突出数学本质的教学策略

崔静静，柴文斌，赵思林

摘要：基于数学学科核心素养的教学活动应把握数学的本质。数学教学应有意识地突出并引导学生把握数学本质，应关注内容的整体性，强化数学整体的结构性本质;精心构建情境问题，凸显数学产生的根源性本质;全面分析概念的内涵，揭示数学概念的属性本质;深化认识命题的关系，构建数学命题的逻辑本质;发掘思考的美学指向，提炼数学内核的思想本质。

关键词：数学本质;知识结构;情境问题;数学思想

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“新课标”）在“基本理念”中强调“把握数学本质”：“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向……引导学生把握数学内容的本质。”在“教学建议”中指出：“基于数学学科核心素养的教学活动应把握数学的本质，创设合适的教学情境、提出合适的数学问题，引发学生思考与交流。”在“命题建议”中指出：“需要突出内容主线和反映数学本质的核心概念、主要结论、通性通法、数学应用和实际应用。”同时，在正文部分，“本质”一词共出现了28次，除了“数学（内容、知识）（的）本质”，还涉及“事物的本质”“问题的本质”等。

数学本质一般是指数学学科区别于其他学科的特征和属性，常常深藏在数学现象（情境、问题、知识等）内部，隐藏在“建构数学知识体系、感悟数学思想、应用数学方法解决问题、再发现或再创造数学”的过程中。数学本质包括数学整体的结构性本质、数学产生的根源性本质、数学概念的属性本质、数学命题的逻辑本质以及数学内核的思想本质等。数学教学应在数学知识的产生、发展、应用（数学问题解决）的探索、发现过程中，有意识地突出并引导学生把握数学本质。

一、关注内容的整体性，强化数学整体的结构性本质

单元教学的核心思想是系统思维，它要求教学要跳出课时的限制，从整体上把握数学的结构。显然，这对提升学生的数学核心素养，更上位地认识学科本质十分必要。通常教材中的章节就是天然的单元，但依据知识蕴含的思想方法适当地对教材章节进行改造也很有必要。

例如，人教版高中数学新教材（基于新课标编写）相比于旧教材，《圆锥曲线的方程》一章删去了《曲线与方程》一节，但这部分内容是解析几何的基础，对学生理解坐标法，学习曲线的性质，构建严密的逻辑思维体系十分关键，因此，这一单元的教学应该对这一内容进行补充。同时，椭圆、双曲线、抛物线三部分知识结构极其相似，均从定义、标准方程、几何性质、应用四个方面展开研究，有内在的统一性，故建议这一单元的教学采用“总—分—总”的基本路径进行整体构建：

如图1所示，首先，利用教材章引言，通过丹德林双球模型，整体构建圆锥曲线的概念，以此揭示三种曲线的特性及其统一的内在联系，引出大单元（整章）的学习目标，激发学生的学习动机，搭建大单元的学习脉络，让学生树立全局意识;然后，分别进行小单元任务学习，将学习内容分解、细化;最后，引导学生对整个单元蕴含的思想方法进行总结，实现深度融合的升华。

二、精心构建情境问题，凸显数学产生的根源性本质

在新课标正文部分，“情境”一词共出现了79次，“问题”一词共出现了335次，且“情境与问题”位于体现数学学科核心素养的四个方面之首，在数学教学与学业质量评价方面起着举足轻重的作用。数学教学要精心设计情境问题，让学生经历“现实情境（含非数学的其他科学情境）→数学问题→数学模型”的数学抽象、建模过程，体会“数学源于现实”“数学知识源于问题”等理念，把握数学知识产生的根源性本质。

例如，教学“计数原理和排列组合”时，可设计如下从现实情境到数学问题，再到数学模型的学习路径：

现实情境（1）将5个学生安排到4个社区参加义务劳动，每个社区至少安排一个学生，问：共有多少种不同的安排方法？

（2）将5个奖品分配给4个学生，每个学生至少得到一个奖品，问：共有多少种不同的分配方法？

（3）5个人去住4个房间，每个房间至少住一人，问：共有多少种不同的住法？

数学问题（1）设集合A={1，2，3，4，5}，B={6，7，8，9}，f是以A为定义域且以B为值域的函数，则这样的函数f有多少个？

（2）设集合A={甲，乙，丙，丁，戊}，B={a，b，c，d}，f是从A到B的映射且B中的每一个元素都有原象，则这样的映射f共有多少个？

数学模型现实情境（1）（2）（3）和数学问题（1）（2），都可用排列组合模型C25A44解决。

这样的学习过程即“情境—问题化，问题—模型化”的“水平数学化”过程，学生能够统一地解决诸如现实情境（1）（2）（3）和数学问题（1）（2）等的大量具体问题。反过来，也可让学生对排列组合模型C25A44赋予各种实际意义，让学生经历“数学模型→现实情境”的应用迁移过程。

