高中数学教学中数学文化的融入

孙静

摘要：结合《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》对数学文化的定义和汪晓勤教授对数学文化的分类，在高中数学教学中，可以从三个方面融入数学文化：追本溯源，凸显数学文化的科学价值;建立模型，展现数学文化的应用价值;感受数学美，强化数学文化的审美价值。

关键词：数学文化;高中数学;数学史;数学模型;数学美

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“课标”）指出：“数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分。”“精选课程内容……注重数学文化的渗透。”②“教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，认识数学在科学技术、社会发展中的作用，感悟数学的价值，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养;将数学文化融入教学活动，还有利于激发学生的数学学习兴趣，有利于学生进一步理解数学，有利于开拓学生视野、提升数学学科核心素养。”③笔者所在学校为艺术特色高中，学生数学学习的兴趣不高、能力较弱。因此，笔者在数学教学中，格外重视渗透、融入数学文化。

课标还指出：“数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动。”④由此，汪晓勤教授将数学教学中数学文化的内涵分成知识源流、学科联系、社会角色、审美娱乐和多元文化五个维度。其中，“知识源流”是指某个知识点的历史发展过程以及相关的人物、事件、思想等;“学科联系”是指数学与其他知识领域（科学技术、社会科学、人文艺术等）之间的关联;“社会角色”是指数学对人类文明进步、社会发展所起的重要作用;“审美娱乐”是指数学的美和趣味;“多元文化”是指不同文明、不同地域在同一数学课题上的成就和贡献。结合课标定义的整体包容性和汪教授分类的具体指向性，笔者参考课标给出的数学的三大价值（科学价值、应用价值和审美价值），在教学实践中，从三个方面融入数学文化。

一、追本溯源，凸显数学文化的科学价值

数学的发展历程是数学文化的基本方面。数学教学中，教师可以基于（本质上是一种重构）数学史，引导学生追本溯源，经历体验（不是简单讲授或告知，而是引发思考与实践）知识产生的过程，从而凸显数学文化的科学价值，帮助学生理解数学知识，同时提振学习信心，培养探索精神。

例如，教学《数系的扩充——复数的概念》一课时，笔者首先出示图1，让学生谈一谈对数系扩充的认识。学生回顾数的发展过程，认识到现实需要推动着数系不断扩充。接着，笔者让学生在特定范围内解方程：（1）x+2=0，x∈N;（2）3x-2=0，x∈Z;（3）x2-2=0，x∈Q。学生进一步回顾数的发展过程，认识到数学需要（保持逆运算的封闭性）推动着数系不断扩充。然后，笔者请学生帮助数学家卡尔丹解决“将10分成两部分，使两者乘积为40”这一问题，使学生形成与数学家一样的认知冲突，从而为数系再次扩充做好铺垫。

这里，基于数学史追本溯源地思考，让学生经历了复数概念的产生过程，理解了复数的内涵本质和基本价值，并为进一步学习复数的重要性质和更多作用打下基礎。

再如，教学《基本不等式》一课时，引出问题“两个正数a、b的算术平均数和几何平均数有怎样的大小关系”后，笔者引导学生基于a、b的几何意义，即长度分别为a、b的线段，寻找a+b2、ab的几何意义。学生一开始没有头绪，后来联系射影定理，构造出下页图2，从而发现a+b2≥ab（当且仅当a=b时，等号成立）。这时，笔者介绍：这样的构图方法源于古希腊数学家欧几里得在《几何原本》卷6命题13中给出的两条已知线段的几何中项的作法。然后，笔者引导学生升次，得到a2+b22≥ab，再引导学生寻找a2+b22、ab的几何意义。学生一开始构造了面积分别为a2、b2的正方形和面积为ab的长方形，但是得不到a2+b22和ab的大小关系。后来联系勾股定理，构造出下页图3，从而发现a2+b22≥ab（当且仅当a=b时，等号成立）。这时，笔者介绍：“这样的构图就是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的‘弦图。它不仅有丰富的内涵，而且很漂亮，像一个风车，因而被在北京召开的第24届国际数学家大会选为会标图案。”

