新课标“图形与几何”内容分析：从结构到要求

吕世虎，颜飞

摘要：《义务教育数学课程标准（2022年版）》对图形与几何领域通过整合主题、加强各学段联系的方式实现内容的结构化；内容呈现采用“领域+学段”的设计思路，凸显了核心内容，加强了主题之间的联系，并且在“内容要求”的基础上增加“学业要求”与“教学提示”等表述形式，加强了课程标准的操作性与指导性；内容要求依据“图形的认识与测量”“图形的位置与运动”“图形的性质”“图形的变化”“图形与坐标”五个主题层层递进，注重整体性与阶段性，关注幼小衔接以及学生的认知发展规律，加强几何直观的培养，重视尺规作图的内容。

关键词：数学新课标；图形与几何；课程内容；结构化

吕世虎教授团队的《义务教育数学课程标准（2022年版）》课程内容深度分析系列文章之二。“几何”在数学课程中具有重要的教育价值，是基础教育数学课程改革关注的重点。从我国历次颁布的课程文件看，小学数学课程在1978年以前以“算术”内容为主，1978年以后“几何”内容逐渐丰富起来，并以实验几何为主；初中数学课程中的“几何”内容也在不断调整，且越来越丰富，同时以论证几何为主，难度要求有起有落。2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称“2001年版课标”）将“几何”内容作为独立的学习领域命名为“空间与图形”，2012年颁布的《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“2011年版课标”）将其改名为“图形与几何”，最新颁布的《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）沿用了此名称。本文从内容结构、内容呈现、内容要求三个方面对新课标中的“图形与几何”内表1两版课标中图形与几何领域的内容结构

课标版别“图形与几何”内容的分学段主题设置新课标第一学段（1—2年级）第二学段（3—4年级）第三学段（5—6年级）第四学段（7—9年级）图形的认识与测量图形的认识与测量；图形的位置与运动图形的认识与测量；图形的位置与运动图形的性质；图形的变化；图形与坐标2011年版

课标第一学段（1—3年级）第二学段（4—6年级）第三学段（7—9年级）图形的认识；测量；图形的运动；图形与位置图形的认识；测量；图形的运动；图形与位置图形的性质；图形的变化；图形与坐标容做具体分析。

一、新课标“图形与几何”内容结构分析

数学课程标准中，内容结构主要是指不同学段的课程内容所涵盖的知识领域及其主题的分布。与2011年版课标相比，新课标将原来的三个学段（小学为第一、第二学段，初中为第三学段）调整为四个学段（小学为第一、第二、第三学段，初中为第四学段）。同时，新课标对数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个领域的课程内容进行了结构化整合。其中，对图形与几何领域主要通过整合主题、加强各学段联系的方式實现内容的结构化，具体如表1所示。

与2011年版课标相比，新课标将小学部分的“图形的认识”“测量”“图形的运动”“图形与位置”四个主题整合为“图形的认识与测量”“图形的位置与运动”两个主题，初中部分的“图形的性质”“图形的变化”“图形与坐标”三个主题保持不变。

21世纪初开始新课程实验以来，义务教育几何课程设计在数学教育界一直有争论。比如，在编排体系上是以实验几何为主还是以论证几何为主，在编排顺序上是先实验几何还是先论证几何等，都有一些不同的看法。孔凡哲，史亮.几何课程设计方式的比较分析——直观几何、实验几何与综合几何课程设计的国际比较［J］.数学通报，2006（10）：711。2001年版课标在小学阶段设置了“图形的认识”“测量”“图形与变换”“图形与位置”四个主题，主要采用实验几何的方式展开相关内容；在初中阶段设置了“图形的认识”“图形与变换”“图形与坐标”“图形与证明”（其中，“图形与证明”“图形与坐标”分别与小学阶段的“测量”“图形与位置”对应），采用先实验几何后论证几何，并且以实验几何为主的体系展开相关内容。2011年版课标将小学阶段的“图形与变换”更名为“图形的运动”，将初中阶段的“图形的认识”“图形与证明”合并为“图形的性质”，“图形与变换”更名为“图形的变化”。2011年版课标加强了几何证明，采用了论证几何与实验几何结合，并且以论证几何为主的体系展开相关内容，对大部分几何命题要求先探索发现再推理证明。这种方式既体现了几何结论的探索发现过程，又体现了几何结论的推理证明过程，还避免了先实验几何后论证几何的编排方式容易出现内容重复的弊端。在“图形的认识”的基础上，从研究图形的视角看，小学阶段的“测量”、初中阶段的“图形与证明”体现了综合几何的视角；小学阶段的“图形的运动”、初中阶段的“图形的变化”体现了变换几何的视角；小学阶段的“图形与位置”、初中阶段的“图形与坐标”体现了解析几何的视角。

