高中函数模型及其应用的教学策略研究

◎滕维栋

(靖远县第四中学，甘肃 白银 730600)

在高中数学的具体教学中，函数模型及其应用的内容是重点的教学内容.在对该部分知识进行学习后，学生需具有相应的函数模型构建能力，并通过函数模型的构建实现实际问题的有效解决.新课改下，数学知识的学习通常更强调人的发展与现实生活的有效结合，所以通过数学知识对实际问题进行解决的新型教学模式就是极其必要的，而做好该环节的关键就是让学生学会应用函数模型及相关思想.构建函数模型的主要意义就是把学与用进行有效结合，引导学生通过函数模型的具体运用实现更好的学习，并使学生学会应用数学知识解决实际问题，从而使高中数学的教学质量得到显著提升.

一、函数模型概述

(一)函数模型含义

模型是实物与过程的表示，是人们认识相关事物的框架，其主要是对实物进行仿造与模拟，或是对其相关属性的抽象.对于数学模型而言，其通常是对模型实施拓展，主要指对具体问题实施分析，通过简化、抽象获得数学结构，并通过数学公式、数学符号、数量关系等对实际问题进行简化，从而获得相应的数学规律或者数学关系.而对于函数模型，其主要是通过函数知识对实际生活当中存有的成本最低、利润最高、用料最省、效益最好等问题实施归纳整理，实现目标函数的构建，通过函数的运用实现实际问题的解决.

(二)函数模型在实际问题解决中的作用

首先，有助于问题解决过程的优化.函数通常会涉及较广的范围，甚至在大部分领域中都会应用到函数模型.基于此，在各个领域相关问题的解决上，很多都会通过函数模型对实际解题过程进行优化.虽然许多问题还需就事论事，进行实际分析，但是，函数模型的构建还是有助于实际问题解决过程的优化，使人们顺利获得结果.

其次，有助于深化问题理解度.数学知识通常和生活具有密切的联系，生活当中到处都能体现数学知识的影子，且数学知识的学习也离不开实际生活.对于实际问题而言，我们首先看到的通常是展现在面前的事物，而这对实际问题的理解通常是不够的，这个时候，学生在解题时就会出现卡壳的现象，且解题思路也会出现错误等状况，不仅会影响解题效率，还会影响解题效果，从而对学生学习数学及解决数学题的信心造成不利影响.而经过构建函数模型，在对实际问题进行解决的时候，学生就能轻松地把握数学问题当中的实质，并迅速找到相应的解题思路，然后对函数模型实施探索，对事物彼此之间的联系和规律进行发掘，从而解决问题.这不仅有助于学生有效理解相关数学问题，深化学生对数学题的理解，而且能使学生更好、更快地解决相关问题.

二、高中函数模型及其应用

(一)函数模型的类型

第一，直线模型.直线主要表现为一次函数模型，运用正比例函数求解问题.

第二，指数函数模型.指数函数的自变量逐渐增加，函数值的变化速度也不断增加，这一类的函数模型常常被运用到增长率求解、利率求解等问题中.

第三，对数函数模型.对数函数的自变量逐渐增加，函数值的变化速度却呈现缓慢的特点，这一类的函数模型常常被运用到数学模型求解中.

第四，幂函数模型.幂函数常常被分为奇函数、偶函数，常常表现为二次函数模型，并被应用到面积、利润、产量等问题的求解中.

第五,分段函数模型.分段函数常常由不同的关系式构成，常常被用于路程问题的求解中.

(二)函数模型的建立流程

首先，读懂题意.高中数学的函数模型构建及其应用需要学生进行认真审题，理清数学题目的脉络，尤其是数学题中的特殊术语与名词，学生需明确其具体含义，并加以理解.在清楚理解数学题的相关背景与情况后，学生需不断梳理、深化理解题目含义，并对问题当中各对象的属性与特征实施仔细分析，明确题目中的数量关系.

其次，引入数学对象，构建函数模型.解决实际问题的关键就是引入数学对象，然后构建相应的函数模型进行求解，从而完成关键转化.由此可知，教师在教学中需引导学生准确提取数学题中的关键信息，并对各对象实施数学抽象，通过相应的数学概念、表达式、符号等对数学对象进行刻画与描述，从而构建数学模型.

