教学分析构建课堂，环节精设提升素养

潘琪

［摘  要］ “一元二次方程”作为初中代数部分的重要知识内容，教学中需要教师深入分析，探索课堂整体构建，基于教学规划精设教学环节，引导学生完成模型构建、概念生成、知识总结的过程. 教学中教师要以新知传授、能力提升为教学目标，培养学生的核心素养.

［关键词］ 一元二次方程；模型；概念；一般式；核心素养

“一元二次方程”是苏科版九年级上册的重要内容，是一元一次方程的深入推广，有助于学生解决实际问题，同时能为学生勾股定理、相似等知识的学习提供运算工具. 对于一元二次方程的教学，教师需要把握知识的内在逻辑及联系，需要对教学内容进行整编重组，需要合理设计教学环节，引导学生探究与思考，从而达到最好的教学效果，下面展开教学探讨.

教学分析，课堂整体构建

“一元二次方程”的章节内容安排在九年级上册，此时学生已经掌握了一元一次方程、二元一次方程组等知识，感受到了方程作为刻画现实中数量关系的有效模型的价值和作用，同时积累了利用方程求解问题的方法和经验. 教学“一元二次方程”时，教师需要围绕三大重点开展教学引导：一是引导学生探索实际问题中的数量关系、变化规律，从问题中抽象出一元二次方程，使学生感受模型；二是一元二次方程的概念是教学的重点，需要学生通过观察，归纳和总结出一元二次方程的概念；三是对于一元二次方程的形式及特点，需要教师引导学生关注方程的二次项、一次项及常数项.

对于一元二次方程的教学过程，建议教师有效设计教学环节，重视知识的整体设计，以及学生核心素养的培养. 故教学中需要教师把握学情，尊重学生的主体地位，引导学生经历一元二次方程的建模过程、概念的生成过程，深刻理解其一般式的形成过程，同时培养学生的数学建模素养、抽象转化素养，提升学生的数学运算能力、逻辑推理能力等.

教学“一元二次方程”时，建议教师围绕“列”“纳”“究”三个字开展一元二次方程的抽象建模、概念生成、形式归纳过程. “列”，即呈现实际问题，引导学生分析数量关系，开展建模教学；“纳”，即引导学生从式、元、次三方面对方程进行探讨，归纳一元二次方程的概念；“究”，即引导学生关注一元二次方程，总结特征，掌握形式，把握方程的一次项、二次项和常数项.

设计环节，核心素养提升

基于上述教学分析及整体构建，建议教师按照“实例抽象，构建方程→观察辨析，方程定义→方程探究，知识总结”这条主线来开展教学，其中，教学根据实际问题中的数量关系列方程时，渗透建模思想；进行概念教学时，注重提升学生的归纳、概括能力；在方程的提取与转化中提升学生的辨析能力和运算能力. 下面围绕主线具体探究.

1. 构建方程，数学建模

【环节1：情境感悟，提炼关系】

教学中，教师应结合常见的情境问题，让学生关注其中的数量关系，从而列出方程.

例1：一个正方形的边长增加2 cm后，所得的新正方形的周长为28 cm，求原正方形的边长.

例2：一正方形桌面的面积为2 m2，求正方形桌面的边长.

教学引导教师引导学生根据问题设出未知数，列出方程，分析所列方程的特点，引发学生的认知冲突，为后续一元二次方程的探究做铺垫. 对于例1，设原正方形的边长为x cm后可列出方程4（x+2）=28；对于例2，设正方形桌面的边长为x m后，可列出方程x2=2.

【环节2：深入探究，方程构建】

例3：如图1所示，矩形花圃的一边靠墙，另外三边用栅栏围起来. 已知所用栅栏的总长为19 m，花圃的面积为24 m2.

预设问题：（1）若设与墙相邻的一条边的长为x m，怎么表示与墙相对的一条边的长？（2）根据花圃的总面积，如何构建方程？

例4：如圖2所示，长为5 m的梯子斜靠在墙角，已知梯子的底端到墙的距离比梯子的顶端到地面的距离多1 m.

预设问题：（1）设梯子的底端到墙面的距离为x m，怎么表示梯子顶端到地面的距离？（2）如何根据数量关系列方程？

例5：已知某学校图书馆的藏书在两年的时间里，由5万册增加到了9.8万册.

