也谈推理意识的培育

屈佳芬

摘要：推理能力的发展是一个循序渐进、螺旋上升的过程。小学阶段，应聚焦学生推理意识的培育。对此，教师可有意识地创设问题情境，引发学生的合理猜想，激起学生的推理兴趣；引领学生充分经历探究，丰厚推理过程；重视数学说理训练，帮助学生外显推理的思维过程，养成清晰、有条理地表达、推理的习惯；经常性地带领学生反思感悟，以完善推理经验。

关键词：小学数学;推理意识；推理能力

本文系江苏省无锡市2021年度基础教育前瞻性教学改革实验项目“促进学科关键能力发展的深度教学探索”的阶段性研究成果。推理能力是人类探究世界不可或缺的重要能力，而数学以其学科特点决定了其培养推理能力的重要地位。《义务教育数学课程标准（2022年版）》对推理能力的培养提出了阶梯式要求——在小学阶段注重推理意识的培育，在初中阶段发展至推理能力的培养。中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：7。可见，推理能力的发展是一个循序渐进、螺旋上升的过程。在小学阶段，聚焦推理意识的培育，既尊重了儿童思维发展的特点，又体现出推理能力形成的发展性特征。就推理意识的培育，分享以下几点思考。

一、引发合理猜想，激起推理兴趣

猜想是根据已有知识储备和认知经验，运用非逻辑（演绎）手段得到一种假设。数学推理一般要经历猜想、验证（证明）等过程，可见，猜想是一种推理，也是进一步推理的前提。小学数学教学中，教师要努力把教学过程变成知识“再创造”的过程。着眼于推理意识的培育，教师可创设问题情境，让学生不断感悟“猜想+验证（证明）”这样一种推理的思维方法，引发学生产生合理猜想，同时积极鼓励学生验证自己的猜想，激起推理兴趣。

例如，教学“分数的基本性质”时，教师创设了这样的问题情境：“前面我们学过了分数，现在一起来看这四个分数：12、24、34、48。你能通过画图找出相等的分数吗？”教师通过巡视，发现并展示几种画图方法。学生有的用正方形图表示，有的用圆形图表示，有的用线段图表示。大多数学生都能看图找到一组相等的分数：12=24=48。教師追问：明明分子、分母都不一样，这三个分数怎么会相等呢？你能结合画的图来说明一下吗？学生很快回答：在图中，12中的一份、24中的两份以及48中的四份是一样大的，所以这三个分数是相等的。教师进一步提问：刚才我们通过画图找到了一组相等的分数，这样相等的分数还有吗？你能再找出一组吗？学生很快又找出了一组。此时，教师再次追问：你们写的这些分数真的相等吗？你们能大胆地提出一个猜想吗？不一会儿，学生总结：分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数，分数的大小不变。教师在给予学生充分肯定的基础上，反问：这仅是你们的猜想，数学结论不是通过一两个例子就能得到的，接下来，你们能想办法证明你们的猜想是否正确吗？此时，学生的情绪高涨，进一步推理的兴趣非常强烈。

适当的猜想为有效推理提供了可能。这里，教师通过分数大小比较的问题情境，将学生引上了寻找相等分数的探索道路。学生在寻找相等分数的过程中，朦朦胧胧地感知到：可以通过分子、分母的变化找到相等的分数。这是一个合情合理的猜想，为后面进一步推理提供了良好的先机。

二、引领充分探究，丰厚推理过程

验证（证明）是推理过程中的关键环节。只有经历充分的验证（证明），推理的结果才有生命力。推理意识也要在充分的验证（证明）过程中逐渐形成。这个过程不是简单意义上的“懂”和“会”，而突出体现一个“悟”。这个“悟”需要在经历观察、实验、证明等过程中实现。因此，当学生对命题结论有了初步的猜想后，引导学生深入推理论证尤为重要。教学中，教师应带领学生充分经历探究过程，丰厚推理过程，丰富推理经验，丰满推理意识。

