对一道系数和为定值试题的探究

摘要：本文对一道江苏地区高三期中测试中的向量系数和为定值问题进行了解法探究，推广得到了椭圆中的一般性结论，并将相关结果引申到了双曲线和抛物线中，最后变换视角进行了拓展探究.

关键词：系数和；定值；探究；椭圆；双曲线

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0019-04

收稿日期：2022-07-05

作者简介：高继浩（1987-），男，四川省天全人，硕士，中学一级教师，从事中学数学教学研究.

1 试题呈现

题目（2021年10月江苏地区高三上学期期中测试）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22，短轴一个端点到右焦点F的距离为2.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点F的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于点P，设PA=λ1AF，PB=λ2BF，试判断λ1+λ2是否为定值？请说明理由.2 解法探究

易得试题第（1）问椭圆方程为x22+y2=1，下面解答第（2）问.

视角1（设线法）设出直线l的方程并与椭圆方程联立，通过向量关系将λ1，λ2用两根表示，再借助韦达定理求解.

解法1（正设直线）显然直线l的斜率存在，F1，0，设Ax1，y1，Bx2，y2，直线l的方程为y=kx-1，与椭圆方程联立消去y，得

1+2k2x2-4k2x+2k2-2=0.

由韋达定理，得

x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2-21+2k2.

而P0，-k，则

PA=x1，y1+k，AF=1-x1，-y1.

由PA=λ1AF，得x1=λ11-x1.

即λ1=x11-x1.

同理可得λ2=x21-x2.

故λ1+λ2=x11-x1+x21-x2

=x1+x2-2x1x21-x1+x2+x1x2

=4k21+2k2-4k2-41+2k21-4k21+2k2+2k2-21+2k2=-4.

解法2（反设直线）易知F1，0.当直线l的斜率不为零时，设Ax1，y1，Bx2，y2，直线l的方程为x=my+1m≠0.

与椭圆方程联立消去x，得

m2+2y2+2my-1=0.

由韦达定理，得

y1+y2=-2mm2+2，y1y2=-1m2+2.

而P0，-1m，则PA=x1，y1+1m，AF=1-x1，-y1.

由PA=λ1AF，得

y1+1m=-λ1y1.

即λ1=-my1+1my1.

同理可得λ2=-my2+1my2.

故λ1+λ2=-my1+1my1-my2+1my2=-y1+y2+2my1y2my1y2

=--2mm2+2-2mm2+2-mm2+2=-4.

当直线l的斜率为零时，设A-2，0，

B2，0，而P0，0，则PA=-2，0， AF=1+2，0.

由PA=λ1AF，得λ1=-21+2=2-2.

同理可得λ2=-2-2.

故λ1+λ2=-4.

综上，λ1+λ2=-4.

视角2（代点法）直接设出A，B，P三点的坐标，通过向量关系解出A，B两点的坐标并代入椭圆方程，再借助韦达定理求解.

解法3易知F1，0.设Ax1，y1，Bx2，y2，P0，n，则

PA=x1，y1-n，AF=1-x1，-y1.

由PA=λ1AF，得

x1=λ11-x1，y1-n=-λ1y1.

显然λ1≠-1，故x1=λ11+λ1，y1=n1+λ1.

代入椭圆方程，得

λ21+4λ1+2-2n2=0.

同理可得

λ22+4λ2+2-2n2=0.

所以λ1，λ2是关于x的方程x2+4x+2-2n2=0的两根，故λ1+λ2=-4.

视角3（参数法）借助椭圆参数方程设出A，B两点的坐标，通过向量关系得到参数关系，再利用和差化积与积化和差公式求解.

解法4易知F1，0.设A2cosα，sinα，B2cosβ，sinβ，P0，n，则

PA=2cosα，sinα-n，AF=1-2cosα，-sinα.

由PA=λ1AF，得

2cosα=λ11-2cosα.

即λ1=2cosα1-2cosα.

同理可得λ2=2cosβ1-2cosβ.

故λ1+λ2=2cosα1-2cosα+2cosβ1-2cosβ

=2cosα+cosβ-4cosαcosβ1-2cosα+cosβ+2cosαcosβ.

因为BF=1-2cosβ，-sinβ，A，B，F三点共线，

所以-sinβ1-2cosα=-sinα1-2cosβ.

即sinα-sinβ=2sinα-β.

故cosα+β2=2cosα-β2.

所以cosαcosβ=12cosα+β+cosα-β

=122cos2α+β2+2cos2α-β2-2

=3cos2α-β2-1，

cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2

=22cos2α-β2.

故λ1+λ2=4-8cos2α-β22cos2α-β2-1=-4.

3 推广引申

将试题第（2）问进行一般化推广得到：

命题1已知F为椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点，过点F的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点P，若PA=λ1AF，PB=λ2BF，则λ1+λ2=2e2-1（其中e为椭圆的离心率）.

前面的四个解法中，解法3较为简洁，下用此法证明命题1.

证明设Ax1，y1，Bx2，y2，P0，n，Fc，0，则

PA=x1，y1-n，AF=c-x1，-y1.

由PA=λ1AF，得

x1=λ1c-x1，y1-n=-λ1y1.

