求解圆锥曲线离心率范围问题的三种思路

张恒

离心率是圆锥曲线的重要性质之一，用e=-来表示，抛物线的离心率为1，椭圆离心率的范围为（0，1），双曲线离心率的范围为（1，+∞），因而圆锥曲线离心率问题主要是指椭圆与双曲线的离心率问题．圆锥曲线离心率的范围问题比较常见，这类问题的难度不大，侧重于考查圆锥曲线的方程、定义、几何性质以及a、b、c之间的关系．本文主要谈一谈求解圆锥曲线离心率范围问题的三种思路，

一、利用一元二次方程的判别式求解

首先联立直线和双曲线的方程，消去y得到含有参数a的一元二次方程；然后根据直线与曲线相交于不同的两点，建立关于判别式的不等式，并将其转化为关于离心率e的不等式，即可解题．在求双曲线的离心率问题时，要注意隐含条件：双曲线离心率的范围为（1，+∞）．

二、利用几何图形的性质求解

利用几何性质求解圆锥曲线离心率的范围问题，关键要根据圆锥曲线的定义以及几何图形的性质建立关于a、c的不等式．常用的幾何图形性质有：①三角形的两边之差小于第三边；②三角形的两边之和大于第三边；③圆的切线到圆心的距离最短；④三角形的内角的范围为（0，180。）；⑤双曲线无限趋近于渐近线．

用a表示椭圆方程中的参数a和c，借助椭圆的定义和离心率公式，即可将问题转化为三角函数最值问题，利用正弦函数的有界性求得最值，就能顺利求得问题的答案．

可见，求解圆锥曲线离心率的取值范围问题，可以从方程、几何图形、三角函数人手，利用一元二次方程的判别式、几何图形的性质、三角函数的有界性建立与圆锥曲线离心率e，或a、c有关的不等式，即可顺利求得问题的答案．

（作者单位：江苏省淮安市洪泽湖高级中学）