例谈“以直代曲”思想在证明代数不等式中的应用

例谈“以直代曲”思想在证明代数不等式中的应用

金毅

（内蒙古自治区呼和浩特市第二中学010000）

摘要：本文以函数与导数为主要工具，主要应用“切线放缩”与“割线放缩”证明代数不等式，突出数形结合思想中的“以直代曲”思想. 本文突出呈现函数“凸性”在此方法中的重要性，并把它作为选择具体直线时的思路切入点.

关键词：代数不等式；证明；以直代曲；函数的凸性

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0046-04

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：金毅（1992-），男，硕士，从事中学数学教学研究.

我们经常会见到一类条件不等式，给出有限个变量的范围或它们和的值，之后证明与这些变量有关的代数式的和的取值范围.

一种通常的表现形式是：

若∑ni=1xi=M，证明：∑ni=1fxi≥N.

当然，等号或不等号的呈现形式也不唯一，以上仅作为一个常见表示展现给大家，目的是从形式上先做了解. 我们可以看到，很多解答中对这类问题都展现了非常高超的配凑变形技巧，这让我们不禁思考：对于这类问题在思考时的总体方向是什么？本文就将深入探究这类问题，将思考的过程予以展现，找出问题思考的总体方向，寻找隐藏在变形技巧后面的总体规律，并形成主要的解题思想——以直代曲.

1 “以直代曲”思想之割线放缩技巧

割线放缩是以直代曲思想的重要呈现，它的理论基础是函数的凸性. 关于函数的凸性，我们利用二阶导数判断，当f ″x≤0在区间M上成立时，

fx在区间M上为上凸函数；当f ″x≥0在区间M上成立时，fx在区间M上为下凸函数.

例1（数学通讯322问题）已知a，b，c，d∈0，1，证明：a1+b+b1+c+c1+d+d1+a≤2.

分析构造函数fx=11+xx∈0，1，则

f ′x=-11+x2，f ″x=21+x3，

可知道fx在0，1上是一个下凸函数.

接下来，我们要把函数放大成一条“直线”，也即一次函数，但是为了确保在x∈0，1上fx≤kx+b，我们采取一个类似于“封口”的操作. 我们取函数对应在定义域区间端点的两点A0，1，B1，12，求解出直线AB的方程为y=1-12x. 如图1所示.

这样，我们得到了在0，1上的不等关系

11+x≤1-12x.

可以得到11+a≤1-12a.

根据以上分析，我们得到

d1+a≤d-12ad.

同理，

a1+b≤a-12ab，

b1+c≤b-12bc，

c1+d≤c-12cd，

累加以上4式，可得

a1+b+b1+c+c1+d+d1+a≤a+b+c+d-12ab+bc+cd+da=-12ab+bc+cd+da-2a-2b-2c-2d+4-4=-12［a-1b-1+b-1c-1+c-1d-1+a-1d-1］+2≤2.

故原不等式成立，取等条件为a=b=c=d=1.

点评本题是利用割线放缩的一道典型例题，首先，整体的放缩方向是“往大放”，同时考虑到函数的凸性是“下凸”，于是想到“封口”处理. 从图1来看，直线和函数是“割线”关系，故名割线放缩. 事实上，根据刚才对例题的分析可以看到，函数的凸性是在放缩过程中必须要重点考虑的一个部分. 可以看到，割线放缩的关键是根据不等式的结构形式，找到要研究的函数，之后研究这个函数的凸性区间端点等非常重要的信息，之后确定直线的位置.

2 “以直代曲”思想之切线放缩技巧

通过刚才的分析，我们知道分析函数的凸性是极为重要的，这点不仅仅是应用在割线放缩中，切线放缩也至关重要. 同样，切线放缩也是“以直代曲”思想的重要呈现.

例2设x，y，z均为正实数，且x+y+z=1，求三元函数fx，y，z=3x2-x1+x2+3y2-y1+y2+3z2-z1+z2的最小值.

分析根据题意，本题需要研究的函数为gx=3x2-x1+x2，g′x=x2+6x-11+x22，g′′x=2-x3-9x2+3x+31+x23.

事实上，我们分别将0和1代入二阶导数，发现符号相反，这说明在区间0，1上，函数的凸性发生了改变. 即使凸性不一致也没关系，我们看看本题可能会用到的取等条件. 我们猜测是x=y=z=13，计算在此处gx的二阶导数g″13>0，说明此处函数下凸. 根据不等式的方向是“往小放”，所以我们使用切线放缩.

如图2，g′13=910，g13=0，这样可以得到直线为y=910x-13.

这说明3x2-x1+x2≥910x-13.

根据刚才的分析，0，1上的凸性不一致，所以我们要用作差配凑的方式严谨证明此不等式.

3x2-x1+x2-910x-13=x-13x1+x2-310.

当x∈0，13时x-13≤0，x1+x2-310≤0（x1+x2在0，1是单调递减函数）. 另外，当x∈13，1时，x-13≥0，x1+x2-310≥0.

综上，可得3x2-x1+x2-910x-13≥0成立，取等条件当且仅当x=13.

所以3x2-x1+x2≥910x-13，3y2-y1+y2≥910y-13，3z2-z1+z2≥910z-13.

