基于“能力立意、问题导向”的深度教学策略

周宁

[摘  要] 文章以“利用函数对称性求值”课例说明，在高三数学复习中如何以“能力立意、问题导向”开展微专题复习以及如何实现教师深度教学和学生深度学习，提升教师的教育教学水平和学生数学核心素养.

[关键词] 能力立意;问题导向;深度教学;深度学习;函数对称性

[?]问题提出

进入高三二轮复习，很多教师会以微专题的形式展开复习教学，以期提高复习的有效性. 但是在专题内容的选择上，只是以知识、题型、解题技巧为主题，忽视了对知识本质、内在逻辑的联系以及思想方法的重视，可能在一些陈题上会有效果，但是在如今以能力、素养为立意的高考命题导向下，这种复习行为显然有些不思进取、故步自封. 笔者学习了黄炳锋老师提出的“五环节”（能力测评、诊断分析、典例精析、课堂小结、目标检测）教学法并加以实践，以“能力立意、问题导向”进行微专题复习，在教学设计中力求让学生加强对数学本质的理解、对数学思想的感悟以及对数学学习的情操体验，从而提高学生的数学能力.

本文以高三复习微专题“利用函数对称性求值”为例，探求如何通过“五环节”进行深度教学，促进学生深度学习.

[?]教学过程

1. 能力测评

教师：请同学们花十分钟时间完成例1.

例1 （2017年全国卷Ⅲ理数第11题）已知函数f（x）=x2-2x+a（ex-1+e-x+1）有唯一零点，则a=（  ）

A. - B.

C. D. 1

笔者在巡视中发现学生作答都是马上对函数f（x）求导，然后就无从下笔了，于是笔者决定引导学生对问题再认识，领悟问题考查的知识内容和思想方法，从而提升其思维品质，发展学生的核心素养.

教师：为什么要求导？

生1：利用导数判断函数的单调性，然后画函数图像.

教师：很好，函数有唯一零点可以从函数图像中观察到，但是发现导函数的解析式很复杂，无法利用导函数判断函数的单调性，这个方法走不通. 但是方向是没错的，问题在于如何发现图像的大致形状. 请大家再观察函数的解析式，是否能发现其特殊性？

生2：y=x2-2x的图像关于x=1对称.

教师：“函数图像有对称轴”与“函数有唯一零点”有关系吗？

生2：如果函数有唯一零点，且图像关于x=m对称，那么x=m就是函数的零点.

教师：所以下一步我们该如何处理？

生2：猜测y=ex-1+e-x+1也关于x=1对称，这样f（x）=x2-2x+a（ex-1+e-x+1）的图像就关于x=1对称，可得f（1）=0，就可以求出a的值了.

设计意图：以问题为导向，通过能力测评的试题暴露学生现存的问题：对数学问题认识不清，导致解题没有方向，机械化、随意性，导致问题无法顺利求解. 激发学生的问题意识，从而引出本节课的主题，明确本节课的学习内容.

2. 诊断分析

教师：要能够顺利求解一个数学问题，先要认清问题的本质，因此读题后有必要思考三个问题：

（1）这是一个什么数学问题？

（2）解决这类问题的一般思想方法是什么？

（3）条件和问题具体是什么？怎么联系起来？

对于例1，这三个问题的答案是什么？

预设：（1）含参函数有唯一零点求参数取值;

（2）函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想;

（3）解析式（代数）→图像（几何）→代数.

教师：解决例1的关键是发现函数图像具有对称轴，以及对称轴的几何特征与代数特征之间的联系，因此我们有必要总结一下函数对称性以及其代数特征与几何特征. 请同学们完成表1和表2.

设计意图：通过对例1解答过程中学生出现的问题进行诊断分析，引出考查中需要进一步研究的具体问题，构建解决这类问题所需要的知识方法体系.

3. 典例精析

例2 （2016年全国卷Ⅱ文数第12题）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），若函数y=x2-2x-3與y=f（x）图像的交点为（x，y），（x，y），…，（x，y），则x=（  ）

A. 0 B. m

C. 2m D. 4m

解析：由f（x）=f（2-x）得f（x）的图像关于x=1对称，又函数y=x2-2x-3的图像也关于x=1对称，故两个函数图像的交点必然也关于x=1对称.不妨设x

变式：已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=-f（2-x），若函数y=g（x）与y=f（x）图像的交点为（x，y），（x，y），…，（x，y），且x=m，则g（x）=________（请写出满足题意的一个函数解析式）.

解析：由f（2-x）+f（x）=0可知，f（x）的图像关于（1，0）对称，若y=g（x）的图像也关于（1，0）对称，易得x=m. 所以g（x）的解析式可以是y=（x-1）3，y=，y=sinπx等.

