带有迟滞非线性的气动运动模拟平台自抗扰轨迹跟踪控制

李 丽， 刘 超， 赵 苓

(1.燕山大学 电气工程学院， 河北 秦皇岛 066004； 2.天津大学 精密测量技术与仪器国家重点实验室， 天津 300072)

引言

近些年，气动运动模拟平台在娱乐设施、飞行员培训、汽车驾驶模拟等方面的应用越来越广泛。气动运动模拟平台的重要部件是气动人工肌肉，气动人工肌肉因为它自身的轻便、清洁、维修成本低、高输出自重比等优点，使得其在机械臂[1]、软体机器人[2-3]、康复机器人[4]、仿生机器人[5]等方面广泛应用。但是，气动人工肌肉由于其模型非线性和迟滞非线性的存在，使得在控制的过程中存在很大困难。模型非线性主要由气动人工肌肉末端的形状不规则，气动人工肌肉当中的摩擦力等等带来的[6]。迟滞非线性指的是在同样的内部压强下，气动人工肌肉的长度和其产生的拉力的关系在肌肉伸长和收缩时是不同的。也就是说，气动人工肌肉在伸长和收缩时，系统模型存在差异。

针对气动人工肌肉的模型非线性问题，主要控制方法包括：自适应控制[7]、滑模控制[8]、模糊控制[9]、自抗扰控制[10]等等。其中自抗扰控制中的扩张状态观测器可以将系统当中的不确定性相关项估计出来进行补偿。值得一提的是其在补偿的过程中不需要准确的模型参数信息。在文献[11]中，跟踪微分器、扩张状态观测器、非线性状态误差反馈组成的自抗扰控制器解决了定负载下气动人工肌肉驱动关节跟踪控制问题。在文献[12]中，设计了跟踪微分器、自适应扩张状态观测器、反步控制器组成的控制系统解决了气动人工肌肉设备角度跟踪控制问题。自抗扰控制方法由于其结构简单，鲁棒性强，不依赖准确的模型的特点在气动人工肌肉控制中应用广泛。针对迟滞非线性，在文献[13]中，设计了一种PID控制器应用于迟滞系统。在文献[14]中，针对执行器迟滞非线性提出了一种自适应控制方法。在文献[15]中，对于压电定位平台的迟滞非线性提出了自适应逆控制方法。但是，上述针对迟滞非线性特性的解决方法参数复杂，难于调节。综上所述，在自抗扰控制方法中，针对气动运动模拟器解决迟滞非线性问题是十分有价值的研究方向。

对于气动运动模拟平台，首先提出了一种针对该平台迟滞非线性的切换扩张状态观测器并且证明了其稳定条件，该观测器可以根据气动人工肌肉伸长和收缩不同的模型采用不同增益，提高了估计补偿效果，从而减少轨迹跟踪误差；然后设计了状态误差反馈控制器形成闭环控制，得到了闭环控制系统全局有界稳定的充分条件；最后通过实验平台证实了所设计的控制算法实际当中可以有效地减小跟踪误差。

1 气动运动模拟平台介绍和系统的建模

1.1 气动运动模拟平台

气动运动模拟平台的组成如图1所示。该平台主要由空压机，工控机，控制柜和运动模拟平台组成。工控机用于接收气动运动模拟平台的两个角度编码器的角度信号，发送控制电压到控制柜。控制柜根据控制电压开关四个压力比例阀。空压机产生压缩气体输送给运动模拟平台。气动运动模拟平台用于实现二自由度轨迹跟踪。

图1 气动运动模拟平台组成图

气动运动模拟平台的运行过程如图2所示。步骤1为未运行状态，此时的控制电压均为0，4根气动人工肌肉均未发生形变。步骤2为准备状态，此时X轴和Y轴方向上的控制电压为预加载电压up，平台上部分由底部气缸顶起，4根气动人工肌肉因为进入压缩气体而收缩，在步骤2中，气动运动模拟平台的上部分由四根气动人工肌肉拉平。步骤3为运动模拟状态，工控机根据期望轨迹得到X轴和Y轴方向的控制电压，4根气动人工肌肉根据控制电压的不同，其内部的气压发生变化，使得平台根据期望轨迹进行运动模拟。