预设问题：（1）设该学校图书馆的年藏书增长百分率为x，则一年后该学校图书馆的藏书为多少万册？（2）两年后该学校图书馆的藏书为多少万册？

教学引导教学时，教师引导学生设未知数，根据条件推导变量，结合数量关系构建方程. 对于例3，可列出方程x（19-2x）=24；对于例4，可列出方程x2+（x-1）2=52；对于例5，可列出方程5（1+x）2=9.8.

2. 形式提取，定义方程

【环节1：观察辨析，发现特征】

在该环节，教师引导学生对比观察上述问题中所列的方程，引导学生发现方程的特征.

问题：观察上述所列方程，即4（x+2）=28，x2=2，x（19-2x）=24，x2+（x-1）2=52，5（1+x）2=9.8，你发现了什么？它们在形式上有什么共同点？

教学引导教学时，特征探索环节可按照“变形→比较→分析”的方式进行分步引导，即教师先让学生变形上述方程，且要求将方程变形为等号右边是0的形式；然后让学生观察方程的未知数，包括未知数的个数、次数及项式；最后引导学生发现后面四个方程含有二次项，有别于之前所学的一元一次方程.

【环节2：归纳总结，概念生成】

该环节需要教师引导学生从式、元、次三个维度对一元二次方程下定义.

预设问题：（1）针对2x2-2x-24=0，思考该方程的一般形式；（2）根据对应的一般形式概括一元二次方程的概念.

教学引导教师引导学生根据方程概括一元二次方程的一般形式，即ax2+bx+c=0（a≠0），然后对一元二次方程进行定义，即等号两边均为整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的方程. 教学中教师可以按照如下方式进行细化：式→等号两边均为整式；元→只含有一个未知数；次→未知数的最高次数是2.

【环节3：辨析方程，深刻理解】

定义完一元二次方程的概念后，教师应引导学生针对一元二次方程的一般式展开辨析，尤其是其中的特征参数a，应从a≠0和a=0两方面进行辨析与思考.

思考问题：针对一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数a，思考为什么要强调a≠0. a是否可以等于0？

教学引导教师引导学生深刻理解一元二次方程的隐含条件，采用“假设→否定”的方式，即假设二次项系数a=0，则方程变为bx+c=0，此时方程不再是一元二次方程，从而把握住一元二次方程与一元一次方程本质的不同.

3. 方程探究，知识总结

该环节需要教师引导学生探究一元二次方程的一般形式，并理解方程的二次项、一次项和常数项，准确识别一次项系数和二次项系数. 教学中教师可以给出具体的方程，引导学生按照“一般式变形→化简降次排序→项式整理”的方式来进行.

例6：已知方程x2+3x=8，2x2=3x，3x2=27，5（1+x）2=7.

设问：按照如下步骤对方程进行整理. 步骤1，化简方程，将其变形为一般式；步骤2，将方程的各项按照未知数降次的顺序排列；步骤3，整理各方程的二次项、一次项和常数项.

教学引导教师让学生将各方程化简为一般式，即化简为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，指导学生明晰一般式中ax2，bx和c分别是方程的二次项、一次项和常数项，其中a是二次项的系数，b是一次项的系数. 在此基础上，教师结合具体方程展开解题分析.

总结探究时，教师要引导学生明晰定义，掌握方程一般式的转化技巧，提升学生的数学语言能力. 而在变形探究中，建议教师结合多类型的方程，帮助学生强化一元二次方程的定义，培养学生的逻辑推理能力.

教学思考，课堂教学建议

1. 问题引领，追问引导推进

课堂教学应是探究式、开放式的，建议教师采用知识探究的方式，围绕教学核心，精设环节，以问题为引导驱动课堂. 故对于一元二次方程的教学，教师应引导学生参与课堂活动，通过设置问题进行师生对话互动，引导学生抽象出数学模型，明晰一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般式，能准确识别出方程的项式及对应的系数. 问题预设则要遵循学生思维发展规律和认知规律，符合知识生成过程，培养学生的逻辑思维能力.

2. 立足教学，核心素养发展

新知的探究教学，兼具两大目标：一是引导学生掌握新知；二是提升学生能力，发展核心素养. 其中后者也是教学的最终目标. 在“一元二次方程”这一章，教师需要立足教学环节，开展核心素养培养，包括数学建模、抽象概括、推理运算等. 故教学中教师需要借助知识，在探究环节渗透数学思想，让学生感知数学思想，提升学生的数学思维. 如指导学生从实例中抽象出数学模型，在定义中培养学生的归纳、总结能力，借助方程的一般式變形来培养学生的数学运算素养.