“测量”是欧氏几何中研究图形的基本方法，也是小学阶段研究图形最基本的方法，其本质是通过度量图形的长度、面积、体积、角度等研究图形及其关系。这与“图形的认识”联系紧密，新课标将“图形的认识与测量”统整在一起，有利于学生整体把握图形的几何特征。“图形的认识与测量”主题延伸到初中就是“图形的性质”，即利用证明的方法研究图形及其关系。在小学阶段，“图形的运动”“图形与位置”两个主题的内容相对较少，新课标将其合并为“图形的位置与运动”一个主题。这一主题延伸到初中阶段，相应的内容比较丰富，又分为“图形的变化”“图形与坐标”两个主题。这种主题设计使得“图形与几何”的内容统整了起来，避免了知识的碎片化。

二、新课标“图形与几何”内容呈现分析

数学课程标准中，内容呈现主要是指课程内容的设计思路与表述形式。新课标中，“图形与几何”内容的设计思路和表述形式有新的变化。

（一）“图形与几何”内容设计思路分析

2011年版课标按照“学段+领域”的思路设计课程内容，图形与几何领域的内容分散在三个学段中呈现。而新课标按照“部分+领域+学段”的思路设计课程内容，图形与几何领域四个学段的内容按照小学、初中部分集中呈现，顺序展开。每个学段都有明确的主题（有的主题贯穿于不同学段）。这种“领域+学段”的设计思路，凸显了图形与几何领域的核心内容，加强了主题之间的联系，体现了内容统整的理念，在一定程度上避免了知识的碎片化，有助于教材编写与教学设计中明确核心内容，凸显核心内容与核心素养的关联，推动核心素养的落实。

（二）“图形与几何”内容表述形式分析

与2011年版课标相比，新课标中课程内容的表述形式不仅有“内容要求”，而且增加了“学业要求”“教学提示”，即从“学什么”“学到什么程度”“怎样学”三个方面全面地表述课程内容。这加强了课程标准在教材编写、教学设计以及教学评价中的操作性与指导性。

例如，图形与几何领域第一学段“图形的认识与测量”主题，内容要求主要是对学习范围的表述，包括图形的认识与测量两部分。其中，“图形的认识”部分强调了通过“实物”和“模型”辨认简单的立体图形和平面图形，能对图形分类，会用简单图形拼图。显然，这一内容要求与现实生活联系比较紧密。学业要求主要是对学习要达到的程度的表达。比如，“图形的认识”的学业要求比其内容要求更加细致，包括具体立体图形（长方体、正方体、圆柱、球等）和平面图形（长方形、正方形、平行四边形、三角形、圆等）的学习要达到的程度等。教学提示主要是对相关内容教学实施的建议。比如，“图形的认识”的教学提示强调了结合低年级学生的年龄特点，充分利用学生在幼儿园阶段积累的有关图形的经验，以直观感知为主。

从“内容要求”“学业要求”“教学提示”三个方面呈现课程内容，不仅明确了具体的内容范围和内容学习的达成程度，而且对教学活动的组织等提出了指导性建议，也为教材编写提供了具有一定操作性的指引。

三、新课标“图形与几何”内容要求分析

相比于2011年版课标，新课标图形与几何领域的变化主要体现为强化几何直观。该领域设置了“图形的认识与测量”“图形的位置与运动”“图形的性质”“图形的变化”“图形与坐标”五个主题。前两个主题分布在小学阶段，后三个主题分布在初中阶段，而且各学段之间的内容相互关联，螺旋上升，层层递进。以下具体分析这五个主题的内容要求。

（一）“图形的认识与测量”内容要求分析

“图形的认识与测量”主题贯穿于小学阶段的三个学段，主要包括图形的“认识”与“测量”两部分内容，两者之间密切相关。与2011年版课标相比，新课标这一主题的变化主要是增加“会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段”这一内容要求，旨在加强几何直观的培养。

第一，“图形的认识”主要是对图形的抽象。学生要经历从实际物体中抽象出几何图形的过程，认识图形的特征，感悟点、线、面、体的关系，积累观察和思考的经验，逐步形成空间观念。新课标对该内容的设计是，从认识现实世界中的立体图形开始，逐渐抽象，认识平面图形，最后进一步认识平面图形与立体图形。具体分析可知，第一学段“图形的认识”的内容要求是，通过实物和模型辨认简单的立体图形和平面图形。这里只要求直观描述这些图形的外部形象特征，如“长方体的每一个面都是平平的”“球是圆滚滚的”“长方形相对的边是一样长的”“正方形每条边都是一样长的”“三角形有角，是尖尖的”等。这些内容与学生在幼儿园阶段积累的有关图形的经验紧密相关。通过图形的直观描述，利用分类和拼图的方法，进一步加强学生对不同图形特征的直观感知。第二学段“图形的认识”的内容要求以认识线、角、三角形和四边形等为主。但这里不再是直观描述图形的外部形象，而是应用一定的方法或规律，从“点、线、角、面”（图形的组成元素）的维度观察与认识图形。比如，根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体；又如，通过长方体的外表认识面，通过面的边缘认识线段，感悟图形抽象的过程。第三学段“图形的认识”的内容要求有认识圆、扇形、长方体、正方体和圆柱等。这里既有平面图形，又有立体图形；同时，认识图形的方式与角度有进一步的提升和侧重。首先，第三学段要求辨认简单物体不同方向（前面、侧面、上面）的形状图，还要求了解长方体、正方体、圆柱的展开图，这是以不同的方式认识图形。其次，第三学段侧重从度量的角度考察图形，比如三角形边和角的性质，圆的周长和面积公式，长方体、正方体、圆柱的体积公式等。