图2 气动运动模拟平台运动过程

步骤4为结束状态，平台的上部分回到步骤1的位置，整个运动模拟过程结束。

气动运动模拟平台的电气原理图如图3所示。其中，θx(t)为气动运动模拟平台X轴方向上的偏转角度，θy(t)为平台Y轴方向的偏转角度，u1(t)，u2(t)，u3(t)和u4(t)分别为气动人工肌肉1,2,3和4的控制电压，ku为电压比例系数。

图3 气动运动模拟平台电气原理图

根据实验测得气动人工肌肉拉力和气动人工肌肉收缩长度关系可以视为一个非线性迟滞环。这种迟滞主要来源于气动人工肌肉的弹性形变和摩擦力等[16]。针对气动人工肌肉迟滞非线性提出的控制方法的控制结构图如图4所示。

图4 气动运动模拟平台控制结构图

1.2 系统模型

将气动人工肌肉中的拉力分为迟滞相关的拉力和迟滞无关的力，根据[17]， 气动人工肌肉的拉力组成如下所示：

(1)

式中，F1(t)，F2(t)，F3(t)和F4(t)分别为气动人工肌肉1，2，3和4的拉力总和。Fs1(t)，Fs2(t)，Fy1(t)和Fy2(t)分别为气动人工肌肉1，2，3和4的迟滞无关拉力。Fh1(t)，Fh2(t)，Fh3(t)和Fh4(t)分别为气动人工肌肉1，2，3和4的迟滞相关拉力。根据(1)得到气动运动模拟平台的动态方程如下：

(2)

式中，Jx和Jy分别为X轴和Y轴方向的惯性相关项，Jx和by分别为X轴和Y轴方向的阻尼因子，r为气动运动模拟平台上平面半径，ωx(t)和ωy(t)分别为X轴和Y轴方向的外界扰动。

令x1(t)=θx(t)，x3(t)=θy(t)。根据式子(2)得到二阶非线性动态系统如(3)所示。式中，a1，a2，a3，a4，b1和b2为系统参数，y1(t)和y2(t)为系统输出，ω1(t)和ω2(t)为模型非线性项，ξ1(t)和ξ2(t)为迟滞非线性项。

(3)

(4)

2 主要结果

2.1 跟踪微分器

采用跟踪微分器1得到X轴方向上期望轨迹yd1(t)的估计值v1(t)和导数估计值v2(t)，采用跟踪微分器2得到Y轴方向上期望轨迹yd2(t)的估计值v3(t)和导数估计值v4(t)。设计跟踪微分器1和2如下：

(5)

(6)

式中，r1，r2，h1和h2为可调参数。fhan(v1(t)-yd1(t),v2(t),r1,h1)如下所示：

(7)

2.2 切换扩张状态观测器

针对气动运动模拟平台的迟滞非线性和模型非线性，设计了切换扩张状态观测器，在气动人工肌肉伸长和缩短时改变扩张状态观测器增益来提高观测器估计和补偿的效果。针对气动人工肌肉1，设计切换扩张状态观测器1如下：

(8)

针对气动人工肌肉2，设计切换扩张状态观测器2如下：

(9)

针对气动人工肌肉3，设计切换扩张状态观测器3如下：

(10)

其中，z31(t)为y2(t)的估计值，z32(t)为y2(t)的导数估计值，z33(t)为气动人工肌肉3的模型非线性项和迟滞非线性项的估计值，β5，β6，β7和β8为增益。

针对气动人工肌肉4，设计切换扩张状态观测器4如下：

(11)

其中，z41(t)为y2(t)的估计值，z42(t)为y2(t)的导数估计值，z43(t)为气动人工肌肉4的模型非线性项和迟滞非线性项的估计值。

根据式(4)和式(8)，当σ1(t)=1，σ2(t)=0时，得到切换扩张状态观测器1的误差系统如下所示：

(12)

其中，

(13)

进一步将式(12)整理为：

(14)

可以通过调整β1，β2和β3使得A为赫尔维兹矩阵，则式(14)的解为：

(15)

