数学探究活动，让学习真正发生

◎徐华峰

(山东省青岛第十七中学，山东 青岛 266000)

数学以“钢铁般的逻辑”著称，数学学习在帮助学生形成理性思维、科学精神方面具有不可取代的重要作用，在促进学生的智力发展方面也是举足轻重.数学的逻辑之美、思辨之美、灵活的应用、巧妙的解答……令人沉醉.喜爱数学的人无不感叹“数学是世界上最美的诗篇”.

怎样让学生领略数学之美,提升数学素养呢? 裴斯泰洛齐认为,思想应该通过思维活动而产生.赞可夫曾经说过，教学法一旦触及学生的情意领域和精神需要，这种教学法就能发挥高度有效的作用.数学探究活动可以使学生获得快乐感、成就感，使学习真正发生.

一、数学探究活动的特征

相对于其他教学模式，探究性的数学活动具有自身鲜明的特征.具体来讲，数学探究活动的特征主要体现在以下几个方面.

第一，指导性.指导性是使探究活动得以顺利完成的重要前提.尤其是在数学课程中，部分知识具有一定的抽象性，对于学生来说具有一定的难度，所以更加离不开教师的恰当指导.同时，教师在数学课堂中承担着指导者的角色.从实际的教学效果来看，盲目的自由探究并不能使学生获得良好的探究效果，而“填鸭式”的指导同样难以发挥数学探究活动的真正作用.因此，教师需要准确把握学生的认知特点，并根据学生的“最近发展区”对学生进行恰当的引导，这样才可以使学生的探究过程更加有的放矢.

第二，问题性.“数学问题”是数学的心脏，这一教育理念说明在整个数学探究活动中，教师教要以学生对问题的发现、提出、分析、解决为线索，同时，问题情境的创设要能够在一定程度上激发学生的学习积极性.而学习热情作为学生参与学习活动的重要驱动力，会对学生的探究质量产生直接影响.

第三，建构性.开展数学探究活动最主要的目的就是使学生在自身已有知识的基础上，通过教师的适当引导，从而实现新知识结构的建立，即在客观环境因素的相互影响下进行新知识的建构.从认知发展规律来看，学生的知识建构能力往往存在一定的差异，好奇心的强弱也会不同，所以在探究活动的组织过程中，教师也需要尊重学生的差异，这样会更加有利于促进学生知识建构能力的发展.

第四，自主性.探究活动可以视为一种知识建构的过程，这一过程需要充分发挥学生的能动性.基于自主性原则，教师应该调整“灌输式”教学模式，将学习活动的主动权交给学生，以此来使学生自主进行发现问题、提出假设、设计探究、交流合作等活动，并通过这一探究过程拓展学生在探究活动中的参与深度.从长远来看，自主性探究活动有利于巩固学生的主体地位，从而促进学生学习能力的发展.

第五，创新性.在传统的教学模式中，教师是知识的传授者，而学生则是接受者的角色，整个过程都没有太多探究内容的呈现.毋庸置疑，这种按部就班的教学不利于学生创新思维的培养.而探究活动的开展不但可以帮助学生建构基础知识，而且能够使学生在探究活动中进行知识的再创造，从而促进学生思维的发生.同时，问题的解决能体现学生的探究精神，引导学生展示自己独特的思维能力，从而促进学生创新意识与创新能力的发展.需要指出的是，探究活动中的创新性不仅体现在形式上，还体现在内容上.

二、重视概念教学，多角度、多方面探究数学概念本质

逻辑推理是一种思维品质、一种素养，这种思维品质的形成需要借助“推理”这一逻辑形式.逻辑推理有三个关键要素：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.而概念就是逻辑的起点之一，一些命题、定理也是逻辑的起点.一些学生不会进行逻辑推理，很大程度上是因为不理解概念，或者说没有真正理解概念.

提升数学素养，需要重视学生对数学概念的学习，教师在日常教学中也要充分重视概念教学.不重视概念教学会导致学生难以找到逻辑的起点，解题时没有思路.不少学生感觉老师讲解之后很明白，但是看到一道新题还是无从下手.如何进行概念教学呢？

比如“奇函数”的概念教学，教师可从正向、逆向两个角度，通过问题引导学生思考，达到对概念的真正理解.奇函数的概念：一般的，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫奇函数.为了让学生掌握奇函数、偶函数的概念，教师可设置如下7个问题.