再次，函数模型的求解.即在构建函数模型的基础上对数学方法及函数性质进行合理应用，并以函数方程的具体解答步骤及方法实施演算与逻辑推理，从而获得相应的计算结果.

最后，回归实际问题，对模型实施还原.数学教师需引导学生对模型及获得的结果实施验证.数学教师需引导学生将获得的结果回归具体的问题解决中，并检验结果与实际是否相符，这是模型还原必须做的检验步骤，能确保学生获得数学答案的准确性，因此，对模型实施验算是极其必要的.

三、高中函数模型及其应用的教学策略

(一)分析教材要素

在开展高中数学函数模型及其应用教学之前，教师应做好充足的准备工作：首先，分析教学内容.函数模型及其应用是新课程标准下必修课程中函数应用方面的内容，是建立在指数函数、对数函数、幂函数模型的基础上，从实际问题中抽象出来的.其目的是促使学生在数学学习中充分利用所学的函数模型对实际生活中遇到的问题进行解决，最终促使学生在学习中对函数模型形成更加深刻的认识和理解，为后续的学习奠定坚实的基础.其次，从数学核心素养的角度来说，函数模型及其应用是数学在生活中具体应用的集中体现，旨在引领学生在学习中能够运用数学的眼光分析问题，运用数学的思维思考问题，运用数学的语言表达问题，最终在实际问题的解决过程中促进学生数学核心素养的有效落实.再次，进行学情分析.新课程改革明确了学生在课堂上的主体地位，要求教师在组织和开展课堂教学时结合学生的主体地位、数学知识掌握情况、思维发展特点、认知规律等科学设计教学方案.在对这一部分知识进行教学时，由于学生在以往的数学学习中已经掌握了运用函数模型解决问题的经验，所以教师可在此基础上设计教学方案.最后，确定本课的教学重难点.教师应基于教学内容和学情分析，将建立数学模型作为本节课教学的重难点.

(二)教学目标的设计

函数知识在高中数学的具体教学中有着重要的地位.函数模型及其应用的相关知识不仅是函数知识当中的重要内容，还是学生学习相关函数知识的难点.对于函数模型及其应用而言，其内容包括：第一，方程的根和函数零点；第二，二分法在方程近似解求取中的应用；第三，函数模型的运用.依据高中新课标的相关要求，对于知识与技能而言，学生通过本节课相关知识的学习需具备运用对数函数、指数函数、幂函数的性质进行实际问题的解决能力.对于过程与方法而言，数学教师可通过具有实际意义的相关数学问题，促进学生解决数学问题的能力及数学知识应用意识的提升.对于价值观与情感、态度而言，数学教师可引导学生对实际问题进行解决，以促使学生学习数学知识的兴趣得到有效提升.

(三)教学系统的设计

设计教学系统时，其通常涉及教学内容处理、教学方法、模型构建的选择与应用等多种因素，数学教师在引导学生通过函数模型对实际问题进行解决时，需引导学生充分了解与掌握函数和方程间的关系，并通过相关教学实例对函数模型构建的过程与方法进行理解.

首先，合理运用信息技术.因为部分数学知识与内容比较烦琐，因此，教师在具体教学时可应用相关信息技术的直观展示能力提升学生的函数模型应用能力.例如，在对“一次函数模型”进行教学时，教师就可充分发挥信息技术的教育价值，利用信息技术为学生展现实际问题的相关内容，引导学生对题目产生直接的印象.同时，信息技术的应用还可促使学生对抽象的函数模型进行更加深刻的理解，使其牢固掌握函数模型的实际应用.