数学史上，人们对代数关系的认识往往源于几何图形，因为“很多事情单凭抽象思维不易明白，加上直观形象便清晰得多了”。因此，这里利用几何意义展开的探究，其实也是一种基于数学史的追本溯源（同时呈现了多元文化的碰撞），让学生经历了基本不等式的发现过程，使学生更好地理解基本不等式的本质，并培养了探索精神和逻辑推理、直观想象等核心素养。

二、建立模型，展现数学文化的应用价值

建立数学模型解决实际问题（包括其他学科问题），是数学文化内涵的学科联系维度和社会角色维度的集中体现。数学教学中，教师应努力跨越时空和领域，拓宽视野，寻找各种素材，创设问题情境，引导学生建立数学模型解决实际问题，从而展现数学文化的应用价值，让学生体会数学在科学技术、社会发展中的作用。

例如，教学人教A版高中数学必修第一册《函数模型的应用（二）》一节时，笔者改造例题并整合活动素材，引导学生通过已知数量关系或实验数据（或科学理论），建立函数模型，解决实际问题。

笔者首先出示教材例5：“假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一，每天回报40元;方案二，第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元;方案三，第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问：你会选择哪种投资方案？”引导学生由三种方案中天数与当天的回报的关系建立三个函数模型：y=40（x∈N*），y=10x（x∈N*），y=0.4×2x-1（x∈N*）。由此作图（或列表）分析三个函数模型的增长情况，发现初始值小的函数增长速度快。进而列表计算前若干天累计的回报，得到在不同的投资天数限制下选择不同的投资方案的结果。

笔者接着出示教材例6的情境：“某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。”引导学生分析哪种类型的函数可能符合情境中的建模要求，帮助学生充分认识已学的各种类型的函数及其简单组合的基本性质（主要是增减和范围情况）。

笔者最后出示教材数学建模活动的问题：“中国茶文化博大精深。茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关。经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感。那么，在25 ℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？”引导学生发现，需要建立茶水温度随时间变化的函数模型解决问题。由此，笔者引导学生分析这里的建模与前面的有什么不同：没有给出精确的或大致的数量关系（也没有已知的科学理论可以运用），只能通过实验收集数据，再利用数据建立（拟合）模型（也即建立科学理论）。然后，笔者引导学生设计实验方案：制作85 ℃的茶水，每隔1分钟测量一次水温;将收集的数据制成散点图;观察散点图并考虑茶水温度降到室温就不再降的事实，选择可以拟合数据的函数类型;由收集的数据，通过待定系数法，确定函数的解析式（有关系数可以先利用多组数据求出多个值，再取平均值，以减小误差）。

再如，教学人教A版高中数学必修第二册《事件的相互独立性》一节时，笔者选取《三国演义》中的一些故事作为素材，引导学生基于经验假设建立概率模型，解释有关现象。

首先，笔者介绍背景并描述现象：“《三国演义》中有很多神射的表现，如吕布辕门射戟，但是打不赢就放乱箭的例子也比比皆是。孙坚武艺高强，但最终却死于乱箭之中。”让学生解释原因。学生讨论觉得是孙坚运气不好（即遇到小概率事件）或力战疲惫所致。笔者引导学生运用概率知识计算到底是不是小概率事件：一般士兵的射箭技术肯定没有神射手好，假设其单次射中的概率为0.1，那么其单次不中的概率是0.9;由相互独立事件概率的乘法公式，其连续两次射不中的概率是0.9×0.9=0.81;以此类推，其连续100次射不中的概率为09100≈0.00003，那么其连续100次至少射中1次的概率约为1-0.00003=99.997%;即使要求至少射中3次，概率依然有1-C3100×0.13×0.997≈99.41%。对于这一计算结果，学生感觉震惊，发现冷兵器时代与其费力培养神射手，不如让一般士兵乱箭齐发——当然，真实的情况下，也要考虑弓箭是否够用。