第二，“图形的测量”重点是确定图形的大小。学生要经历统一度量单位的过程，感受统一度量单位的意义，基于度量单位理解图形的长度、角度、周长、面积、体积等；在推导一些常见图形周长、面积、体积的计算公式的过程中，感悟数学度量方法，逐步形成量感和推理意识。新课标对该内容的设计与“图形的认识”紧密相关，其核心是对图形大小的度量，因此，度量单位是测量内容展开的一条线索。就度量单位的形成过程而言，大体可以分为两类：一类是通过抽象得到的，是人思维的结果；另一类是借助工具得到的，是人实践的结果。前者是基于日常生活和生产实践的需要，创造出一些语言来表达事物量的多少，在形式上是舍去了度量单位的称谓，在实质上是脱离了数量所依赖的具体的现实背景；后者则是基于事物的现实背景构建的度量单位，因而始终含有表达事物背景指标的称谓。娜仁格日乐，史宁中.度量单位的本质及小学数学教学［J］.数学教育学报，2018（6）：1316。小学阶段“图形的测量”内容所涉及的度量单位主要是后者。具体分析可知，第一学段“图形的测量”的内容要求是，体会建立统一度量单位的重要性。事实上，度量单位的统一是使度量（测量）从个别的、特殊的活动变成一般的、可以在更大范围内应用和交流的活动的前提。比如，可以通过创设“测量课桌长度”等生活情境，借助拃的長度、铅笔的长度等测量，经历测量的过程，比较测量的结果，感受统一长度单位的意义，并且在这一过程中认识长度单位米和厘米。随着对图形认识的深入，第二学段中的度量单位也逐渐丰富起来，包括长度的度量单位千米、分米、毫米，面积的度量单位平方厘米、平方分米、平方米，角的度量单位度。相应地，要求在认识度量单位的基础上，进行简单的单位换算以及恰当地选择单位估测物体的长度或面积。第三学段中涉及的图形更加丰富，既有平面图形，又有立体图形，相应的度量单位有平方千米、公顷、立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升。

（二）“图形的位置与运动”内容要求分析

“图形的位置与运动”主题贯穿于第二、三学段，主要包括图形的“位置”与“运动”两部分内容。与2011年版课标相比，新课标这一主题的变化主要是将“图形的位置”的相关内容，包括“会用上、下、左、右、前、后描述物体的相对位置”以及“给定东、南、西、北四个方向中的一个方向，能辨认其余三个方向，知道东北、西北、东南、西南四个方向”等内容，调整到综合与实践领域的“我的教室”与“寻找‘宝藏”两个主题活动中。这些内容与现实生活紧密相关，新课标调整其所在的领域，一方面有助于综合与实践领域内容教学的实施，另一方面也有助于发展学生的核心素养。

“图形的位置与运动”主要体现了从解析几何和变换几何的视角研究图形。新课标对该内容的设计是，通过方格纸上的有序数对（坐标）确定图形的位置和表达图形运动的特点，从而为未来深入学习数形结合奠定基础。具体分析可知，第二学段“图形的位置与运动”主题只涉及“图形的运动”这部分内容，包括图形的平移、旋转、轴对称。这类运动都可以称为“刚体运动”，刚体运动所生成的变换都是全等变换，其特点是变换后图形上任意两点之间的距离不变。这一学段的内容要求主要是，在实际情境中辨认出生活中的平移、旋转和轴对称现象，直观感知平移、旋转和轴对称的特征，利用平移或旋转解释现实生活中的现象，形成空间观念。第三学段中，“图形的位置”“图形的运动”两部分内容是密切相关的。首先，确定图形的位置重点是确定点的位置，核心是建立数对集与点集之间的映射关系。小学阶段主要是在方格纸上用有序数对确定点的位置，进而在方格纸上描述图形的位置。其次，通过在方格纸上画简单图形运动（平移、旋转、轴对称、放大或缩小）之后的图形，可以观察和表达运动前后图形的变与不变，进而体会坐标表达的重要性。