其次，针对模型开展讨论.高中数学的教学方法不只是教师在课堂上运用相关教学方法，还包含了学生所用到的相关学习方法，数学课堂中的教学则是教师的教学方法与学生的学习方法的有效统一.对于教学方法而言，其更注重引导、调节具体教学过程的手段，通常来说，谈话法、讲授法、讨论法、教具演示法等相关教学方法是数学教师在对函数知识进行讲解时较为常用的方法.在高中数学教学中，在明确教学目标之后，数学教师需依据学生特点、教学内容等明确相应的教学方法.例如，对“方程的根和函数零点”开展教学时，教师可将模型构建运用于数学课堂的教学中，通过讨论交流与讲授法有效结合的教学方式，促使学生充分了解与掌握相关数学知识.示范模仿、情境陶冶、先行组织等相关教学策略也是数学教师常用的策略.依据函数模型及其应用的相关知识内容，数学教师需从实际教学情境入手，明确数学课堂的具体教学策略.

最后，创设贴近学生生活的问题情境.长期以来，高中数学教师束缚在应试教学理念中，按照教材上的内容对学生进行知识灌输，如此，不仅致使课堂教学效果不佳，也导致高中数学与实际生活之间出现了严重的断层现象，难以满足新课程改革下的教学要求，制约了高中学生的长远发展.基于此，高中数学教师在优化函数模型的应用教学中，应立足于数学知识与实际生活的内在联系，努力创设出贴近学生生活的问题情境，引导学生在学习中感受到数学知识无处不在，真正提升函数模型的教学质量.

(四)教学成果评价的设计

在高中数学教学中，成果评价主要是对教师的教学成果实施否定或者肯定的判断，然后进行相应修改与完善的教学措施.高中数学的建模素养培养将评价活动和数学设计的过程相结合，不仅可以使教师教学工作的效果得到有效提升，还能加强教师教学设计及研究水平的提高，因此，数学教师在对教学成果进行评价的时候，需具备一定的数学教学理论基础.当数学教师设计的成果评价存有一定差异的时候，教学设计的成果评价也可以分成形成性评价、诊断性评价、总结性评价等各种评价形式.成果评价的内容通常包含了教学目标的设计评价、教学内容的处理评价、教学媒体的选择与应用评价等.同时，在对教学方案进行设计时，教师需注重遵循整体性原则、客观性原则、指导性原则.

四、高中函数模型及其应用的教学实例

在高中数学试题中，与实际生活与生产相联系的应用问题，其设问角度较为独特，解题方法也较为灵活，若学生能对函数模型的相关知识进行恰当应用，在实际解题中就会起到良好的教学效果.

例如，某工厂今年的1，2，3，4月份生产的产品分别是1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件，为了确保生产不过多或者过少，就需对5月份的生产产量进行估测，可采用什么方法？

第一，基于缜密审题的题意挖掘.

通过分析题意，本工厂在4个月份对应着4个月生产的产品件数，且生产的月份与件数之间的对应关系能够构建相关函数模型.

第二，基于数学符号的数学模型构建.

依据已知的条件构建直角坐标系，并画出相应的图形(如图1).

图1

此时，教师可引导学生观察图1，并构建三个函数模型.

一次函数模型：f(x)=ax+b(a≠0)；

二次函数模型：g(x)=ax2+bx+c(a≠0)；

指数函数模型：h(x)=abx+c(b>0且b≠1).

根据已知的点，可解出这三个函数的具体解析式，并求出其与第四个点存有的误差，再经过误差大小的对比明确函数模型.

将已知点代入函数模型，可得：

f(x)=0.2x+0.8，f(4)=1.6，其和实际的误差为0.23；

g(x)=-0.05x2+0.35x+0.7，g(4)=1.3，其和实际的误差为0.07；

h(x)=-0.8×0.5x+1.4，h(4)=1.35，其和实际的误差为0.02.

由上述可知，指数函数h(x)与实际的误差最小，用做函数模拟更好，因此，选择指数函数模型.

第三，模型解答.

指数函数的模型解析式为h(x)=-0.8×0.5x+1.4，h(5)=1.375.

第四，作答.

根据指数函数，明确工厂5月份的产量是1.375万件，因此，本工厂的产量会随着月份的逐渐增加而增加.

五、结束语

综上所述，将函数模型运用于高中数学教学中，引导学生自主构建函数模型对数学应用题进行解决，不仅有助于对学生自身的建模思维进行锻炼，还能促进学生操作能力的提高，从而使学生形成建模素养的同时实现高效解题.