立足“落差”，巧妙设置问题

张春晓

[摘  要] 高中数学教学尤其关注学生在学习过程中的自主性、实践性与开放性等. 实践证明，真正意义上的深入、高质量的数学教学，必定少不了探究的成分. 巧妙地设置问题是引发学生产生探究行为的基础，也是当今课堂重要的组织形式. 文章认为，寻找“落差”是合理设置问题的前提，理解“落差”是科学设置问题的基础，转化“落差”是巧妙设置问题的关键.

[关键词] 落差;问题;数学思维

设置问题是指在教学的关隘处，创设具有启发性的疑问，以激发学生思考与自主学习的一种教学手段. 问题是联系师生思维同频共振的纽带[1]. 陶行知认为，“发明千千万，一问是起点，智者问得巧，愚者问得笨.”可见问题对教学有深远的影响，教师设计的每一个问题都要问得巧、问得妙、问得恰到好处，久而久之能有效地开启学生的思维，提高学生的数学素养.

当前，高中数学课堂中存在一种现象，即学生对知识的理解程度与知识本质间存在一定的距离，简称落差. 想要克服这种现象，需要教师设置合适的问题，以缩短学生的理解与知识本质间的落差. 鉴于此，设置问题于这种“落差”处，是值得每个教师探讨的话题.

[?] 寻找“落差”是合理设置问题的前提

罗丹认为，“世界上并不缺少美，而是缺少一双发现美的眼睛.”数学课堂中，学生的理解与知识本质间的落差一直存在，就看教师是否具备发现这种客观存在的能力.

案例1 “集合间的基本关系”教学.

有学生认为 并非A的子集，出现这种认识的理由为：若空集中没有任何元素，那就不存在 中的元素属于集合A，这与子集的定义不相符. 从学生所阐述的理由分析，可以看出学生在理解“空集为任何集合的子集”这句话上出现了认知与知识实际间的“落差”. 面对這个落差，教师可作如下引导，让学生自主发现并解决这个落差：

第一步：

问题1：同一句话，常有不同的表达方式，现在我们来看看下面这几句话是否为一个意思：①我们班的所有学生都待在教室里;②我们班没有学生不待在教室里.

从这两句话来看，学生很容易得出，这是同一句话的两种表达方式，所表达的意思是等价的.

第二步：

问题2：已知集合A为集合B的子集，也就是说集合A中的任何元素均属于集合B，模仿以上等价的表达方式，可以怎样换一种说法？

学生经过思考后提出：已知集合A为集合B的子集，也就是说集合A中没有元素不属于集合B.

第三步：

问题3：空集 和任何集合A， 中是否存在不属于A的元素？（ 并不包含任何元素，固然没有不属于A的元素）

至此，学生顿时恍然大悟. 此处设置问题的精妙之处就在于问了学生在概念理解中缺乏“等价”而造成的“落差”，这些问题就如同一个撬起学生思维的“支点”，学生的智慧大门随之开启，如此设计问题的教学效果远远超越机械性记忆.

实践证明，类似于此的现象在高中数学课堂中较为常见，关键就看教师是否拥有善于发现的慧眼. 如“几何概型”的教学中，笔者就发现了不少学生存在的“落差”，如了解了几何概型包含无限多的事件后，该怎样“度量”这些事件发生的可能性呢？怎样将这种度量自然地与区域测度（长、面积与体积等）相关联呢？……

结合学情分析，学生出现这些“落差”都是因为对概念的理解缺乏深度或广度，从而出现了“没注意”或“没想到”的情况. 从笔者的执教经验来看，这些“落差”都是教师巧妙设置问题的“点”，若以这些点带面，则能让学生更好地理解其中的“落差”，从根本上解决问题.

鉴于此，教师设置问题前要反复揣摩学生与教材，加深对学情与教学内容的理解程度，尽可能从学生的视角去发现并理解知识的本质与学生认知间存在的“落差”，这是将课堂提问迈向“小而实”的基础，也是合理设置问题的基本前提.

[?] 理解“落差”是科学设置问题的基础

发现“落差”是合理设置问题的前提，理解“落差”则是科学设置问题的基础. 概念解读体现了教师的专业水平，课堂中发现学生的“落差”彰显着教师敏锐的洞察力，而理解学生这些“落差”形成的原因以及采取应对措施体现教师的教学能力. 因此，高屋建瓴地搞清楚数学概念的内涵与外延，是获得知识本质的根本[2].