（三）“图形的性质”内容要求分析

“图形的性质”主题设置在第四学段，主要包括六部分内容：点、线、面、角，相交线与平行线，三角形，四边形，圆，定义、命题、定理。与2011年版课标相比，新课标这一主题的变化主要有：提高了“等腰三角形与直角三角形”的内容要求；将“垂径定理”由选学内容调整为必学内容；尺规作图内容不再作为独立的一部分，而是分散到有关的内容中，要求“了解作图的原理，保留作图的痕迹，不要求写出作法”，并且增加了“尺规作图：过圆外一点作圆的切线”。可见，新课标比较重视尺规作图的内容，期望学生通过了解图形形成的过程，提升几何直观与空间观念，增强动手实践能力。

“图形的性质”体现了从综合几何的视角研究图形。新课标对该内容的设计主要是，通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形，在利用几何直观理解几何基本事实的基础上，从基本事实出发推导图形的几何性质（定理），理解和掌握尺规作图的基本原理和方法。具体分析可知，“图形的性质”内容可归结为三个方面：一是研究的对象（图形），主要按照基本几何图形（如线与角）、直线型图形（如三角形和四边形）、曲线型图形（如圆）等类型展开，从简单到复杂，循序渐进；二是构成图形的元素和图形之间的关系，如三角形的三边关系、平行四边形的性质定理、圆周角定理等均是对组成图形的元素之间关系的研究，而直线与圆的位置关系、三角形的内切圆和外接圆、圆的内接正方形和正六边形等均是对图形之间关系的研究；三是研究图形的方法，主要是通过合情推理和演绎推理的方法研究图形。

（四）“图形的变化”内容要求分析

“图形的变化”主题设置在第四学段，主要包括五部分内容：图形的轴对称、旋转、平移、相似、投影。与2011年版课标相比，新课标这一主题的内容要求基本没有变化。

“图形的变化”强调从运动变化的观点研究图形，即用几何变换的方法研究图形的性质。通过图形的变化，学生能体会变换的思想方法。史宁中教授认为：“初中阶段讲定义在平移、旋转和反射之上的平面几何，高中阶段再用二维矩阵来表示这些变换，到大学阶段讲群论、讲近似代数就方便了。即使学生以后不学数学，把变换的思想讲了，对学习物理的变换和化学的结构，也是很有益处的。”史宁中.《平面几何》改造计划［J］.数学通报，2007（6）：13。具体分析可知，小学阶段已经设置了图形的轴对称、旋转、平移的相关内容，初中阶段对该内容的要求有所提升：了解或理解它们的概念与基本性质。但还是要通过图形的运动变化去认识，而不是直接呈现结论，重在引导学生学会从数学的角度观察现实生活中的图形，感悟数学的应用价值。图形的相似的主要内容是相似三角形。图形的相似不改变图形的形状，但是会改变图形的大小，也就是说，相似变换不改变角的大小，且使图形的边呈现一种稳定的比例关系，其实质是图形的放大或缩小，也称为“保角变换”。位似是特殊的相似，利用位似可以将一个图形放大或缩小。图形的投影主要包括中心投影和平行投影。平行投影后得到的物体与原物体是形状相同且大小相等的（全等的），这是三视图的基础；而中心投影后得到的物体与原物体的形状是相同的，但大小是不等的（放大的），这是一种位似变换。通过对“图形的变化”的进一步认识，结合对简单立体图形展开图的了解，可以发展学生的空间观念与几何直观。

（五）“图形与坐标”内容要求分析

“圖形与坐标”主题设置在第四学段，主要包括“图形的位置与坐标”和“图形的运动与坐标”两部分内容。与2011年版课标相比，新课标这一主题的内容要求基本没有变化。

“图形与坐标”强调数形结合，用代数方法研究几何图形，在平面直角坐标系中用坐标表示图形上点的位置，用坐标法分析和解决实际问题，即用解析几何方法研究图形的性质。具体分析可知，初中阶段的“图形的位置与坐标”“图形的运动与坐标”正好与小学阶段的“图形的位置与运动”相衔接。小学阶段通过实体工具“方格纸”以及数学工具“数轴”（数射线）搭建了图形与坐标之间的联系，而初中阶段引入数学工具“平面直角坐标系”，一方面是对方格纸的提升，另一方面也是对数轴的拓展。图形是由点构成的，而平面直角坐标系是确定点的位置的有效工具，通过用坐标描述点的位置就可以在平面直角坐标系中刻画图形的位置。图形运动的实质是点的运动，故研究图形的运动与坐标只需要研究一对对应点的变化规律。这一主题强调数形结合，引导学生经历用坐标表达图形运动的过程，体会用代数方法表达图形变化的意义，可以发展学生的推理能力和运算能力。