此案例中，现实情境（1）（2）（3）和数学问题（1）（2）的数学本质是相同的，它们都能抽象成计数模型C25A44。这样的教学，就架起了数学模型与现实世界之间双向沟通的桥梁，既能增强学生对数学本质的理解，又为学生在今后面对新颖情境时能够创造性地运用数学思想方法解决问题打牢根基。

三、全面分析概念的内涵，揭示数学概念的属性本质

数学概念是构建数学知识框架和思维方式的基石。全面分析概念的内涵，应围绕“是什么”“为什么”“如何用”等基本问题进行思考与探究，以揭示数学概念的属性本质。

例如，教学“偶函数的概念”时，便可引导学生围绕三个基本问题进行思考与探究：

问题1如图2，這是函数f（x）=x2的图像，它有什么对称性？（关于y轴对称。）

追问这种轴对称性有什么价值？或者说，为什么要研究这样的对称性？（对称是一种数学美;利用对称性可以简便画出图像，高效研究性质;其他轴对称性可以通过平移或旋转转化成这样的轴对称性，等等。）

问题2函数f（x）=x2的图像关于y轴对称，如何用数的形式刻画？[x2=（-x）2。]

追问为什么要用数的形式刻画？（一是画出图像一般会有误差，观察图像也会产生误差，因此仅凭感官获得的结论不一定可靠;二是当函数的图像难以甚至不能画出时，就难以甚至不能观察了。）

问题3若函数y=f（x）的图像关于y轴对称，则f（x）应该满足怎样的代数关系？[（1）在函数y=f（x）的图像上任取一点P（x，f（x）），则函数图像上的点P′（-x，f（-x））与其关于y轴对称，故f（x）=f（-x）;（2）在函数y=f（x）的图像上任取一点Q（x，f（x）），则其关于y轴对称的点Q′（-x，f（x））在函数图像上，故f（x）=f（-x）。]

这里，问题1从特例入手，指向“是什么”，凸显形的定义;问题2、3从特殊到一般，指向“怎么用”，凸显数的定义;两个追问均指向“为什么”，凸显偶函数概念的价值，激发学生的学习动机。由此，深刻地揭示了偶函数的概念本质（同时，为建构奇函数的概念搭建了可以类比的研究思路和方法）。

四、深化认识命题的关系，构建数学命题的逻辑本质

命题是表达（判断）某些概念之间关系的语句。数学知识以（真）命题为主，数学中的公式、定理、性质、法则、推论等都是（真）命题。数学命题揭示了其“条件”与“结论”之间的关系本质，即“条件”是“结论”的充分条件。数学命题的获得，最好通过实验、观察、推算等方式，引导学生先作出猜想，再进行严密的论证。数学命题的证明，特别是几何命题的证明，通常先采用分析法思考，再利用综合法表述。命题不是孤立的，而是处在普遍的联系，即大量的相互关系中。把握命题的关系本质就是要构建若干命题之间的逻辑关系（先后次序）。

例如，对数的定义是构建对数命题网络的基础。根据该定义，可以推出一个等价关系：ax=Nx=logaN。基于这个等价关系，又可进一步得到两个对数恒等式：alogaN=N，logaax=x。二者分别揭示了指数的算法和对数的算法。根据这两个对数恒等式，便可构建对数运算性质的命题网络。即遵从逻辑顺序：定义→等价关系→对数恒等式→积的对数运算性质→商的对数运算性质→幂的对数运算性质→换底公式→其他推论形式。

其中需要明确的是，商的对数运算性质本质上等价于积的对数运算性质，幂的对数运算性质实际上是积的对数运算性质的一种推广形式，而其他推论又要基于积、商、幂的对数运算性质。具体教学时，可设计以下问题串引导学生探究：

问题如果a>0且a≠1，M>0，N>0，证明：loga（MN）=logaM+logaN。（*）

追问1猜想logaMN等于什么，并仿照以上思路证明之。

追问2当M=N时，（*）变成了什么？由此猜想并证明logaMn等于什么，logambn等于什么。

追问3如何综合利用以上运算性质证明换底公式：logab=logcblogca（a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0）？

