也谈几何直观的培养

程茂山

摘要：几何直观是根据非图形表征的情境，作图并用图，也就是把图形视为重要的语言，做好“图形表征”和“图形分析”。图形语言具有直观形象、简明扼要的特点，可以很好地帮助理解知识和解决问题。小学数学教学中，培养图形表征能力，需要引导学生根据情境特征，确定图形类型，以及把握图形本质，完善图意表达;培养图形分析能力，则需要引导学生通过静态观察、动态操作，感知、发现图形要素之间的关系。

关键词：几何直观;图形表征;图形分析;小学数学

作为《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出的数学课程要培养的学生核心素养的主要表现之一，几何直观“主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯”，包括“感知各种几何图形及其组成元素，依据图形的特征进行分类;根据语言描述画出相应的图形，分析图形的性质;建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型;利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路”，其“有助于把握问题的本质，明晰思维的路径”。中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022：8。

从内涵及要素的角度看，几何直观其实就是根据非图形表征（包括动作表征和符号表征等）的情境（包括现实情境和数学情境等），作图并用图，也就是把图形视为重要的语言，做好“图形表征”和“图形分析”。从价值与作用的角度看，图形语言具有直观形象、简明扼要的特点，可以很好地帮助理解知识和解决问题，因此，回顾数学史不难发现，“几乎所有重要的概念最初都是从几何（图形）中来的”，“几何（图形）是数学思想的摇篮”。

下面就从图形表征和图形分析两个方面谈谈小学数学教学中几何直观的培养。

一、图形表征能力的培养

（一）根据情境特征，确定图形类型

数学是研究数量关系和空间形式的科学，源于对现实世界的抽象。从表征的角度看，与数学有关的各种情境都可以利用图形来表征或转化为图形表征。在小学数学教学中，教师可以引导学生根据不同的情境，选择不同的图形来表征（当然，情境特征和图形类型不是严格一一对应的，可以灵活选择）。

第一，现实情境中的事物可以用示意图表征，如用一个点（或圆圈、方框、三角形等）代表一个事物，用两个点之间的连线代表两个事物之间的关系。由此，可以方便地发现事物的数量属性及其关系。

例如，“全班18人去公园划船，租4只船刚好坐满，每只大船坐5人，每只小船坐3人，则租的大船、小船各有多少只？”对此，可以画出人坐船的示意图（如图1所示），从而很容易发现相应的数量关系，得到“大船3只、小船1只”的结论。

再如，“南山中心小学举行足球赛，有4支球队参加，分别是红队、黄队、绿队和蓝队，如果每两支球队比赛一场，则一共要比赛多少场？”对此，可以画出4支球队比赛关系的示意图（如图2所示），从而很容易数出一共要比赛6场。

这里特别值得一提的是，现实情境除了用文字（符号）语言来表征之外，也可以用真实或虚拟的场景或视频来表征（本质上属于动作表征）。对此，转化为图形表征虽然不能凸显直观形象的价值，但是可以发挥简明扼要的作用。

第二，现实情境中事物的数量属性、抽象之后数学情境中的数，可以用几何意义，如线段（或矩形、长方体等，即满足一定几何度量的图形）、数轴上的点（即基于某一“标准”的几何位置，与其构成一定的几何度量关系）来表征。由此，很容易发现数量关系及运算结果。

例如，“星河小學美术组男生人数占总人数的25，已知女生有21人，男生有多少人？”对此，可以借助数的几何意义画出线段图（如图3所示），从而很容易发现相应的数量关系，得到男生有21×23=14（人）。

再如，计算12+14+18+116。对此，可以借助数的几何意义画出方块图（如图4所示），从而很容易发现相应的数量关系，得到结果为1-116=1516。

又如，计算“头同尾合十”的两位数乘法（如22×28）时，可以借助数及运算的几何意义画出矩形图（如下页图5所示），从而通过图形变换（如下页图6所示），引导学生发现计算规律：两个乘数个位上的数相乘的结果就是积的末两位的数，十位上的数与比它大1的数相乘的结果就是积的末两位前面的数。而且，利用两数相乘的几何意义，很容易说明乘法交换律以及乘法对加法的分配律等。

此外，在小学阶段学习的各种统计图（条形统计图、折线统计图、扇形统计图等）本质上都是将数（数据）用几何意义来表征的。

事实上，尤其是对小学生而言，抽象的数需要借助现实的情境（情境中的量）来理解（如1个人、2棵树、3个石子、4个珠子）。而人类在数学史的探究过程中发现，借助空间的度量来理解，既方便快捷，又符合自身感知的特点（视觉接受的信息最多，而且现代脑神经科学研究表明，人类通常是通过“心理数轴”，基于直观的空间及其变换来理解抽象的数及其关系与运算的。因此，数和形的联系不断加强，密不可分。这也就使看起来更像是物理学分支的几何学（物理学主要研究真实存在的事物属性，数学主要研究抽象之后的数量关系，而空间是真实存在的事物属性——长度、面积等度量是有单位的，其中可以抽象出数量关系），变成了数学的分支（形式化了的数量关系，不管原来表示哪种事物属性——比如表示时间，都可以转化为表示空间属性——比如表示长度）。

