从经历到经验：在运算律教学中培养推理意识

张春洁

推理意识主要是指学生对逻辑推理过程及其意义的初步感悟，有助于学生养成讲道理、有条理的思维习惯，是形成推理能力的经验基础。小学是学生系统学习推理相关知识的起步阶段，教师应根据学生的年龄特点和知识特质，有意识地进行教学，促进学生推理意识的逐渐形成。运算律的教学属于规律性知识教学的范畴。教学中，可以使学生经历从特殊问题中发现猜想，催生推理的意识；通过举例验证、归纳概括得出结论的过程，进一步引领学生经历推理实践；并在规律的选择和运用中，进一步发展推理思维；在对推理过程的回顾与运用中获得推理的基本方法结构和初步经验，从而使学生逐渐形成推理的意识。

“运算律”是苏教版四年级下册第六单元的内容。该单元探究了加法交换律、结合律，乘法交換律、结合律、分配律，以及连减的性质、连除的性质。这些内容对学生来说并不陌生，在之前的学习中已经渐次接触了一些例子。该单元要探究的运算律内容虽然不同，规律探究的过程却是相同的，即偶然现象（或特殊问题）→引发猜想→举例验证→概括结论→运用结论。本单元教学的价值在于推理的过程，即通过运算律的探究使学生有机会经历从已有事实出发，通过归纳和类比推断出结果，通过举例验证获得结论，并把得到的结论运用于具体的计算和解决问题中，帮助学生形成研究的意识，积累推理活动的经验，促使推理意识萌芽。

一、观察中猜想，催生推理意识

观察是以视觉为主，融其他感觉为一体的综合感知，包含着积极的思维活动，是获得感性认识的重要途径，也是开启推理活动的窗口。猜想是基于学生已有的认知、经验，凭借某些线索进行推断猜度得到的结果。“先猜后证”是合情推理的一般过程，学生从感性材料中得到启发，通过联想，发挥想象力，能促进推理活动自然发生。从这个意义上讲，细心观察、大胆猜想能催生学生的推理意识。

在探究加法交换律时，教材中提供了一个生活情境。这个情境跟学生的生活很贴近，学生能很轻松地用不同的方法解答，从而很自然地得到一个等式“17+28=28+17”。通过教师引导：“等式两边的算式有什么地方相同和不同？”学生观察发现交换了两个加数的位置，但得数没有发生变化。但一个算式还不足以引发学生的猜想，教师需进一步引导：“这样的情况以前是否遇到过？”在问题引导中帮助学生调用已有的学习经验进行合理猜想。另外，在本单元的知识中，加法交换律和乘法交换律具有相似性，加法结合律和乘法结合律具有相似性，连减的性质和连除的性质也具有相似性，这就使学生开展类比猜想成为了可能。总之，猜想是一种模仿，是一种直觉，更是一种预测性判断，猜想的结果能直接反映学生的观察水平。事实上，直觉所见的猜想结果如果能加以验证，就可以抽象出各种规律定理，推理意识的产生便水到渠成了。

二、验证中表达，经历推理过程

验证是拿出依据作出判断的过程；表达是有理有据进行验证的方式，包括举正例和反例。在教学中如果能引导学生在验证中学会表达，由此及彼、有理有据地说清来龙去脉，让学生真实经历推理的过程，无疑对学生推理意识的形成是有益的。下面仍以加法交换律为例加以说明，过程如下图所示。

从图中不难看出，学生举例的过程本身也是一次简单推理的经历，因此举例过程的表达要引导学生注意有理有据、符合逻辑。另外，教师在指导学生举例验证的过程中所举的例子要尽可能做到范围覆盖面广、类型不重复。这样，举例验证的过程才能激发学生的数学思维活力，学生为了寻找反例会绞尽脑汁；不同类型、不同范围的举例还可以开拓学生的视野。学生在验证中有条理地表达，使他们真正经历推理的过程。

三、运用中选择，发展推理思维

发现并验证运算律的过程是从特殊到一般，属于归纳推理，它能让学生经历数学知识的“再创造”。利用运算律进行简便运算的过程是从一般到特殊，属于演绎推理，需要学生保持思维的严密性和一贯性。两种推理对学生的思维成长发挥着同等重要的作用。学生面对具体的运算问题，在选择使用何种运算律时需要进行判断与决策，激活推理意识。因此，在运算律的运用中，教师可以设计易混易错和一题多解等形式的题组，引导学生有理有据地分析和思考，帮助学生对问题本质有清晰的理解，有效增强学生的观察力与思维逻辑性，提升学生的数学应用能力，发展学生的推理思维。

运算律或运算性质的相似性和差异性，以及使用范围的不同是学生学习的难点，如果不加强比较分析，容易造成在实际运用中屡屡出错。比如，200÷25×4，学生很容易只关注到数据特点而错用乘法结合律，算成200÷（25×4）。另外，在用运算律使计算简便的应用中，往往会出现一题多解。比如用运算律计算25×16时，学生拆数的角度不同，应用运算律进行简便运算的方式也不同。教学中要引导学生加以比较，既要关注使用相同运算律导致简便程度不同的比较，也要关注使用不同运算律导致简便程度不同的比较，引导学生思考到底选用的是什么运算律，是怎么想到的，怎样根据符号和数据的特点确定运算律使计算简便等，既凸显最优化算法，又能让学生养成讲道理、有条理的思维习惯，发展推理思维。

四、回顾中实践，获得推理经验

通过对推理方法的回顾有利于学生对方法形成结构化认识。这种结构状的方法较点状的数学知识而言更具有迁移性，也容易成为推理经验，发展学生推理意识。

以运算律的探究过程为例，学生经历观察、猜想、验证和归纳的过程，并通过回顾了解探究规律的一般方法，有助于学生形成科学的研究态度，获得合情推理的经验。因此，在第一课“加法交换律和结合律”的学习过程中，可以分两步走：第一步在学习加法交换律的过程中引导学生经历并回顾探究的过程，总结提炼探究的方法；第二步在学习加法结合律时进行尝试运用，并指出还可以运用这个方法探究数学中的其他规律。在后续学生学习乘法运算律时，教师也要有意识地帮助学生回顾并运用探究规律的方法，逐渐形成主动探究的心态，建立起结构化的思维方式，形成初步的研究意识和能力。事实上，学生利用积累的推理经验，也会在日常的计算中逐渐形成推理意识。比如，学生在竖式计算中遇到36×101和101×18，发现得数分别是3636和1818。根据课堂学习的经验，学生自然产生猜想：是不是101乘任何两位数的积都是这个两位数写两遍。接着，学生主动尝试运用归纳法验证，分别用最小和最大的两位数去乘，即10×101=1010，99×101=9999。还把两位数设为AB，用乘法分配律进行演绎推理，发现计算规律成立。学生通过一次成功的探究，感受到“观察猜想、举例验证和得出结论”是探究数学规律的方法，利用这样的研究方法还会发现更多有趣的数学规律。

（作者单位：江苏省常州市局前街小学）