以“型”促学洞察本质毓养素养

马晓光

［摘 要］广义的模型，不仅包括各种数学符号、关系式、图式等，还包括借助一些“形”与“型”直观地学习数学、表征数学、表达数学。通过对如何以“型”促学、如何引导学生洞察数学本质的一些思考和探索，简要分析“型”在“数与代数”“图形与几何”以及“统计与概率”领域中应用的必要性和价值，并提供相应的操作范例，旨在有效达成新课程理念倡导的目标——全面发展和提升学生的核心素养。

［关键词］模型思想；数学本质；直观；本质；素养

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2022）33-0001-03

一、背景分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》确立了以核心素养为导向的数学教育目标，其核心素养具体表述为“三会”，即会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界。

正所谓“万物皆数”，学生的日常生活、所处的社会以及大自然中处处都有数学现象。但是，数学现象不等于数学，数学是对数学现象的一般化的抽象，用数学特有的语言表达和揭示万物万象背后共同的、一般的、规律的、真理性的东西，即数学的本质。把数学现象转变成数学语言，离不开模型思想。模型思想是数学的基本思想之一。帮助学生建立模型观念，并最终形成模型思想，这是数学核心素养主要内容之一。

广义的模型，不仅包括各种数学符号、关系式、图式等，还包括借助一些“形”与“型”直观地学习数学、表征数学、表达数学。它是连接数学和现实的桥梁，且模型思想可以迁移运用到其他知识和其他学科的学习当中，实现学科联动，使学习者建立更系统、完整、深刻的认知结构。

正是基于以上背景，我们对“型”在各数学领域中应用的必要性和操作范式展开了探索与研究。现在，就把我们用“型”促学的思与行简述如下。

二、“型”在“数与代数”领域的应用

1.“型”在“数与代数”领域应用的价值简析

将数和“型”结合，能够更直观地理解各种数、代数和相应运算的概念与规则等。例如，一年级借助分小棒、计数器等形式，让学生更容易理解加减法的算理，明晰加减法的本质就是计数单位的累与分，即数数。又如，初中学习多项式乘法时，可以先借助下面的“型”（见图1）理解（30+2）×（10+2）计算的本质（即算理），然后把“型”中的数依次改为（a+b）×（c+d），最后把“型”和其中的数都换成同样的（a+b）×（a+b）。这样，即使不教完全平方公式，学生也能自懂、自会。

数和“型”的结合，有利于直观、高效地理解数、代数及其运算，是“数与代数”领域内容学习、深化理解、揭示数学本质不可或缺的重要手段。

2.“型”在“数与代数”领域应用的教学范式——求商的近似值

求商的近似值，教学重点之一是利用“四舍五入”法保留题目要求的小数位数，或者根据“四舍五入”的结果，找出原来最大或最小的数是多少；教学重点之二是让学生在掌握方法的基础上，在不同的生活背景下体验精确度不同的情况，并体会求商的近似值的必要性。

活动设计A：体验精确度不同

2.015÷4.8（保留一位小數）

1.55÷3.9（精确到百分位）

师：观察这两道算式的积，你们发现了什么？

生1：计算结果是0.4和0.40，大小一样，保留的小数位数不一样。

师：你们能写出几个近似值为0.4的三位小数吗？请试着写一写。（教师出示ppt内容，并与学生的书写情况进行对比）

师：（出示以下三组数据）比较这三组数据，保留一位小数都约等于0.4，但如果保留两位小数的话，第一组数据约等于0.39，第二组数据约等于0.40，第三组数据约等于0.40。你们从中发现了什么？

（1）0.390、0.391、0.392、0.393、0.394

（2）0.395、0.396、0.397、0.398、0.399

（3）0.401、0.402、0.403、0.404、0.405

生2：保留的位数越多，近似值与准确值的差距越小。

……

上述近似值为0.40的三位小数是在0.395～0.404之间，近似值为0.4的三位小数是在0.390～0.404之间，所以0.4和0.40的精确度不同。这里，引导学生深刻感知0.4和0.40虽然大小一样，但是精确度（计数单位）是不一样的，使学生对精确度这个抽象的概念有了更好的理解。

活动设计B：引入数轴，体会近似值的本质

仅仅根据数据的展示比较，学生理解起来困难，而借助数轴（见图2）可以让学生直观地感受0.4与0.40的精确度不同，明白0.40的精确度更高。

引入数轴，能够让学生更直观、更深入地理解所学的概念。

活动设计C：基于实际问题，明白求近似数的必要性

解决实际问题：一袋零食，19.4元，12个人吃。如果AA制，每个人应出多少钱？

生1：如果用现金支付，因为现在没有了分币，就要保留到一位小数（精确到角）比较合适；如果用手机的“微信支付”则可以付到分，这样更公平、准确。

……

通过对比，可以看出在应用时需要具体问题具体分析，而不能完全根据“四舍五入”法得出近似数。接下来，引入实际生活中常常遇到的“进一问题”和“去尾问题”，让学生在进一步比较中深化对近似值的理解，明白要选择合适的方法解决问题。