第三，现实情境中事物的空间形式可以抽象为几何图（也是一种“示意图”）。由此，更容易研究其中的数量关系。

例如，“梅山小学有一块长方形花圃，长8米，在修建校园时，花圃的长增加了3米，这样面积就增加了18平方米，那么原来花圃的面积是多少平方米？”对此，可以画出原来花圃和后来花圃的几何图（如图7所示），从而很容易发现相应的数量关系，得到原来花圃的面积为8×183=48（平方米）。

此外，小学数学中有一类典型的问题，即行程问题，描述的也是事物的空间形式，也可以抽象为几何图（一般为线段图）来解决。

（二）把握图形本质，完善图意表达

为了更好地理解和分析图形中的数量关系，确定好图形的类型后，教师需要引导学生充分把握情境信息，准确、全面地构造图形。

首先要把握图形本质。无论用图形表示事物本身、数量属性，还是空间形式，都要把握图形所表示内容的本质——数量关系。因此，具体形式是点是线、是方是圆等并不重要，但数量关系一定要准确反映，不能画多了或少了。比如，画图表示14，可以画大小不同的多种图形（正方形、长方形、圆等），可以按不同的方式分所画的图形（横、竖、横竖交叉等），但是都要平均分成4份，表示出其中的1份。

其次要完善图意表达。构图的过程实际上是细致梳理、再次明确情境信息的过程。在把握图形本质的基础上，要注意完善图意表达，以全面展现情境信息。首先，要在图上标出已知（图形表示）的每个数据。其次，要适当地标示隐含的信息。例如，针对“一个直角三角形，两个锐角相差30°，求这两个角的度数”这一问题，画出直角三角形后，除了标出直角以及“两个锐角相差30°”这个已知数据之外，最好再标示“两个锐角和为90°”这个隐含的信息。

此外需要指出的是，对于信息比较多的情境，应该完整阅读情境信息，整体把握图形各部分的关系，再从核心元素出发，补充次要元素，以合理的顺序画出全部的图形，从而确保图形构造的准确、全面。例如，利用线段图解决行程问题时，要在明确运动时间、运动方向和起止地点的基础上构图，表示出研究对象的运动轨迹。

二、图形分析能力的培养

经过图形表征，情境中的数量关系表现为图形要素（包括其中的基本图形）之间的关系。为了更好地感知、发现图形中蕴含的数量关系，需要分析图形要素之间的关系。其具体方式大致可以分为静态观察、动态操作两种。

（一）静态观察图形

一个图形通常包含诸多要素。教师要引导学生观察图形，从不同角度抽取要素，感知、发现（猜测）它们之间的关系，得到有用的结论。

例如，面对问题“如图8所示，矩形ABCD的邊长为1和x，分别以B、C为圆心，以1为半径的两段圆弧交于点M，若图中的两个阴影部分的面积相等，则x=”，教师可以引导学生发现，这一问题中的基本图形除了矩形，还有两个半径为1、圆心角为90°的扇形;除了两个面积相等的阴影部分，还有两个面积相等的“扇形剩余部分”。由此，学生不难发现，两个面积相等的阴影部分分别加上一个“扇形剩余部分”，得到的两个图形（如图9所示）面积依然相等，而这两个图形加在一起就是整个矩形。于是，学生便能够基于这一数量关系，利用扇形面积公式和矩形面积公式，得到方程2×14π×12=1×x，从而解决问题。

（二）动态操作图形

有时，图形要素之间的关系不够明显或简洁。这时，教师可以引导学生操作图形，让图形“动”起来，从而感知、发现（猜测）图形要素之间的关系，得到有用的结论。

例如，常见的修路问题“一块长方形地里有两条小路（如图10所示），路宽为2米，这块地除了路之外还剩多少平方米？”这道题的核心数量关系是“总面积-路的面积=剩下的面积”。对此，一部分学生直接根据图10先求出路的面积，再做减法;另一部分学生则通过平移操作得到图11，发现剩下的面积就是除去路之后的长方形面积，然后求得结果。显然，第二种方法更加简洁，特别是在所修的路斜着（如图12所示）时。

此外，求三角形内角和、平行四边形等图形的面积、圆柱等图形的体积等，都离不开让图形“动”起来。

最后需要指出的是，在信息技术不断融入教育教学的当下，图形表征和图形分析（尤其是图形的拆分组合和运动变化等）都可以利用有关软件来辅助，以实现精准和高效。