化错，从理解到实践

摘要：化错教育，化的是差错，育的是人。角是一种比较特殊的图形。角的不封闭性，使得学生在学习时常常遇到一些似是而非的问题。《角的认识》的教学，要让化错的过程充分、舒展，帮助学生形成容错的品质、融错的能力和初步的荣错观，尝试“一课三案”，即在找错中“纠错”，在找对中“融错”，在对错之外“化错育人”。

关键词：小学数学；化错教育；《角的认识》；同课异构

一、《角的认识》教学之思：诠释对化错的理解

跟随师父华应龙老师研究化错教育二十多年，经历了起、承、转、合，尝试将自己对化错的理解进行凝练、浓缩，概括为四段话：（1）化错教育的“化”，是指挖掘不同学生思路中合理、有价值的因素，打通它们之间的联系。（2）化错教育的“错”，并不是错误，而是学生认知发展过程中的“暂时性正确”，是学生原生态学习的必然“弯路”，是学生思维不断完善的“垫脚石”，是学生学习的丰富养分，是课堂教学的宝贵资源。（3）化错与纠错、融错关联密切，区别明显。如果说纠错是“换个路径，从头再来”，融错就是“调整路径，接着想，继续走”，化错则是在融错基础上“跳出对错，扬长避短”。纠错走的是直线，融错走的是曲线。化错不仅走直线，也走曲线；甚至打通所有的直线和曲线，走的是一个面。化错聚力于寻求各种路径的合理因素，以及这些合理因素之间的关联和印证。（4）化错教育，化的是差错，育的是人。

《角的认识》一课教学，从教学内容的选择到教学方法的预设，再到教学目标的定位，一步步都是在诠释对化错的理解。

（一）教学内容的选择：从学情调查中提炼典型问题

角是一种比较特殊的图形。角的不封闭性，使得学生在学习时常常遇到一些似是而非的问题。教学前，我们通过问卷的方式调查了全校四年级学生关于角的疑问和困惑，从中提炼了三个典型问题：

问题一：指一指，角在哪儿？

日常课堂中，让学生指角时，大多数会指着角的顶端，部分会沿着边描出角的模样，少数能从角的顶点出发引出两条射线。我们很少看到学生借助手勢或笔等工具“从角的始边出发，旋转到终边”——这样动态地画角，有助于在后续学习中深度理解量角器量角的原理并掌握量角器量角的方法。

问题二：放大镜能够将角放大吗？

对这个问题，不少学生虽然知道答案，但时常会犯糊涂。究其原因，学生对角的本质理解肤浅，头脑中的角一般是“由两条线段组成的图形”（下文简称“线段角”）。这与数学中角的概念并不一致。数学中的角，是一类“线段角”的集合——这类“线段角”有公共顶点，开口方向和大小一样。这类“线段角”的边有长有短，我们用两条射线抽象统括。这样一类“有公共顶点，开口方向和大小一样”的“线段角”，就被抽象成一个由两条射线夹成的“射线角”。用放大镜看这个“射线角”，看到的只是它的“变身”，而不是角的放大。

问题三：“”表示角，还是直线？“”表示角，还是射线？“”表示角吗？

画一条直直的线，如果两端都不画点，画的就是直线;如果在一端画上一个点，就画成了射线；如果在两端都画上一个点，就画成了线段。画线时，“点”表示一种数学意象——线到此为止、不再延长。画线时，画不画点，画一个点还是两个点，表示的意思是不一样的。同理，画角时，“小圆弧”也表示一种意象——角的一条边从一个位置旋转到另一个位置，或两条边张开的大小。画角时，画不画圆弧，表示的意思也会不一样。严格意义上，用“”表示角，欠准确。

以上三个问题及其回答，便是《角的认识》一课的教学内容。

（二）教学方法的预设：独立思考+小组讨论+全班交流，让化错的过程充分、舒展

捷克教育家夸美纽斯在《大教学论》一书中提出，教学要找到一种方法，使教师可以少教，学生可以多学。化错教育就是这样一种“让教师少教，让学生多学”的方法。师生在课堂上，围绕学生的差错，温暖地“容”，智慧地“融”，进而自豪地“荣”。