例如，探究长方形的面积公式时，通过摆小正方形得出“长方形的面积等于长乘宽”的猜想后，教师引领学生进行多层次的推理，不断感悟推导出长方形面积公式的过程。推理过程一：摆满与不摆满验证。教师出示长6厘米、宽4厘米的长方形，让学生用摆小正方形的方法求出面积。此时，学生会出现两种摆法：第一种是摆满24个小正方形，第二种是沿着长和宽各摆满一排。通过两种验证方法的对比，学生的推理实现了第一次跨越，对公式的本质有了初步的感悟。推理过程二：不摆满验证。教师出示长10厘米、宽7厘米的长方形，让学生不摆满小正方形，求出它的面积。学生会自主选择沿着长摆一排，沿着宽摆一排。此时，推理更进一步。推理过程三：说理论证。教师出示长50厘米、宽30厘米的长方形，让学生不动手操作（动手操作也比较麻烦）摆正方形，说出为什么它的面积是1500平方厘米。学生在刚才两个层次的基础上，都能说出沿着长摆50个，沿着宽摆30个，也就是一排摆50个，摆30排。长方形面积公式的推理顺利完成，且有理有据。

长方形的面积公式相对比较简单，很多教师在教学中会忽略推理验证（证明）环节，简单给出公式。其实，每一个公式、结论的获得过程都是学生感悟推理的过程。在上述三个层次的推理中，学生经历了从具体操作得出小正方形个数到用乘法意义说理得出公式本质的过程，充分体验了操作、归纳、说理等推理的一般步骤。丰厚的推理过程自然让学生的感悟更加深刻。

三、重视数学说理，外显推理思维

数学说理是用数学语言表达数学思考的过程，它是思维外显的主要方式之一。小学生的推理思维活动，是一种内部语言加工，往往比较模糊、跳跃，清晰度、条理性不够，具有内隐性、自悟性等特征。教师经常性地开展数学说理训练，帮助学生养成清晰、有条理地表达和推理的习惯，有利于学生推理意识的培育。教师可通过设置一些问题串，帮助学生清晰、有条理地说理，外显推理的思维过程。

例如，推导平行四边形的面积公式时，教师设计了以下四个问题：（1）通过剪、移、拼，把平行四边形转化成了什么图形？（2）转化后，图形的面积有没有发生改变？（3）转化后，长方形的长相当于平行四边形的什么？宽相当于平行四边形的什么？（4）能否根据长方形的面积推导出平行四边形的面积？学生在问题串的引领下，能清晰、有条理地说出：把平行四边形转化成了长方形；转化后，长方形的面积等于平行四边形的面积；长方形的长相当于平行四边形的底，长方形的宽相当于平行四边形的高；因为长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底乘高。

数学说理训练，不仅能再现推理思维的结果，也能实现思维加工。说理时，学生的思维需要经历从模糊到清晰、从零碎到连续的过程，有助于提高推理过程的清晰度、条理性，保障推理结果的正确性。当然，数学说理有多种方式，在很难用语言文字来表达的时候，我们可以鼓励学生（尤其是低年级学生）用图形或者符号来表达，同样能反映出学生的推理思维。

四、注重反思感悟，完善推理经验

华中师范大学郭元祥教授指出：学生的学习过程应该是一个“U”型过程，即知识学习需要经过“还原与下沉、体验与探究、反思与上浮”的过程。这里，强调了反思的重要性。当学生完成了一次推理后，教师要有意识地带领学生回顾、反思推理过程中习得了哪些推理方法，有哪些成败体验，从而逐步完善推理经验。

例如，小学阶段运算律的得出大多采用合情推理（不完全归纳）的方法，教师应及时带领学生回顾推理的一般流程。在加法交换律和结合律的推理过程结束后，教师可以这样带领学生反思：今天我们发现了两条规律，回顾刚才的探究过程，我们经历了哪些环节？在学生点滴回答的基础上，教师帮助学生逐步完善并提炼出“提出猜想—举例验证—寻找反例—总结结论”这样几个关键环节，从而为后面探究其他运算律积累初步经验。

再如，整数、小数、分数的计算法则有着本质的联系，是感悟类比推理的极好载体。教学小数计算法则后，教师可以这样带领学生反思：之前学习的整数加减法计算法则是末位对齐，为什么小数加减法计算法则是小数点对齐，而不是末位对齐？这促进学生经过思考发现：无论是小数点对齐还是末位对齐，都是为了把相同数位对齐。通过反思，学生既巩固了新知，又与之前的经验进行了类比沟通，为后面推理出分数的加减法则奠定了良好的基础。