将以上三式相加得fx，y，z≥910（x+y+z-1）=0，故最小值为0，当且仅当x=y=z=13.

点评本题依据函数在取等条件时的凸性决定使用切线放缩. 本题的函数凸性不唯一，所以在证明时我们用了作差比较来严格证明. 例1的函数凸性唯一，所以我们使用图象说明即可. 切线放缩是一种更为常用的与函数凸性结合的方法，一般的步骤仍然是先分析函数凸性，根据不等号方向确定切线放缩的直线，同时，切点可以根据取等条件确定.

例3设a，b，c是正实数，证明：2a+b+c22a2+b+c2+2b+a+c22b2+a+c2+2c+a+b22c2+a+b2≤8.分析 本题表面上看似乎无法马上找到需要研究的函数，但是我们发现这个不等式中的三个分式都是齐次式，我们不妨设a+b+c=1，原不等式化为

a+123a2-2a+1+b+123b2-2b+1+c+123c2-2c+1≤8.

我们研究的函数可以选为

fx=x+123x2-2x+1.

所以有f ′x=4x+11-2x3x2-2x+12，f ′13=4，f ″x=124x3+3x2-6x+13x2-2x+13，

x=12时函数取得极大值，

f ″0>0，f ″12<0，凹凸性在0，1上不一致，所以我们来看x=13处的函数凸性，

f ″13<0，说明函数在此处上凸. 结合不等号的方向，我们选择切线放缩.可得直线方程为y=4x+43.

因凹凸性不一致，我们用作差比较的方法证明不等式x+123x2-2x+1≤4x+43.

x+123x2-2x+1-4x-43=-36x3+15x2+2x-133x2-2x+1.

令hx=-36x3+15x2+2x-1，

h′x=-108x2+30x+2=1-3x36x+2，

则h（x）在0，1上存在唯一零点x=13，所以在0，1上，hx的最大值h13=0，所以-36x3+15x2+2x-1≤0成立，且3x2-2x+1>0恒成立.

综上x+123x2-2x+1-4x-43≤0成立.

可以进一步得到a+123a2-2a+1≤4a+43，b+123b2-2b+1≤4b+43c+123c2-2c+1≤4c+43，，

叠加以上三式，可以得到a+123a2-2a+1+b+123b2-2b+1+c+123c2-2c+1≤4a+b+c+4=8.

点评本题使用了切线放缩，在本题的解决中，我们令a+b+c=1，接下来解释这样处理的原因. 事实上，我们可以令a+b+c=s，原不等式左边为a+s22a2+s-a2+b+s22b2+s-b2+c+s22c2+s-c2，接下来三个分式的分子分母同除s2，并令a′=as，b′=bs，c′=cs，得

as+122as2+1-as2+bs+122bs2+1-bs2+cs+122cs2+1-cs2=a′+123a′2-2a′+1+b′+123b′2-2b′+1+c′+123c′2-2c′+1.

所以，令a+b+c=1，得到的是等价不等式，这样处理是合理的.

3 “以直代曲”思想之切割线放缩的综合应用

例4已知非负实数a，b，c，d满足a+b+c+d=2，求ab2+1+bc2+1+cd2+1+da2+1的最小值.分析我们要研究的函数是fx=1x2+1，f ′x=-2xx4+2x2+1，f ″x=6x2-2x6+3x4+3x2+1.

可以看出，在0，2上函数凹凸性不唯一，应该是先上凸再下凸. 结合要放缩的方向，我们总体上使用割线放缩. 但是，因为是先上凸后下凸，如果连接区间端点的话就会穿过图象，我们的考虑是从区间左端点向下凸部分引切线. 也就是说，我们用“切点”作为割线放缩“封口”的另一个端点.

令切点为x0，y0，区间左端点为A0，1，根据切线关系列方程，得

y0=1x20+1，1-y0=-2x0x40+2x20+10-x0.

解得x0=1，y0=12，所以割线放缩的方程为y=1-12x.如图3，是割线放缩的图象，但是在确定这条割线时使用的是切线方法找到点B.

所以，我们需要证明不等式11+x2≥1-12x，作差证得11+x2+12x-1=xx-1221+x2≥0.

于是我們得到ab2+1≥a-12ab，bc2+1≥b-12bc，cd2+1≥c-12cd，da2+1≥d-12da.

叠加以上4式，得

ab2+1+bc2+1+cd2+1+da2+1≥a+b+c+d-12ab+bc+cd+da=2-a+cb+d2≥2-12a+b+c+d22=32，

取等条件为a=1，b=1c=0d=0或a=1，b=0c=0d=1或a=0，b=1c=1d=0或a=0，b=1，c=0，d=1.

点评从本题来看，虽然主体使用了割线放缩，但是其中的一个端点使用了切点，也就是说，本题综合使用了前面的两个“以直代曲”的思路. 事实上，在具体利用直线放缩不等式的时候，不是固定用切线或者是割线，而是一定要根据函数的凸性，“因地制宜”地选择解决问题的方法.

本文展示了“以直代曲”的具体思想来解决代数不等式问题，给出了每一个放缩时具体用的函数图象. 在实际做题中，函数的凸性分析是至关重要的. 一定要在具体的问题中灵活运用，用图形从直观形象的分析中尽快找到解决问题的思路.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.