显然λ1≠-1，故x1=λ1c1+λ1，y1=n1+λ1.

代入橢圆方程，得

b4λ21+2a2b2λ1+a2b2-n2=0.

同理可得

b4λ22+2a2b2λ2+a2b2-n2=0.

所以λ1，λ2是关于x的方程b4x2+2a2b2x+a2b2-n2=0的两根.

故

λ1+λ2=-2a2b2b4=2e2-1.

将命题1中右焦点改为x轴上一点后得到：

命题2已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0和点Eta，0t≠0，t≠±1，过点E的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点P，若PA=λ1AE，PB=λ2BE，则λ1+λ2=2t2-1.

将命题1、命题2引申到双曲线中，得到：

命题3已知F为双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0的右焦点，过点F的直线交双曲线于A，B两点，交y轴于点P，若PA=λ1AF，PB=λ2BF，则λ1+λ2=2e2-1（其中e为双曲线的离心率）.

命题4已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0和点Eta，0t≠0，t≠±1，过点E的直线交双曲线于A，B两点，交y轴于点P，若PA=λ1AE，PB=λ2BE，则λ1+λ2=2t2-1.

命题2至4的证明过程与命题1类似，略.

在抛物线中有：

命题5已知抛物线y2=2pxp>0和点Et，0t≠0，过点E的直线交抛物线于A，B两点，交y轴于点P，若PA=λ1AE，PB=λ2BE，则λ1+λ2=-1.

证明设Ax1，y1，Bx2，y2，P0，n，则

PA=x1，y1-n，AE=t-x1，-y1.

由PA=λ1AE，得

x1=λ1t-x1，y1-n=-λ1y1.

显然λ1≠-1，故x1=λ1t1+λ1，y1=n1+λ1.

代入抛物线方程，得

2ptλ21+2ptλ1-n2=0.

同理可得

2ptλ22+2ptλ2-n2=0.

所以λ1，λ2是关于x的方程2ptx2+2ptx-n2=0的两根，故λ1+λ2=-2pt2pt=-1.

4 对偶拓展

受文[1]启发，将命题2和命题4中点E的位置改为y轴上，分别得到：

命题6已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0和点E0，tbt≠0，t≠±1，过点E的直线交椭圆于A，B两点，交x轴于点P，若PA=λ1AE，PB=λ2BE，则λ1+λ2=2t2-1.

证明设Ax1，y1，Bx2，y2，Pm，0，则

PA=x1-m，y1，AE=-x1，tb-y1.

由PA=λ1AE，得

x1-m=-λ1x1，y1=λ1tb-y1.

显然λ1≠-1，

故x1=m1+λ1，y1=λ1tb1+λ1.

代入椭圆方程，得

a21-t2λ21+2a2λ1+a2-m2=0.

同理可得

a21-t2λ22+2a2λ2+a2-m2=0.

所以λ1，λ2是关于x的方程a21-t2x2+2a2x+a2-m2=0的两根.

故

λ1+λ2=-2a2a21-t2=2t2-1.

命题7已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0和点E0，tbt≠0，过点E的直线交双曲线于A，B两点，交x轴于点P，若PA=

λ1AE，PB=λ2BE，则λ1+λ2=-2t2+1.

命题7的证明过程与命题6类似，略.

5 方法运用

我们对命题的证明采用了前面的解法3进行，借助同构方程思想使得问题的解决过程简洁明了，运算量小.下面给出两个变式练习题，供参考.

练习1过椭圆x24+y23=1右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，交直线x=4于点P，若PA=λ1AF，PB=λ2BF，求证：λ1+λ2为定值.

证明易知F1，0，设Ax1，y1，Bx2，y2，P4，n，则

PA=x1-4，y1-n，AF=1-x1，-y1.

由PA=λ1AF，得

x1-4=λ11-x1，y1-n=-λ1y1.

显然λ1≠-1，

故x1=4+λ11+λ1，y1=n1+λ1.

代入橢圆方程，得9λ21-4n2-36=0.

同理可得9λ22-4n2-36=0.

所以λ1，λ2是关于x的方程9x2-4n2-36=0的两根.

故λ1+λ2=0.

练习2过x轴上一点E（异于原点）的直线交抛物线x2=4y于A，B两点，交y轴于点C，若EA=λ1EC，EB=λ2EC，求λ1·λ2的值.

解析设Et，0t≠0，Ax1，y1，Bx2，y2，C0，n，则

EA=x1-t，y1，EC=-t，n.

由EA=λ1EC，得

x1-t=-λ1t，y1=λ1n.

代入抛物线方程，得

t2λ21-2t2+2nλ1+t2=0.

同理可得t2λ22-2t2+2nλ2+t2=0.

所以λ1，λ2是关于x的方程t2x2-2t2+2nx+t2=0的两根.

故λ1·λ2=1.

参考文献：

［1］高继浩.探究一道斜率之比为定值的联考试题[J].数学通讯，2021（19）：36-37.

[2] 高继浩.揭开“蝴蝶”的面纱——对一道2021年重庆市预赛题的探究[J].中学数学教学，2021（06）：30-32.