一道北京大学强基数学题的变式探究及推广

金迅婴 李盛

摘要：文章给出了2020年北京大学强基计划数学试题第9题的多种解法，并作了变式探究和推广.

关键词：北京大学；强基计划；不等式；变式推广

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0043-03

收稿日期：2022-07-05

作者简介：金迅婴（1968-），男，浙江省东阳人，从事高中数学教学研究；

李盛（1988-），男，浙江省东阳人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

1 题目呈现

题目（2020年北京大学强基计划数学试题第9题）使得5x+12xy≤a（x+y）对所有正实数x，y都成立的实数a的最小值为（）.

A.8 B.9C.10D.前三个答案都不对

这一试题从外部结构初看是含参不等式恒成立问题，但内涵丰富，隐藏着丰富的函数思想，具有一定的探究价值.

2 题目解析

解法1（分离参数法1）由于x>0，y>0，分离参数，得a≥5x+12xyx+y.

进一步得a≥5+12yx1+yx.

换元，令t=yx，转化为关于t的不等式

a≥5+12t1+t2，t>0.

再用基本不等式法或求导法，求出函数y=5+12t1+t2（t>0）的最大值为9，也就是a的最小值为9.故选B.

解法2（分离参数法2）前面同解法1，换元，令t=5+12yx，显然t>5，转化为关于t的不等式

5+12yx1+yx=t1+t-5122

=144tt2-10t+169

=144t+169t-10

≤1442169-10=9，

当且仅当t=13时等号成立，即yx=49，因而a的最小值为9.故选B.

解法2比解法1简单，但不如下面的解法简捷.

解法3（待定常数法）引入待定常数λ>0，根据基本不等式，得

5x+12xy=5x+12λx·yλ

≤5+6λx+6yλ.

令5+6λ=6λ，可得λ=23.

因而5x+12xy≤9（x+y）.

当且仅当λx=yλ时等号成立，即yx=49.

故a的最小值为9.选B.

解题过程十分简洁！但不是解决这类问题的一般性方法.一般方法是化生为熟的基本不等式法.

解法4由于题给不等式对任意正数x，y恒成立，利用极限方法，令y→0，得ax≥5x.

又x>0，所以a≥5.

将题给不等式变形，得

12xy≤a-5x+ay.

两边同除xy，分离出常数12， 问题就转化为

不等式a-5xy+ayx≥12对任意正数x，y恒成立，求a的最小值.

由于a-5xy+ayx≥2a-5a，当且仅当yx=a-5a时等号成立.

所以a-5xy+ayx的最小值为2a-5a.

故实数a应满足的条件为2a-5a≥12，解得a≥9.

所以a的最小值为9.故选B.

评注解法4先采用极限方法，先确定实数a的一个范围， 再用分离法求解，是解决这类问题的一般方法.3 变式探究

前三种解法，一种比一种简洁.解法3中是令5+6λ=6λ，确定待定系数λ的值，受此启发，求解过程中我们如果令

5+6λ=2×1λ，或5+6λ=32×1λ

分别会得出什么新结论？经研究，有

变式1使得5x+12xy≤a（x+2y）对所有正实数x，y都成立的实数a的最小值为.

答案73+52.

变式2使得5x+12xy≤a（2x+3y）对所有正实数x，y都成立的实数a的最小值为.

答案612.

变式3（2022年4月陕西省渭南市二模理数第12题）若对任意的x，y>0，都有x+y+2xy≤a（2x+3y）成立，则实数a的最小值是（）.

A.45B.56C.63D.5+2612

解析利用柯西不等式，得

x+y+2xy=12·2x+13·3y2

≤12+132x+3y.

易知实数a的最小值是12+13=56，故选B.

还有很多变式，不一一列举.

4 结论推广

解法4中将题给不等式变形为12xy≤a-5x+ay，从结构上看，类似于基本不等式2xy≤x+y，这启发我们进一步思考其推广问题：

使不等式λn∏ni=1xi≤∑ni=1aixi对所有正数xi（i=1，2，…，n，n∈N，n≥2）都成立的实数ai（i=1，2，…，n），λ应满足什么條件？

经研究，得

定理使不等式

λn∏ni=1xi≤∑ni=1aixi①对所有正数xi（i=1，2，…，n，n∈N，n≥2）都成立，则实数ai（i=1，2，…，n），λ应满足ai≥0（i=1，2，…，n），且λ≤nn∏ni=1ai.证明由于不等式①对任意正数xi（i=1，2，…，n）恒成立，采用极限方法，令xi→0（i=2，…，n），得a1x1≥0.

又x1>0，所以 a1≥0.

同理可得：a2≥0，a3≥0，…，an≥0.

将不等式①变形，问题转化为：

不等式λ≤∑ni=1aixin∏ni=1xi对任意正数xi（i=1，2，…，n，n∈N，n≥2）恒成立，实数ai≥0（i=1，2，…，n），λ应满足什么条件？

应用n元的算术——几何平均值不等式，可得

∑ni=1aixin∏ni=1xi≥nn∏ni=1aixin∏ni=1xi=nn∏ni=1ai，

且等号在a1x1=a2x2=…=anxn时成立.

所以λ≤nn∏ni=1ai.

这样一来，用同一方法，就把问题推广到了n元加权的算术——几何平均值不等式有关的恒成立问题.

练习已知不等式a（x+y）≥kx+λxy对任意正数x，y恒成立，求实数a的最小值（用正实数k，λ表示）.

解析已知不等式可化为

a-kx+ay≥λxy

由定理，知应满足的条件为.

a≥0，a-k≥0，λ≤2aa-k，

即a≥0，a≥k+k2+λ22，a≥k.

由于k+k2+λ22>k，

所以amin=k+k2+λ22.

评注当k=5，λ=12时，就得2020年北京大学强基数学试题第9题的答案amin=k+k2+λ22=9.本例从结构上推广到了一般情形：

若不等式a（x+y）≥kx+λxy对任意正数x，y，k，λ恒成立，则实数a的最小值为k+k2+λ22.

参考文献：

［1］李世杰，李盛.不等式探秘[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2017.

［2］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］ 弭金瑞.巧转化 妙破解 深拓展——一道不等式恒成立问题的探究［J］.中学数学教學参考，2021（30）：48-49.

［4］ 许万成.破解含参不等式恒成立问题的常见策略［J］.数理化解题研究，2021（25）：25-26.