案例2 “直线的斜率”教学.

本章节教学时，有一个容易被忽略的问题：在已知倾斜角概念的情况下，已经能刻画出直线的倾斜程度，为什么还要研究斜率的概念呢？定义直线斜率时，用的是k=tanα，为什么不用k=sinα或k=cosα呢？

这是一个实实在在的“落差”，从教材角度出发，可以做出如下解释：通过复原斜率的形成过程，可发现直线上的动点（x，y）和倾斜角（不变量）并不能建立直接的关系，而需代数化倾斜角，如此才能将变量（x，y）和不变量（斜率k）建立关系.

代数化倾斜角时，用正切而没有用正弦或余弦，主要原因是正切函数具有单调递增特征，也就是说不论角为锐角还是钝角，倾斜角越大，那么斜率则越大，而正弦、余弦这两类函数无法达到如此的实际效果. 从长远的角度来看，后继的导数学习，正切值其实就是直线的瞬时变化率，由此也能看出数学知识间的关联性与系统性.

若将设置问题的目光瞄向这些小又确实存在“落差”的地方，紧扣这些“落差”进行探究，绕到知识的本质上去瞧一瞧，会让学生感知这些“落差”后面的实质，对学生的思维能起到重要的引导和促进作用.

案例3 “四个命题”教学.

“四个命题”的教学中，不少教师备课时对教材中所提及的问题“原命题、否命题、逆命题、逆否命题的真假具有怎样的联系”感到有些棘手. 同样，学生也不容易理解这部分内容，遇到此问题时，不少学生选择了逃避的方式去对待，从而导致一知半解.

教参分析这个问题时，建议学生结合已有的认知结构与教材中所呈现的例题，自主归纳、总结、提炼出：原命题和逆否命题同时是假的或同时是真的，逆命题和否命题同时是假的或同时是真的，也就是说互为逆否命题的两个命题是同真假命题.

实际教学活动过程中，通过几组例题的分析与研究，可以总结出：互为逆否命题的两个命题的真假是一致的，这个结论虽然没毛病，但从学生的角度来说，确实有点突然，也有不少学生认为这个结论来得不够严谨，并没有达到知其然且知其所以然的地步. 鉴于此，笔者思考：何不围绕这个“落差”，引导学生探究一下这个问题的本质呢？于是带着这个想法，进行了如下教学：

源于此设置问题，教师可作此解释：从集合的角度来分析，命题“若p则q”，即满足条件p的所有元素构成集合A，满足条件q的所有元素构成集合B，若命题“若p则q”成立，则代表任何x∈A，必定x∈B，也就是A?B，因此若x?B，则必然x?A，即逆否命題“若非q则非p”必然成立.

同样，以类似于集合的观点，还可以描述后继遇到的新内容，如充分条件、必要条件、充要条件之间的关系. 由此及彼，只要彻底理解一类逻辑推理的规则与方法，即可形成一种系统的逻辑推理能力.

[?] 转化“落差”是巧妙设置问题的关键

课堂中的每个问题并非随随便便就提出来的，问题“这一棒”究竟该打在什么地方呢？实践证明，设置问题的“点”，应该在学生对概念有所了解，却无法利用概念去自行解决问题，同时大部分学生在自主探究与教师的点拨下又能完成之处. 这也就是维果斯基最著名的最近发展区理论，将问题设在学生的最近发展区内，可让学生“跳一跳，摘到桃”.

设置问题的契机把握好了，就要教师去寻找创设问题的难度与学生认知间的“落差”点，一个充满智慧的问题，是学生思维的脚手架，学生的数学思维能沿着问题的台阶拾级而上，对知识的理解越发深入、广泛、透彻，为建构完整的认知体系奠定基础[3].

教师掌握了学生的“落差”，也知道提问势在必行，但究竟该如何转化问题呢？相同的内容，使用不同的提问技巧，所形成的教学效果也是千差万别的. 陶行知先生认为，发明千千万，起点为一问. 可见，这一问何其重要.

案例4 “等比数列的前n项和公式”教学.

本章节是高中数学的重中之重，堪称经典教学内容之一. 其中，错位相减法是推导数列求和公式的典型方法，也是数列求和问题的基本解法之一. 教师都明白这部分知识的重要性，但教材是直接呈现错位相减法的，学生面对这部分知识，因缺乏一个深入理解的过程，呈现出了“落差”. 不少教师和学生都意识到了这个问题，只是一时半会不知从何着手填补这个“落差”.