为了让本节课中化错的过程充分、舒展，课前，我们与学生约定：本节课主要以独立思考、小组讨论、全班交流的形式展开。（1）小组讨论前，每个人独立思考，有自己的想法后起立；小组成员都起立后，轮流发言；发言完毕，组长组织归纳、总结小组意见，并推荐发言人；然后静息，等待全班交流。（2）全班交流时，以小组为单位到讲台前分享;分享时，不是叙述个人的想法，而是代表小组表达集体讨论的结果;其他学生在理答时，要明确表示同意、反对、怀疑、补充等，并具体阐述。

（三）教学目标的定位：形成容错的品质、融错的能力和初步的荣错观

随着课程改革的深入，教学目标从“双基”到“三维”，到“四基、四能”，再到核心素养。教学不仅重视基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验的获得，也重视运用数学知识和方法发现、提出、分析、解决问题能力的培养，更加强调正确价值观、必备品格和关键能力的形成。

基于以上认识，我们将本节课的教学目标确定为：（1）借助不同的“指角”方法，理解角的丰富内涵；（2）通过放大镜不能放大角，感受数学图形高度的概括力；（3）用符号表示角，感受数学符号的抽象性和严密性；（4）在辨析“错中错”“错中对”“对错之外”的过程中，培养批判性思维，形成容错的品质、融错的能力和初步的荣错观。

二、《角的认识》教学之行：“一课三案”，抵达对错之外的“化错育人”

（一）第一种教学方案：在找错中“纠错”

抛出问题一：指一指，角在哪儿？

导入：老师这儿有一把三角尺，你看到角了吗？请你来指一指。

学生指着角的顶端。不少学生认为这样指的是角的顶点。

提示：抓住角的构成要素“顶点和边”指角，可以更清楚、明确地将角表达出来。

抛出问题二：放大镜能够将角放大吗？

大多数学生都知道：放大镜不能放大角。

追问：为什么放大镜不能放大角？

总结：角的大小，是指角两条边张开的大小。放大镜无法改变角两条边张开的大小。所以，用放大镜看角，角的大小不变。

抛出问题三：“”表示角，还是直线？“”表示角，还是射线？“”表示角吗？

指名回答。学生意见不一致。

当有学生表示这些都不是角时，追问：为什么你认为它们不是角？

总结：数字和图形是数学的语言。数学图形中的每一个符号都是对实际意义的抽象表达，有特定的含义。画角时，应该标上角的标记，这样有助于清晰表达“角两条边张开的大小”这层含义。

这一种方案基本按照“提出关键问题、呈现争议观点、暴露思维过程、揭示正确答案”的过程展开。这种“识错、改错”“弃暗投明”的差错处理的方式，被我们称为纠错，可用图1表示。

图1中，OA为学生最初的思维路径，OB是教师预设的思路（标准答案）。课上，学生表达自己的观点OA后，教师一般会通过追问，暴露、放大学生思维过程中存在的问题；在此基础上，揭示正确思路OB；最后，让学生独立、完整地“经历”OB这一过程，加深对标准答案“关门过节”的体验和理解。

（二）第二种教学方案：在找对中“融错”

抛出问题一：指一指，角在哪儿？

引出：三角尺上有三个角，你能将它们指出来吗？

学生指着三角尺三个角的顶端。

追问：还有其他的指角方法吗？说说你们的想法。

有学生指顶点，有学生描边，有学生画射线，等等。

评价：大家用不同的方法表示出了自己对角的独特理解，直观、有创意！掌声鼓励。

抛出问题二：放大镜能够将角放大吗？

部分学生抢答：不能。

追问：放大镜没有放大角，放大的到底是什么？

总结：放大镜放大的是图的大小，但没有改变角的“形”状，角两条边张开的大小始终没有变。

抛出问题三（部分）：“”表示角，还是直线？

有学生说，是平角；有学生说，没有标角的标记，不能算是角。

组织：同学们的观点不一致。这样，我们暂时先将它放一放，看看下面这个图形。“”表示角，还是射线？说说你是怎么想的。

学生意见比较集中，都认为是射线。

再问：现在你认为“”表示什么？为什么？

有学生改口：这是一条直线；这是两条射线。

提问：再看看这个图形，“”表示什么？

总结：有的时候，差错与正确之间并没有明显的界限。差错也叫“差对”：差一点就对了。

提醒：画角时，要标上角的记号，这样有助于表达的完整、清晰，避免不必要的争议。

第二种方案与第一种方案相比，略有变化，主要体现在：学生回答问题后，教师不是直接进行对错判断或给出所谓的标准答案，而是鼓励学生充分表达自己的想法；然后，师生一起耐心、有组织地破解、梳理学生思维过程中的正确因素，补充、完善原先的想法。这种方法被我们称为融错，可用图2表示。