追问4请根据换底公式推导logab与1logba之间的关系。

追问5试猜想loga1a2loga2a3loga3a4…·logan-1an等于什么，并证明之。

追问6试猜想loga1a2loga2a3…logan-1an·logana1等于什么，并证明之。

此外值得一提的是，教材在证明积的对数运算性质时，一开始就设M=am，N=an。实际上，这种证明方法不够自然、清晰，很多学生都反映自己“课上听得懂，课下不会证”。下面对此作出改进：

首先，出示以下两组式子，让学生计算，并对计算结果进行归纳猜想，得到积的对数运算性质（归纳后，也可让学生再举例子）：

（1）log28= ，log232= ，log2（8×32）= ;

（2）log39= ，log327= ，log3（9×27）= 。

其次，引导学生证明积的对数运算性质：

先用分析法思考。要证loga（MN）=logaM+logaN，只需证alogaM+logaN=MN ，只需证alogaM·alogaN=MN。因为alogaM=M，alogaN=N，所以alogaM·alogaN=MN是成立的。

再用综合法表述。具体从略。

以上先分析后综合的证明方法，比一开始就设M=am，N=an自然多了。学生掌握了这种证明方法，对其余几个运算性质的证明也就可以独立完成了。

五、发掘思考的美学指向，提炼数学内核的思想本质

数学思想内蕴于数学知识的产生、发展、应用（数学问题的解决）之中，是数学教育需要帮助学生感悟（提炼）的重要的数学本质。数学兼有科学和艺术的双重特点，数学思想常常表现为对美的追求，比如喜爱“对称”“和谐”、希望“简洁”“统一”、崇尚“创新”“奇异”等。著名数学史家M.克莱因认为：“进行数学创造的最主要驱动力是对美的追求。”一些杰出的科学家从理论的和谐与简洁的要求出发，有时凭一种审美直觉就能提出一个设想和猜测，而常常后来被证明是真的。数学教学中，教师要引导学生感受数学思考的美学指向，从而把握数学内核的思想本质。

例如，教学“椭圆标准方程的推导”时，引导学生根据（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a，通过教材中“平方再平方”的方法得到椭圆的标准方程后，继续引导学生优化这一运算量比较大的方法，感受审美直觉指导下的数学思想：

师左边是两个根式的和，还有其他更好的处理根号的方法吗？从对称美的角度可以想到什么？

生想到两个根式的差。

师有和有差，可以怎样？

生相乘，通过平方差公式，使左边有理化。

师写起来根号太多，不妨令（x+c）2+y2=r1，（x-c）2+y2=r2，则r1+r2=2a（r1+r2）（r1-r2）=2a（r1-r2），然后呢？

生因为（r1+r2）（r1-r2）=r21-r22=4xc，所以r1-r2=2xca，所以r1=a+xca，r2=a-xca 。后面代入，就可以得到椭圆方程的标准形式了。

师掌声献给她！利用对称性，由两式加想到两式减，进而利用平方差公式得到比较简单的结果，以利于后续运算。其实，这里得到的r1、r2的表示也具有加减的对称性。为什么会具有这样的对称性？由此，你还能想到什么解法？

生因为r1+r2=2a，所以r1、a、r2是等差数列，即r1、r2关于a对称，所以可设r1=a+t，r2=a-t。

师很好！这种处理方式被称为“和差术”，在很多等式、不等式的转化、证明中都会用到。不过，这里引入了一个参数，该如何处理呢？

生还是平方差，因为这样算出来结果比较简单，即4xc=4at，得t=xca。接下来，把t再代回去，就又得到r1=a+xca，r2=a-xca了。

师他说得太棒啦！其实，这得到的就是椭圆的焦半径公式，这样就很容易推导出椭圆的标准方程。可见，不只引入符号b（令a2-c2=b2，得x2a2+y2b2=1，并且发现b的几何意义）体现了數学表达的简洁美、统一美，就连改进椭圆标准方程的推导过程也要在对称美、和谐美的引导下完成。追求美是一种重要的数学思想。

总之，突出数学本质需要教师具有深厚的数学功底，能够透过各种数学现象看到数学本质。当然，数学本质具有相对性和层次性等特点，如可以认为数学情境（问题）的本质是数学知识（模型），数学知识的本质是数学思想或关联（结构）。