温故知新，提升复习课的效率

范雷 冯姣

［摘  要］ 数学复习课既要激发学生的学习兴趣，巩固已学知识，又要注意前后联系，温故知新，构建知识体系. 在数学复习课中，教师要发挥创意，用新颖的题型引导学生进行探究，不断提升学生的思维水平.

［关键词］ 数学复习；三角函数；温故知新

数学复习课既要做到回头望，对已经学习的知识进行巩固复习，又要在复习过程中产生新的认识，构建新的知识体系，产生新的理解. 在数学复习课中，要防止学生对学过的知识感到厌倦，在课堂上没有积极性，因此教师要进行精巧的设计，用新颖的题型和情境吸引学生的注意力. 在复习过程中还要注意通过归纳和总结，帮助学生构建知识体系，理解解题的思路和方法，提升解题能力. 下面笔者以复习锐角三角函数为例，谈一谈复习课的教学策略，如何提高复习效率.

有效提问，有效指导

复习课教学都是知识再现，因此教师设问显得尤为重要，“好的问题”能激发学生的学习兴趣，能带给学生深刻的感悟，能促使学生不断成长. 故教师设问不能随意，必须有的放矢，有重点、有目标，能最大限度地激发学生的好奇心和求知欲，使课堂教学的开展更加流畅自然.

案例1 如图1所示，在Rt△ABC中，∠ACB是直角，AB⊥CD，已知BD=2，CD=2，求AC的长度.

师：要解决这个问题，可以通过解哪些直角三角形完成？

生1：在Rt△BCD中，因為CD⊥BD，BD=2，CD=2，故tanB===，所以∠B的度数为60°，所以∠A的度数为30°；在Rt△ACD中，AC==4.

师：这是由特殊的三角函数得到的.

生2：在Rt△BCD中，根据勾股定理可得BC=4. 在Rt△ABC中，AC=BC·tan60°=4.

师：很好，这是由勾股定理得到的.

生3：在Rt△ABC中，∠ACB为直角，CD垂直于AB，所以∠ADC和∠CDB相等，∠ACD和∠B相等，所以△ADC和△CDB相似，所以=，所以AC=4.

师：很好，生3是通过相似三角形的性质得到的.

生4：老师，我也是通过勾股定理得到的，但是具体步骤与生2不同. 在Rt△BCD中，根据勾股定理可得BC=4. 设AC=x，则AD=，由面积法可得（+2）×2=x×4，解得AC=x=4.

师：非常精彩. 由同学们给出的几种方法，我们可以看到三角函数多个角度的运用.

在进行定义和概念的复习时，教师应该尽量避免问题的碎片化和零散化，如复习三角函数时直接提问：“说出锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数的定义.”这样的问题缺少思考性，难以调动学生的兴趣，也不利于营造良好的课堂氛围. 本例中，通过将三角函数知识蕴含于题目中，使学生从多个角度观察问题，培养了思维的灵活性，真正理解三角函数的定义，在轻松的氛围中提升了学习效果.

有效阅读，透析本质

复习课教学中需要从学生已有的知识和生活经验出发创设情境，让学生在体验情境的过程中理解数量关系和变化的规律，使学生能在体验情境的过程中建立数学模型，将知识运用到实际问题的解决中去，加强方程、不等式以及三角函数等知识之间的联系.

案例2 如图2所示，在广场上空有一个气球A，地面上三点B，C，D在同一条直线上，BC长20 m，在点B，C处分别测得气球A的仰角∠ABD为45°，∠ACD为56°，求气球A距离地面的高度AD（精确到0.1 m，tan56°≈1.483）.

师：怎样用好三角函数知识解决这个问题呢？同学们思考一下：气球A距离地面的高度AD可以利用哪个直角三角形求解？

生5：可以利用Rt△ABD或Rt△ACD求解.

师：图中的这两个直角三角形除了已知∠ABD=45°，∠ACD=56°外，缺少什么条件？它们之间有什么内在的联系？

生6：这两个直角三角形都缺少已知边的条件，但是它们有一条公共的直角边AD，我们可以设CD为x m，用x的代数式表示BD，再通过公共边AD得到变量之间的相等关系. 即（20+x）tan45°=xtan56°，所以AD=tan56°≈61.4（m）.

师：根据生6的思路，我们需要找到固定不变的量，也就是气球的高度，再通过三角函数求高.

生7：可以设AD为x m，在Rt△ACD中，CD=；在Rt△ABD中，BD=. 所以-=20，解得AD≈61.4（m）.

师：这两种方法分别从直接和间接两个角度求解，我们的生活中也有这样的问题吗？接下来让我们看看下面两道题，能否进行类比和转化呢？

题1：如图3所示，一条小河的旁边有一座山，从山顶的A点俯瞰小河的C点和D点，分别得到夹角的度数为30°和45°，这条小河的宽度CD为50米. 若现在从山顶的A点拉一条笔直的缆绳AC到小河对岸的C点，你能求出缆绳AC的长吗？

生8：作CD的垂线AB，且AB与CD的延长线相交于点B. 根据俯角的定义，可知AE与CD平行，得到∠C和∠ADB的度数分别为30°和45°，从而得到类似于案例2的问题.