例3 （2012年全国新课标卷文数第16题）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=________.

解析：f（x）==1+，因为y=是奇函数，其图像关于（0，0）对称，故y=f（x）的图像关于（0，1）对称，由图像性质可知，=1，即M+m=2.

设计意图：通过例题帮助学生进一步理解考查的知识点和思想方法，体会如何利用函数对称性解决问题以及函数对称性可以解决哪些问题，并通过开放性试题的设置来提高学生对函数对称性的代数特征与几何特征的理解和认识. 特别是对例3的解答，如果对函数对称性的认识不够深刻，看到最值问题就想到利用导数求解，那么此题将无法解决，跟例1暴露出来的问题是相似的，通过这道题再一次强化学生对函数对称性的认知.

4. 课堂小结

（1）本节课学习了哪些知识和思想方法？

（2）如何想到用函数对称性解决问题？用函数对称性可以解决哪些问题？

（3）总结具有对称性的函数.

（4）你能否通过本节课的学习，总结函数的其他性质？

设计意图：引导学生梳理本节课内容，进一步完善知识方法体系，让学生理解函数对称性的本质特征，领悟其中蕴含的数学思想方法，体会数学的对称美.

5. 目标检测

（2016年全国卷Ⅱ理数第12题）已知函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=2-f（x），若函数y=与y=f（x）图像的交点为（x，y），（x，y），…，（x，y），则（x+y）=（  ）

A. 0 B. m

C. 2m D. 4m

[?]深度教学的几点思考

1. 深度教学要基于主题的选取

为了能够促进学生深度学习，教学主题的选取不是为了让学生解决单一的知识问题，而是要能够产生数学知识方法横向以及纵向的关联，在思维逻辑上具有同一性，在学习方式上具有生成性，在教学设计上具有一致性，使得学生能够以批判性思维进行知识方法的建构，更能以知识迁移的运用来提高数学能力，体现该主题的核心价值. 通过构建知识结构体系，帮助学生获得学科思维方法，促进学生对这类相似知识方法体系的理解，从而达到深度学习的目标.

如本节课对函数对称性的复习与函数的单调性、最值、周期性等性质在知识建构的过程、思想方法的提炼上保持着一致性，使得学生在认知观念和知识体系上形成逻辑连贯性，从而建构起解决这类问题的知识方法体系.

2. 深度教学要面向问题的解决

由于学生的认知结构不够完善，认知水平也有待提高，所以学生不太可能自主完成数学深度学习. 因此复习时通过问题让学生形成认知冲突，从而激发其求知欲，调动学生探究问题的积极性和主动性. 这一切的前提是要有优质的问题进行引导. 因此复习中对数学试题的选择要把握好高考的重点、热点、疑难点，要具有深入研究的价值和较高的思维，问题的解决能够充分体现数学的基本思想方法，通过对问题的多角度理解加深对问题本质的认识，为学生深度学习提供条件.

“五环节”教学模式中通过“能力测评”环节暴露学生对该教学主题的浅层思维，发现存在的问题，在“诊断分析”中通过层层设问促使学生对问题进行深度剖析，从而以批判性思维对知识方法重新建构，在“典例精析”中强化对问题本质的认识与理解，通过设置结构不良试题来发展学生综合分析、解决问题的能力，提高学生把握知识方法的深度，促进深度学习.

3. 深度教學要深化数学的理解

很多情况下学生进行的是浅层学习，一个很重要的原因就是对数学的理解只是基于表层，忽视对数学本质的认识. 为让学生进入深度学习，首要就是理解数学的内涵：可以在数学知识背景、几何直观、符号公式中感受数学的“感性美”，在逻辑推理中理解数学的“理性美”，通过这两种美的认知体会对数学本质的理解，如本节课中对称性的代数特征与几何特征之间的联系;也可以通过数学思考培养数学思维方法，扩充认知结构，积累活动经验.通过深化对数学的理解，实现深度学习.

4. 深度教学要教会学生学习

深度教学的一个重要目标是教会学生拥有自主学习的能力，拥有探求数学知识世界的渴望，拥有发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力. 要实现这样的目标，教学中要帮助学生对数学知识进行关联和整合，能够运用类比、发展的思维去发现问题，在问题的探究中培养团结协作、科学理性的精神，掌握数学发现的一般方法，在“反思”与“再认识”中加强对问题本质的理解，这样才能真正学会深度学习.

[?]结语

无论是深度教学还是深度学习，都要求“深刻理解数学”. 在这个过程中，教师以“深刻的思想启迪学生”，学生以“深刻的学习开创未来”.