三、“型”在“图形与几何”领域的应用

1.“型”在“图形与几何”领域应用的价值简析

“型”在“图形与几何”领域中应用是最为广泛的。在“图形与几何”教学中，除了图形本身的形式表达，还有图形的测量（长度、周长、面积、表面积、体积等）、图形测量的相关计算（含公式的发现与推导），以及图形特征和图形间关系的表达，都需要用图形的另外一种“型”来表达。

比如，初中的数学学习，可利用“全景式数学体验馆”特配的这个看得见、摸得着的“型”（见图3），去研究、理解、记忆勾股定理，理解其直角三角形中三边之间特有的数量关系及其本质。

2.“型”在“图形与几何”领域的应用教学范式——长方形的认识

全景式数学教育认为：认识图形时，理解与掌握图形的特征很重要，但是比这更重要的是帮助学生建立图形特征的一般性探究模型，即可以从哪些方面进行图形特征的研究。为此，我们帮助学生建立图形特征的一般性探究模式，以提升学生迁移类推、自主学习的素养。

活动设计A：找出下图（见图4）中所有的长方形

先找出构成长方形的元素——边和角，再通过分类、分项目的研究，构建出这样一个图形特征的一般模型（见图5）。

活动设计B：继续设疑，深化认识特征

这个环节，旨在让学生认识长方形的特征。在建立了图形特征的一般性探究模型后，引导学生利用这个一般性探究模型去研究正方形的特征，进一步巩固模型，加深对模型的理解，提升学生的模型应用能力。

活动设计C：完善与补充图形特征的一般性探究模型

（学习长方形和正方形后，让学生比較长方形、正方形的边和角的区别与联系）

生1：从角看，长方形有4个直角，而正方形除了4个直角，还需要邻边相等。

生2：从边看，长方形是对边相等，正方形是4条边都相等。

师：（出示图6）如果在图中填入正方形和长方形，应该怎么填？

生3：正方形满足了长方形四个角都是直角的定义，所以正方形也是长方形。

生4：要符合正方形的条件多，范围小，所以在小圈里填正方形，在大圈里填长方形。

师：同学们的总结非常棒！在这节课上，自己就探究出了“正方形是特殊的长方形”这一知识点。在我们学习了更多的四边形后，如平行四边形、长方形、正方形、梯形等，它们之间的关系也能用维恩图来表示。所以，学习一定要注意探究方法的迁移运用，利用原有的知识进行拓展延伸和再创造，这样才能够在学习中发现更多的新知。

最后，教师引导学生按照图形特征的一般性探究模型研究两个或几个相关图形，并把这些图形进行对比，发现它们之间的联系和区别。 这样就完善了图形特征探究的一般过程，构建了更完善、更丰富、功能更全的一般性探究模型。

这个教学范式，展示了“型”在图形特征学习中的一般学习路径。

四、“型”在“统计与概率”领域的应用

1.“型”在“统计与概率”领域应用的价值简析

在义务教育阶段学习的统计内容，统计结果的表达、分析和刻画自然是离不开“型”的。比如，单、复式条形统计图，单、复式折线统计图，单、复式扇形统计图。条形统计图，通过“型”一目了然，知道表达数量的多少；折线统计图，更直观地刻画了统计对象的发展变化情况；扇形统计图，则形象地反映了各部分和整体之间的关系，以及占整体的比重。“型”不仅能让数据更直观，还有利于发现现象背后的本质和规律。

2.“型”在“统计与概率”领域的应用教学范式——认识平均数

首先，引导学生对以前坐公交车的“1.2米免票线”展开讨论，使学生认识到这里的“1.2米”不是指某个人的身高，而是指全国儿童身高的平均数，并对求平均数的方法、极端数据的过程进行回顾和再认识。

其次，出示一些儿童的身高（见图7）。

师：凭借这些儿童的身高，是不是可以判定原来的“1.2米免票线”不合理？（引导学生调查更多的数据进行判断，继而引出教材上没有的散点图）

再次，让学生根据散点图继续辨析探究“1.2米免票线”的合理性。

生1：我认为这是合理的，因为大部分的点都在1.2米以下，这说明男童的平均身高和女童的平均身高都在1.2米以下。

生2：我也认为“1.2米免票线”满足了大部分儿童的需求，它是合理的。

生3：那2027年儿童的免票身高应是多少呢？（根据历年的调查显示，每过10年，儿童的平均身高会长1～2厘米）

师：（揭题）平均数之所以在生活中有着广泛的应用，正是因为它的代表性。除了代表性，平均数有时还像一个顽皮的孩子，喜欢误导和迷惑人。接下去，我们继续来研究平均数。

……

这里通过引入散点图，让学生以最容易看见、看懂的方式，达成对所学知识的深度理解。

综上所述，数学各领域内容都和“型”相辅相成，可以以“型”为“眼”、为工具、为支撑，让学生看见、思考和表达数学现象背后的“真相”。这样不仅有利于学生思考与探究，而且有利于学生对数学知识、技能的掌握，更有利于学生对数学思想方法、数学经验的感悟，使学生建立数学理性的精神，有效达成新课程理念倡导的目标——全面发展和提升学生的核心素养。

（责编 杜 华）