然也能反映变化趋势，但还不够直观”的不满足感，以及激发学生开展以改进数据呈现模型为目标的数学实践的兴趣[7]。

（二）问题为学生提供应用性的数学实践机会，感受数学的文化价值

如何在教学中凸显数学的文化价值，这其实并没有想象中那么容易。黄秦安指出，许多自然科学的新突破和新进展，例如克隆、大爆炸、基因图谱与基因工程、超导、纳米等，能够较快地被普通公民所接受并迅速成為大众文化的一部分，然而，数学的情况却要糟糕得多。随着数学专业化程度的日益提高，数学的最新成果难于被社会公众所理解，甚至通俗的解释都是十分困难的。[2]2-7因此，教师需要通过合适的问题设计，为学生提供应用性的数学实践机会，让学生感受数学所发挥的文化价值。

比如，几何变换是图形与几何中的重要内容并在现实世界中有着广泛的应用。然而如何才能让学生认识这一点？教师可以通过以下两个问题引发学生数学实践：一是在我们生活的现实世界中，哪些体现了几何变换？具体是怎样的几何变换？二是你能用几何变换设计一个漂亮的美术作品吗？[8]其中第一个问题的目的是让学生带着关于“几何变换”的认识，去观察现实世界，发现如建筑、服饰、美术作品中存在的几何变换，这既是对几何变换相关知识的巩固与应用，也为学生感受数学的美学价值提供机会。第二个问题的目的是让学生利用数学知识进行创作，在自己的作品创作过程中体会数学的应用价值。

（三）问题链为学生脉络化的数学实践提供线索，体会数学的文化系统

数学实践是一个整体，有实践的目的与缘起，也有实践的过程，还有实践的结果。课堂中的数学实践不会像数学学术研究中那么完整，往往是经过理性重建后的简约的实践。尽管如此，仍然需要为学生提供数学实践的关键脉络，否则会造成学生理解的片面与碎片化。而且数学实践背后的脉络凸显了数学内在的思维方式及更隐性的数学精神。问题链中问题与问题之间的关系，其实体现了数学的思维及精神。正是数学思维，才使一个问题发展到另一个问题，而数学精神则为这种发展提供了动力。

比如，扩张化精神驱动人们将问题做一般化处理，反过来基于一般化思维的数学问题链也能让学生体会到数学的扩张化精神。举例而言，以下关于“圆锥曲线一类定点问题的探索”中设置的几个问题[9]，体现了数学的扩张化精神和一般化思维。

问题1：已知抛物线y2=4x，过x轴上一点K的直线与抛物线交于点P，Q两点。证明：存在唯一的点K，使得[1PK2+1KQ2]为常数，并确定点K的坐标。

问题2：其他的抛物线也存在这样唯一的点，使[1PK2+1KQ2]为常数吗？

问题3：如果把上述问题的背景推广到椭圆、双曲线上，也存在类似的结论吗？

又比如，数学中的统一建设精神驱动人们寻找系列问题的共通视角、一般性质及基本方法等，同时也驱动人们利用统一性提出问题、分析问题、解决问题。以下关于“立方根”教学中设置的几个问题即体现了视角关联背后的统一建设精神[10]。

问题1：我们在学习数的平方后，还学习了立方以及乘方。类似地，在学完平方根后，你认为还可以研究什么？

问题2：根据平方根的学习经验，你认为可以怎样研究立方根？

综上所述，数学文化既表现为数学是一种相对独立的文化体系，又表现为人类文化的一个子文化。其一方面受人类文化其他部分的影响，另一方面又在人类文明进程中发挥了重要的文化价值。数学实践是数学教学中体现数学文化的重要途径，而问题链则能为激活数学实践并彰显数学文化提供抓手。

参考文献：

[1]李铁安.文化意义下的数学及其教育意蕴[J].数学教育学报，2008（6）：16-20.

[2]黄秦安.关于数学文化的若干重要相关研究领域：兼论如何进一步开展数学教育的文化研究[J].数学教育学报，2007（2）：4-7.

[3]张维忠.数学教育中的数学文化[M].上海：上海教育出版社，2011.

[4]崔允漷，张紫红，郭洪瑞.溯源与解读：学科实践即学习方式变革的新方向[J].2021（12）：55-63.

[5]唐恒钧，张维忠.数学问题链教学的理论与实践[M].上海：华东师范大学出版社，2021.

[6]吴英，徐元根，唐恒钧.基于数学本质的“数系的扩充和复数的概念”教学探索[J].中学教研（数学），2019（3）：1-4.

[7]唐恒钧，李婉玥.指向核心素养的小学数学文化主题活动及设计要点[J].浙江师范大学学报（自然科学版），2021（4）：476-480.

[8]唐恒钧，张维忠.民俗数学及其教育学转化：基于非洲民俗数学的讨论[J].民族教育研究，2014（2）：115-120.

[9]徐丽峰，唐恒钧.通过数学思维框架助推学生有效探究：基于“圆锥曲线中一类定点问题”的教学探索[J].中学数学杂志，2017（3）：19-22.

[10]胡艳，唐恒钧.“立方根”概念的问题链教学探索[J].中学数学研究（华南师范大学），2019（6）：8-10.

（责任编辑：陆顺演）