问题1：找出奇函数概念的关键词.(使学生正向理解概念)

问题2：f(x)=x3,x∈[-1,2]是奇函数吗？(引导学生理解概念中“任意”一词的含义)

问题3：若f(x)是奇函数，则其定义域需要满足什么条件呢？(让学生在理解的基础上形成自己的推理)

问题5：若f(x)是定义在R上的奇函数，求f(0).(逆向理解奇函数概念)

问题6：若f(x)是奇函数，则f(0)=0一定成立吗？(培养学生思维的严谨性)

问题7：若f(x)=x2,x∈[b-1,b+3]是偶函数，你能求b的值吗？(逆向理解偶函数概念)

其实大多数数学概念的正向使用都是一个判定，逆向使用就是一条性质.简洁是数学的一大特点，概念中的每一个字、每一个词教师都要充分重视，并且帮助学生理解.

三、重视概念教学，揭示概念发生的背景、过程和本质，揭示人们探索真理的过程

比如导数概念的教学，导数是一个非常抽象的概念，教师通过再现数学史上导数的发展历程，并且与现实生活相联系，将抽象概念具体化，设置以下三个环节，可帮助学生理解“导数”这一概念.

1.环节一：实际问题引入，从学生已有的认知出发，引导学生在原有知识基础之上生成新的知识.

首先以一段运动员在奥运会上高台跳水的视频引入，提出问题：运动员在高台跳水的时候，他相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系：h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

问题1:当0≤t≤0.5时，求运动员在这段时间里的平均速度.

计算得知，这段时间的平均速度为0，故思考下面的问题3.

问题3：运动员在这段时间里是静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

让学生体会新知的生成源于实际生产生活的需要.平均速度不能满足人们的需要，人们需要对运动状态进行更精确的研究，故“瞬时速度”向我们走来.

问题4：你能求出运动员起跳2秒后，即t=2时的瞬时速度吗？或者你能估计t=2时的瞬时速度吗？

有学生提出自己的想法，可以让时间间隔很小，比如2≤t≤2.000001，那么在这一段时间内的平均速度可近似表示t=2时的瞬时速度.

“伟大的想法！牛顿当年就是这么想的.”教师对学生的合理想法给予充分的肯定.

2.环节二：介绍牛顿当年提出导数、创建微积分的过程，给出导数的概念.

Δt<0时，在[2+Δt,2]这段时间内，

Δt>0时，在[2，2+Δt]这段时间内，

问题5：观察上面表格，当时间改变量趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？

学生容易发现平均速度都趋近于一个确定的值-13.1，这个定值就是t=2时的瞬时速度.

给出导数的概念，导数就是“瞬时变化率”，它的物理意义是瞬时速度.这样借助瞬时速度来理解导数，能将抽象的导数概念具体化.

3.环节三：介绍莱布尼兹当年提出导数、创建微积分的过程.

国际上公认由牛顿、莱布尼兹共同创建微积分.他俩在同一时期、从不同的角度研究，提出导数的概念.牛顿通过求瞬时速度进行研究，而莱布尼兹通过求切线的斜率，从几何角度进行研究.

问题6：当点Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线趋近于点P(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？

以此引出“曲线在点P处的切线”的概念，并且通过割线的斜率得出曲线在某点处切线的斜率，从导数的几何意义方面给出导数的概念.

四、创设情境，让学生经历“数学化”“再创造”的过程

荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔提出：数学教学方法的核心是“再创造”.他指出教师在数学教学中不是将公式、定理直接灌输给学生，而是为学生创造合适的条件，让学生根据自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识，让学生探索发现或“再创造”，从而完成数学知识的学习.当然，这种再创造不是当时历史的完全再现，而是假设我们的祖先已经具有学生现在所具备的知识，在此基础上进行再创造.

在重新创造数学知识的过程中，弗赖登塔尔强调个性，即让学生根据自己的独特体验，用自己的思维方式进行创造.不同的学生具有不同的“数学现实”，于是他们会达到不同的学习水平.整个数学学习过程都要让学生主动参与，全程进行“再创造”，教师为学生提供广阔的天地，让不同的思维、不同的方法自由发展.只有学生通过自己的思考建立起自己的数学理解力时才能真正懂得数学，学好数学.学习数学需要学生的切身感受、体验、思考的过程.老师要想方设法创设情境，让学生用内心的体验和创造的方法来学习数学，经历“数学化”“再创造”的活动过程.

例如，教师可以创设情境，让学生“发现”并应用同角三角函数基本关系式.

提出问题：前面我们研究了任意角的三角函数的定义，它是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质出发，研究一下同一个角的不同三角函数值之间有怎样的关系吗？

应用同角三角函数基本关系式求值时，教师可通过设置下面的问题情境引导学生逐步探索，寻求解决方法.