在此基础上，笔者让学生联想《三国演义》中其他与射箭有关的经典故事。很多学生马上想到诸葛亮草船借箭。笔者顺势描述现象并提出问题：从《三国演义》中的描写看，当时江上大雾弥漫，士兵放箭只能闻声而去，你能试着计算概率，回答“诸葛亮能否如书中所说的借到10万箭”这一问题吗？学生相互讨论，普遍认为，当时环境恶劣，单次射中的概率估计比01还要低很多;要借到10万支箭，起码要射100万支箭;当时只有1万名弓箭手，每人起码要射100支箭;无论是总箭数，还是每人射的箭数，恐怕都很难实现。进而，通过具体计算，明确结果为小概率事件。

三、感受数学美，强化数学文化的审美价值

数学不仅有实用价值，而且有审美和激趣的价值，能给人以感官和智力上的享受。数学美和趣味是数学文化中最能打动人、最具有魅力的方面。广义的数学美包括数学趣味（能给人带来愉悦），可分为简洁美、统一美、对称美、和谐美、奇异美等。数学教学中，教师应努力引导学生从感性到理性，发现和创造数学美，并运用数学美解决问题，从而展现数学文化的审美价值，激发学生的学习兴趣，提升学生的数学直觉。

比如，教学“基本不等式”时，让学生感受“和”“积”“平方和”结构的和谐美;教学“二项式定理”时，让学生感受二项式系数排布的对称美，并引入高尔顿钉板，让学生感受二项式系数和概率分布之间联系的和谐美;教学“平面向量”时，让学生感受向量表示的简洁美;教学“正、余弦定理”时，让学生感受边角关系结构的轮换对称美;教学“球的体积”时，让学生感受圆柱体积、球的体积、圆锥体积之间关系的和谐美;教学立体几何时，引入绘画中的悖论（如埃舍尔的作品），让学生感受以二维视觉效果呈现三维不可能现象的奇异美;教学“函数的奇偶性”时，让学生体验函数图像的对称美，并且展示、设计更多具有对称性的事物、图案;教学“函数的周期性”时，融合单调性，让学生体验螺旋曲线的和谐美，并且展示、设计更多具有螺旋特征的事物、图案;教学“双曲线”时，引入诗歌《悲伤的双曲线》，让学生感受数学与文学结合所产生的奇異美;教学“圆锥曲线”时，让学生感受正多边形、圆、椭圆、双曲线、抛物线渐变的和谐美;教学“斐波那契数列”时，可以发掘黄金分割比例，介绍其广泛的存在和应用，让学生充分感受数学的和谐美。

特别值得一提的是，教学函数或数列的内容时，可以引入或强化迭代或递推的概念，引导学生由此创作具有自相似特征的分形图案，从而感受数学的奇异美。例如，笔者引导学生利用几何画板，从一根竖直的线段出发，进行一次缩放、平移、旋转并一分为二的变换，创作出一个简单的丫形结构（如图4所示）;重复进行类似的变换，瞬间创作出一棵规则的树形结构（如图5所示）。

然后，笔者提问：如何让这一美术作品不那么机械、呆板，而更加生动、富于变化呢？在学生自由尝试的过程中，展示自然生长的蕨树（如图6所示）和风中摇曳的小树（如图7所示）等作品，引导学生发现其中的创作方法，从而基于迭代的数学规则，通过改变规则树形的初始结构（如比例关系、位置、角度等），尝试创作自己的作品。

同时，也可通过“现场创作+原理解析”的方式，让学生领略音乐作品中的数学美。实际上，用数学方法的谱曲就是用等比法则定义12个数，让这12个数对应于不同频率的声音，再将这12个音按一定的规律组合编排的过程;而将适当编排的曲子在计算机上演奏，便会产生美妙动听的音乐。

上述做法实际上是把数学和美术、音乐等艺术结合起来，融入数学文化，让学生充分感受数学美。这样的思路实际上大有可为，如引导学生充分探究如何基于数学知识作画、创作音乐，且对艺术特色高中的学生尤其适用。

此外，还要引导学生运用数学美的直觉解决问题。例如：求sin220°+cos250°+sin 20°·cos 50°的值。对此，可以引导学生由对称美的直觉，构造对称式cos220°+sin250°+cos 20°·sin 50°，进而发现：前式加后式等于2+sin 70°，前式减后式等于-12-sin 70°。从而很快得到前式等于34。这一解法非常巧妙，正是数学美激发思维的表现。