图2中，学生最初的想法OA有问题，但不是全错。教师在学生表达观点后，和他们一道辨析，明确OA中正确的部分OC，再由OC“接着想”，最终到达目的地。路径OCB与标准答案OB相比，虽然走了不少弯路，但是学生自己冥思苦想出来的——OB再好，也是别人的。

有些弯路是学生认识新事物过程中必须走的。时间的洗涤、沉淀，会使得这些弯路渐渐收缩、变直，逐渐靠近最优路径OB，甚至与OB重合。这种经历了“由弯到直”后的OB，包含了学生丰富的、宝贵的、不可或缺的学习体验，特别有价值。

（三）第三种教学方案：在对错之外“化错育人”

抛出问题一：指一指，角在哪儿？

引出：三角尺上有三个角，谁来指一指？

学生指着三角尺三个角的顶端。

追问：大家还有其他的指角方法吗？

聚焦：同学们的指角方法很多，请分析一下大家的指角方法各有什么优点。

总结：同学们有的指出了角的关键要素，有的描出了角的样子，有的把角的边无限延伸的特点表示了出来，还有的动态表示出了角两条边张开的大小这一本质内涵。不同的指角方法，体现了大家对角内涵的丰富认识。学习过程中，我们要学会看到不同甚至对立观点背后的合理之处，对之分析综合，使之为我所用。这一过程有助于学生的认知更全面、更严谨、更辩证。

课件出示（或板书）：求同存异，和而不同。

抛出问题二：放大镜能够将角放大吗？

部分学生认为“不能”，少数学生认为“能”。

追问：其他同学猜一猜，为什么有同学认为放大镜将角放大了呢？

总结：生活中的角和数学中的角不同，生活中我们见到的角是由两条线段组成的图形；数学上的角是由两条射线组成的图形。数学中的一个角是对生活中无数个“开口相同、朝向一致，有公共顶点”的角的抽象，用一个“数学角”（同上文所说的“射线角”）表示了一类“生活角”（同上文所说的“线段角”）。

延伸：數学学习很多时候是在不断地补充、完善、明晰、更替我们已有日常经验中不清晰、不科学的生活概念。数学学习需要我们用开放的心态接受新观点，完善旧想法。

课件出示（或板书）：知错能改，善莫大焉。

抛出问题三（部分）：“”表示角，还是直线？

组织：同学们的观点不是很一致。这样，我们暂时先将它放一放！看看“”这个图形，它表示角，还是射线？

绝大多数学生都认为是射线。

回看：现在你认为“”表示什么？

学生观点不一。

提问：再看看“”这个图形，它表示什么？

总结：指望改变别人，不如努力改变自己。在学习、生活中，我们一方面，要多角度地思考、揣摩他人的可能想法，努力理解他人；另一方面，要尽可能清晰、到位地表达自己的想法，不让他人产生误会。

课件出示（或板书）：行有不得，反求诸己。

第三种方案不再拘泥于某个想法到底“是对，还是错”。一幅画，要找优点，整幅画都会圈满优点；要找缺点，整幅画又将圈满缺点。凡事都有两面，往好处想、用成长型思维看，有助于学生从你的、我的、他的“对”中吸取养分，进而完善、滋养自己的“对”。这就是我们所说的“化错育人”，可用图3表示。

图3中，OB是教师鼓励的标准思路，OA是学生可能存在的、本真的、模糊的想法，其他的线表示不同学生的思路。路径不同、路程不同，但相互之间密切关联。

这样的方案有助于加深学生对角本质的理解，还能通过争议话题的讨论，锻炼学生的表达能力，提高学生的思辨水平，帮助他们在“寻找‘错中对（正确因素）”“剖析‘错中错（导致错误的原因）”“跳出‘对错之外（参与即成长）”的经历中，获得关于角的“对”与“错”的辩证认识，参悟待人、处事的哲理。

参考文献：

［1］ 仲海峰.数学概念教学：淡化末节，把握本质——“角的认识”教学中几个疑难问题的思考感悟［J］.教育研究与评论（小学教育教学），2021（9）.