求数列和的几种常用方法

张秀云

数列求和问题是高考数学试题中的“常客”.这类问题的命题形式多变，侧重于考查等差、等比數列的性质、通项公式、前 n 项求和公式.解答此类问题的常用方法有分类讨论法、并项求和法、倒序相加法、裂项相消法等.本文主要介绍分类讨论法、倒序相加法和裂项相消法.

一、分类讨论法

有时数列中出现几类具有不同特征的项，此时需采用分类讨论法来求数列的和.运用分类讨论法求数列的和，需根据数列中各项的特点，对 n 进行分类讨论，如分奇数项、偶数项，分整数项、分数项，分正数项、负数项等.运用该方法解题，需仔细观察数列的通项公式的结构或数列中各项的特点，并确定分类的标准，然后逐类进行讨论，求出各类数列的和，最后综合所得的结果即可解题.

例1.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，S2=4，an +1=2S +1.

（1）求{an}的通项公式;

（2）求数列{|an - n -2|}的前 n 项和.

解：

数列{bn}的通项公式中含有绝对值，经分析可知，当 n =1、2时和当 n ≥3时数列的前 n 项和式不一样，因此需采用分类讨论法，分别讨论当 n =1、2时和当 n ≥3时数列的通项公式和前 n 项和，最后综合所有情况即可.

二、倒序相加法

倒序相加法是求数列前 n 项和的常用方法之一，若与数列的首尾两项等距离的两项之和等于首尾两项之和，则采用倒序相加法求和较为有效.运用该方法解题的思路为：将数列的各项相加得到等式 Sn = a1+a2+…+ an -1+ an ①，将数列的各项倒序相加得到另一个等式 Sn = an + an -1+…+ a2+ a1②，再将两式相加可得2Sn = n（a1+ an ）= n（am + an - m） ，求得a1+ an 或 am + an - m的值，即可求得数列的和.

例2.

分析：仔细研究 f （x），可发现 f （x）+f =1，而x 与互为倒数，于是采用倒序相加法，将数列的正序和与倒序和相加，使得自变量互为倒数的两项相加，便可将数列求和问题转化简单的计算问题.

解：

三、裂项相消法

裂项相消法较为灵活，运用该方法求数列的前n 项和，需先根据数列通项公式的结构特点，将其裂为两项之差的形式 an =f （n）-f （n - k），如=-、 =- ，这样将数列的前 n 项相加的过程中，绝对值相等、符号相反的项便会相互抵消，化简所得结果，即可得到数列前 n项和.

例3.

解：

求解第二问，需根据第一问得到的数列{bn} 的通项公式进行分析，经研究可发现数列的通项公式裂项可得到，于是采用裂项相消法来求和.求和时，中间的部分项便会相互抵消，通过化简即可得到前 n 项和 Tn .

通过对上述例题的分析，可发现每种求和方法的适用情形各不相同，分类讨论法主要适用于求解数列中的项有明显区别的求和问题;倒序相加法主要适用于解答与首尾项等距离的项之和呈现一定规律的求和问题;裂项相消法主要适用于求解数列的通项公式为分式，且可裂为两项之差的数列求和问题.同学们在解题时，要注意根据数列中各项或通项公式的特点，选择与之相应的方法进求和.