在提出主要结论前，给出如下引理：

引理1[5]：对于参数φ<0，如下等式成立：

(16)

(17)

证明：

整理得：

(18)

进而得到：

(19)

根据引理2，

(20)

根据引理1，

(21)

整理得：

(22)

证明完毕。

2.3 状态误差反馈控制器

针对气动运动模拟平台二自由度轨迹跟踪所设计的状态误差反馈控制器如下所示：

气动人工肌肉1, 2, 3和4的控制电压分别为：

(23)

(24)

(25)

(26)

其中，u01(t)=k1e1(t)+k2e2(t)，k1和k2为可调增益，u02(t)=k3e3(t)+k4e4(t)，k3和k4为可调增益。e1(t)，e2(t)，e3(t)和e4(t)的表示如下：

(27)

令跟踪微分器输出v1(t)和v3(t)与气动运动模拟平台实际输出x1(t)和x3(t)之间的误差为s1(t)和s3(t)，s1(t)的导数为s2(t)，s3(t)的导数为s4(t)，即：

(28)

根据式(4)和式(28)可得：

(29)

结合式(27)和式(28)可以得到：

(30)

其中，e31(t)=z31(t)-x3(t)，e32(t)=z32(t)-x4(t)。根据式(4)和式(29)可得：

-e12(t))+e13(t)

(31)

定理2：对于二阶非线性动态系统(4)，控制器(8),(9),(10)和(11)存在增益k1，k2，k3，k4和b0，当时间趋于无穷时，使得误差s1(t)，s2(t)，s3(t)和s4(t)有界。

证明：

设计李雅普诺夫函数如下：

(32)

=(s1(t)-e11(t))(s2(t)-e12(t))+(s2(t)-

e12(t))(v21(t)+β2e11(t)-k1(s1(t)-

e11(t))-k2(s2(t)-e12(t)))

=-k2(s2(t)-e12(t))2+(s2(t)-e12(t))

((1-k1)s1(t)-(1-k1)e11(t)+v21(t)

+β2e11(t)+2e13(t))

(33)

(34)

证明完毕。

3 气动运动模拟平台实验

为了证明所提出理论的有效性，对图1所示的气动运动模拟平台进行对比实验。设X轴方向的期望轨迹为幅值为10°，频率为0.5 Hz的正弦信号，Y轴方向为幅值为10°，频率为0.5 Hz的余弦信号。跟踪微分器参数r1=r2=30，h1=h2=0.2。切换扩张状态观测器增益β1=β5=100，β2=β6=1000，β3=β7=9.9，β4=β8=10.1。状态反馈控制器增益b0=1500，k1=k3=5，k2=k4=8。

为了进一步证明所提控制系统在减小跟踪误差上的有效性，采用线性扩张状态观测器与切换扩张状态观测器进行对比实验。对比实验的轨迹跟踪效果如图5和图6所示，y1(t)和y2(t)为带有切换扩张状态观测器控制系统输出。y3(t)和y4(t)为带有线性扩张状态观测器控制系统输出。从跟踪效果可以看出，切换扩张状态观测器的跟踪误差比线性扩张状态观测器的跟踪误差小。经过计算得出，采用切换扩张状态观测器在X轴方向和Y轴方向上的跟踪误差10 s内的平均值分别为0.368°和0.799°。采用线性扩张状态观测器的控制系统在X轴和Y轴方向上的跟踪误差10 s内的平均值分别为0.500°和0.932°。综合而言，切换扩张状态观测器比线性扩张状态观测器减少14.3%～26.4%的跟踪误差。

图5 对比实验X轴的轨迹跟踪效果

图6 对比实验Y轴的轨迹跟踪效果

4 结论

针对存在迟滞非线性的气动运动模拟平台，首先进行了气动运动模拟平台模型的建立，进而设计了切换扩张状态观测器，并且设计了状态误差反馈控制器，得到了控制系统稳定的充分条件。通过实验对切换扩张状态观测器的实际效果得到了验证，对比实验结果表明相对线性扩张状态观测器，所设计的切换扩张状态观测器的控制系统轨迹跟踪误差减少了14.3%～26.4%。