问题4：已知tanα=2，α是第三象限角，求sinα,cosα的值.

问题5：已知tanα=2，求sinα,cosα的值.

由特殊到一般，学生通过对特殊问题的研究，归纳、总结出新知.求二次函数在闭区间上的最值，有时区间含有参数，有时二次函数中含有参数，这样都需要分类讨论，有时讨论还比较复杂.那么，如何解决这类问题呢？教师可以通过设置如下问题串，引导学生自主探索、发现规律、逻辑推理.

问题1：求函数y=x2-2x+3的最值.

问题2：求函数y=x2-2x+3，x∈[-1,2]的最值.

问题3：当自变量x在下列范围取值时，分别求函数y=x2-2x+3的最值.

①x∈[-1,0];②x∈[-1,3];③x∈[-1,4]；④x∈[2,4].

思考1：(1)a>0时，当自变量x在某个闭区间内取值时，二次函数y=ax2+bx+c的最小值一定在对称轴时取得吗？

(2)在(1)的条件下，二次函数y的最大值何时取得？

问题4：求函数y=-x2+4x-2，x∈[0,3]的最值.

思考2：当自变量在某个闭区间内取值时，求二次函数y=ax2+bx+c的最值需要考虑哪些方面？

问题5：当x∈[0,a]，讨论函数y=x2-2x+3的最值.

该问题为“定轴动区间”，学生在前面归纳、思考的前提下，可以较好地解决.

问题6：已知函数y=-x2-ax+3，x∈[-3,3]，讨论y的最值.

该问题为“定区间动轴”，换一个角度使学生加深理解.

思考3：求二次函数在闭区间上的最大值、最小值，当区间或者函数含参数的时候，如何进行分类讨论？

五、设置“问题串”，类比研究，引导学生探究

问题是数学的心脏，好的问题胜过透彻的讲解.例如，函数中学生较难以理解的“恒成立问题”与“存在性问题”，一般情况下，可以转化成最大值、最小值问题.教师可通过设置如下四个问题，使学生轻松解决这一问题.

“∃x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)=g(x2)”，等价于“函数f(x)在D1上的值域A与函数g(x)在D2上的值域B的交集非空，即A∩B≠∅”.

“对∀x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)=g(x2)”，等价于“函数f(x)在D1上的值域A是函数g(x)在D2上的值域B的子集，即A⊆B”.

问题3：已知函数f(x)=x2-2x+3，g(x)=log2x+m，对任意的x1，x2∈[1,4]，有f(x1)>g(x2)恒成立，求实数m的取值范围.

“对∀x1，x2∈D，有f(x1)≤g(x2)”，等价于“f(x)max≤g(x)min(这里假设f(x)max，g(x)min存在)”.

“对∀x1∈D1，∃x2∈D2，使f(x1)≥g(x2)”，等价于“f(x)min≥g(x)min(这里假设f(x)min，g(x)min存在)”.

六、结合内容，拓展推广，拓展探究深度

受多种因素的限制，数学教材在描述中存在一定的局限性.为了真正促进学生学习能力的发展，教师不能仅仅依靠教材引导学生学习，而是需要对重点进行深化，并以此为基础组织学生进行更加深层次的探究活动.这样不但可以强化学生对课内知识与技能的理解和掌握，而且有利于锻炼学生的思维，发展学生的探究能力.

以“等差数列前n项和”为例，教师针对公式推导可以进行如下设计.

问题1：数学家高斯在10岁的时候曾经解过这样一个问题：1+2+3+…+100，你们知道怎么解吗？

问题2：如果将问题扩展到1+2+3+…+n呢？

问题3：n是奇数还是偶数会影响探究结果吗？可以避免奇偶的讨论吗？

问题4：是否还有别的方法？

对于刚刚接触数列知识的学生来说，等差数列前n项和与学生认知能力相差较远，而利用比较弱化的问题1与问题2可以构建教学内容与学生最近发展区的联系，从而逐步拓展探究活动的深度.

数学学习是一种活动，这种活动类似于游泳、骑自行车，如果没有亲身体验，只是看书本、听讲解、观察他人的演示，付出再多也难以学会.数学学习需要学生亲自参与、切身感受，在活动中收获学习.

提升学生的数学素养，引导学生用数学的眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界，这是高中数学的重要学习目标.只有当学生通过自己的思考建立起自己的数学理解力时，才能真正懂得数学，学好数学，学习才能真正发生.