课堂中，大多数教师会在此处带领学生尝试应用一定方法去探索错位相减法，笔者也有所尝试，但效果并不十分理想. 因此，有些教师就放弃了引导学生探索的过程，依然采取直接告知的方式. 这种处理方式显然过于粗暴，学生并没有从本质上理解这种推导方法，应用时难免会错误百出.

鉴于此，笔者通过查阅资料，并结合学生实际认知水平与认知特点，经过多轮尝试，取得了较好的成效，现整理如下：

问题1：等比数列{a}的前n项和S=a+a+…+a中，有n个未知量，我们可以怎么计算呢？

生：S=a+aq+…+aqn-1=a（1+q+q2+q3+…+qn-1）.

问题2：怎么求B=1+q+q2+q3+…+qn-1？

……

问题3：怎么将B=1+q+q2+q3+…+qn-1特殊化？

生：取公比q与项数n的一些特殊值，如q=1，则B=n.

问题4：若q=2呢？假设T=1+2+4+…+2n-1，将n取特殊值，可得什么结果？

问题5：能猜想出B=1+q+q2+…+qn-1=qn-1的结论吗？（显然q=3就不成立）

问题6：如果D=1+3+32+…+3n-1，那么D和3n-1具有怎样的关系呢？（猜想D=）

问题7：当q=2时，T=2n-1;当q=3时，D=. 在一般情况下，B=1+q+q2+…+qn-1等于什么？是否可以考虑取q=4进行尝试？

生：当发现Y=1+4+42+…+4n=时，猜想1+q+q2+…+qn-1=（q≠1），则S=a+aq+…+aqn-1=（q≠1）或S=（q≠1）.

师：通过以上问题的解决，大家可以归纳出等比数列前n项和公式了吗？

生：目前还不行，以上问题的解决过程，虽然获得了一定结论，但都属于猜想，至于其是否正确，还有待周密、严谨地证明.

师：那我们怎么证明以上公式是否成立呢？

生：当q=1时，S=na是成立的;当q≠1时，想要证明S=，需要证明S（1-q）=a（1-qn），想要证明此式，需要把等式S=a+aq+…+aqn-1①的两侧同时乘上公比q，得到qS=aq+aq2+…+aqn-1+aqn②，于是①-②=S（1-q）=a（1-qn），得Sn=.

师：式①右边的“n-1”项和式②右边的“n-1”项错位相同，两式相减时，消除相同的“n-1”项，这就是本节课的重要内容之一——错位相减法.

随着“问题串”的应用，将知识逐步转化，逐层引导. 学生对错位相减法认识上的“落差”，随着一个个问题的突破而化整为零. 同时，学生的思维也随着循序渐进的问题而逐渐深入. 此过程中，问题既为学生的思维提供了阶梯，又充分展示了设置问题的梯度与角度，有效地启发了学生思维的宽度与广度.

与之类似的“平面与平面平行的判定定理”教学，教材对此定理提出的要求为直观感知与操作确认. 学生在实际操作、观察与感知中，对于为什么该定理要强调两条直线而不是一条直线，形成了认知上的“落差”. 同时，这两条直线为什么一定要相交呢？如果不相交可不可以呢？

基于以上几个“落差”，笔者教学时提出了以下几个问题：①若一条直线和平面是平行的关系，是否可以判定面面平行？可以找出反例进行验证吗？②定理中强调了“两条相交直线”，如果两条直线不相交，可否判定面面之间是平行的关系呢？是否有反例可以证明？③通过前面反证法的应用，现在是否可以证明该定理呢？

通过以上巧妙的问题设置，为学生的思维打开了一扇智慧之门. 由此可见，理解并应用好“落差”，往往能给教学带来新的生命与活力.

总之，设置问题即是一种教育技巧，也是一种教育艺术. 一个好的问题是课堂的润滑剂，亦是学生思维的催化剂. 因此，一线的数学教师，应有意识地增强自身的设置问题技巧，紧扣学生认知上的“落差”，从不同的角度去转化问题，让问题具备细致、小巧、实用等特征.

参考文献：

[1]  涂荣豹，王光明，宁连华. 新编数学教学论[M]. 上海：华东师范大学出版社，2006.

[2]  罗增儒. 中学数学解题的理论与实践[M]. 南宁：广西教育出版社，2008.

[3]  许兴震. 设计有价值的问题 促进学生自主建构——以“两角和与差的余弦”为例[J]. 数学通报，2019，58（01）：36-40.