题2：某矿物探测队探测到一幢废墟建筑的下方点C处有矿物质，观察图4可知，在地面上探测队挖掘了两个探测点A和B，它们之间的距离为3米，A点处的探测线与地面形成的夹角为30°，B点处的探测线与地面形成的夹角为60°，试确定点C的深度.（参考数据：≈1.41，≈1.73）

生9：如图4所示，本题同样通过作辅助线进行解决，即过点C作CD垂直于AB，与AB的延长线相交于点D，然后通过所学的相关定理转化为上一类问题.

在掌握所学知识的基础上，再次寻找新的问题，经过反思和总结可以巩固已学知识，并促进知识深化以及思维进一步发展. 经过习题的拓展和延伸，引导学生透过现象抓住问题的本质，发现知识之间的内在联系，在解题和反思中巩固知识，深化理解，学会解直角三角形的方法，提升学生的适应能力，掌握解题技巧.

有效探究，深入反思

复习课教学中，教师应基于学生的认知规律进行教学设计，有效激发学生学习的主动性，给学生充分的参与数学活动的机会，引导学生积极主动地探索和交流，掌握数学的基本技能，体会数学思想，学会数学方法，积累数学活动经验.

案例3 根据市里对建筑的要求，建筑楼房需要保证采光时间，因此楼房之间的距离不能太小，至少要保证中午12时是有阳光照射的.

如图5所示，现在需要在一幢旧楼的正南方建一幢新楼，两楼的距离为40 m，旧楼的一楼窗台高1 m，根据统计该地冬天中午12时太阳从正南方照射的光线与水平线的最小夹角为30°，为了提高收益，需要计算新楼最高可建多少米.

生10：在符合规定的情况下，我们可以利用三角函数求解，图5中新楼与旧楼之间可以建构直角三角形，保证阳光照射到一楼窗台.

解法1 如图6所示，過点F作辅助线EF垂直于AB，与AB相交于点E，在Rt△AEF中，AE=EF·tan30°=40×=（m），则AB=EB+AE=1+≈1+23=24（m）.

解法2 如图7所示，AF的延长线与BC的延长线相交于点G，在Rt△ABG中，BG=，则CG=BG-BC=-40. 由于AB与CF平行，故△FCG和△ABG相似，因此=，即=，可以解得AB=≈24（m）.

教学要挖掘知识的本质和内涵，案例3在传授知识的同时，通过试题训练，并且采用一题多解的方法，锻炼学生思维的灵活性，让其掌握多种解题方法，深入体会数学思想和本质.

变式练习，弥补缺陷

锐角三角函数的知识需要在直角三角形的基础上应用，但是在解决问题的过程中，经常发现很多问题的难点就在于没有现成的直角三角形可以利用，必须进行构造. 因此在锐角三角函数的教学中，构造直角三角形与锐角三角函数进行联系是一个重要的教学内容，需要通过变式练习加强引导和思考，提升学生的思维深度.

案例4 如图8所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值是多少？

师：同样需要用到三角函数，我们怎样才能找到这个“三角函数”，如何使用它？想要解决这个问题，先要将∠A放到直角三角形中，但观察图形△ABC并不是直角三角形，因此必须通过添加辅助线来构造直角三角形，那么如何构造这个直角三角形呢？

生11：观察图9，线段AB在网格的对角线上，而C是格点，过点C作AB的垂线CD，垂足为O，△ABC的AB边上的高线就是线段CO，则S=×2×3=×3CO，解得CO=，AC=，所以sinA===.

变式1：六个小正方形组成一个网格（如图10所示），小正方形的边长相同，小正方形有顶点A，B，C，D，AB和CD相交于点P，则tan∠APD的值是多少？

生12：如图11所示，通过对顶角相等、正方形的对角线性质可得∠APD=∠BPF，△PBF为直角三角形. 在Rt△PBF中，可得tan∠BPF==2.

生13：我还有其他方法，如图12所示，首先连接AE和BE，可得Rt△AEB；由平行线的性质、正方形的对角线性质和同位角定理可得：在Rt△AEB中，tan∠APD=tan∠ABE==2.

通过变式训练，应用一题多变、一题多解等多种习题讲评的有效方式，使得学生可以从多个角度调动知识，实现知识的系统化、网格化，有利于建构知识体系，提高学习效率，实现学生主动学习.

综上所述，数学学习是一个思维不断完善的过程，本课通过勾股定理、特殊角的三角函数和相似三角形等知识解决问题，引导学生认识到生活中三角函数应用的广泛性. 在例题设计的过程中，通过有效的提问，抓住数学的本质和变式训练等对学生所学知识加以巩固，全方位地调动学生学习的积极性，提高学生思维的能动性，让学生在轻松愉快的氛围中提升学习效率.