中考数学试题中的应用性问题与解题技巧的研究

◎王 艳 哈建民 张晓琴

(甘肃省嘉峪关市明珠学校，甘肃 嘉峪关 735100)

如何有效培养学生的数学应用意识一直都是学术界探讨的热点话题.近些年来，在全国各地的中考试卷中，应用性问题所占的比例不断提升，并出现了信息类、环保类、建模类、学科综合类等众多新型应用题.而对于多数学生而言，应用性问题的解答是存在一定难点和困难的.为此，在今后的教学中，教师应不断对应用性问题解题技巧的教学做出更加深入的研究与探索.

一、中考数学试题中的应用性问题分析

数学问题从内含上可以划分为纯数学问题和实际问题两部分.其中纯数学问题以对数学概念、公式和方法的形式化数学语言表达为主，而实际问题则是把实际背景简化为纯数学问题，因此又被称为应用性数学问题.近些年，应用性问题成为中考数学考查的热点，主要的考查内容包括“数与代数”“概率与统计”“图形与几何”“综合与实践”几个方面，同时在考试题型分布方面，多以解答题的形式出现，且所占分值比例较高，大多在10分以上.为使学生在这类题目上不失分、少失分，教师一定要紧紧把握中考动向，强化培养学生的应用性问题解题技巧.本文对中考数学应用性问题的特征做出了以下几个方面的分析：首先，热点聚焦.中考数学应用性问题常考的热点聚焦就是利率问题(单利问题、复利问题)、工程问题、销售问题等，需要学生在掌握数学概念公式的基础上具备一定的生活常识，以此高效解题.其次，难点分析.根据中考应用性问题的构成要素，学生在解题的过程中会遇到背景、运算、推理、知识点数及干扰条件五个难度因素，因此，在培养学生解题技巧的过程中，教师应立足于这五个难度因素有针对性地带领学生进行应用性问题解题练习.

二、中考数学试题中应用性问题解题技巧的研究

(一)立足教材，带领学生进行专题训练

教材是课程教学的依据.在培养学生应用性问题解题技巧的教学中，教师应该关注对教科书的有效运用，通过充分挖掘教材中的应用性问题，促使学生的应用题解题能力得到更好的提升.如教师应该对教材中应用性问题所涉及的运算、推理、知识点数及干扰条件的难度因素进行全面的分析，对其中难度系数比较高的应用性问题进行重点讲解.如人教版教材中的应用性问题主要由“数与代数”“概率与统计”“图形与几何”“综合与实践”四部分组成，教师可以依照不同模块，带领学生进行专题训练.同时，在每个专题训练中，教师应该预先做好教案，对导入部分、例题部分及习题部分进行深入、科学的设计研究，确保问题的难度不同，符合不同学生的发展需求.下面以“数与代数”的应用性问题训练为例，“数与代数”是初中数学的基础性教学内容，同时是学生解决其他模块应用性问题的基础.整个初中阶段，“数与代数”问题包括方程、函数、不等式、分数、比和比例等，教师在带领学生进行模块专项训练时，可选择应用性问题的导入方式，让学生形成认知冲突.而在具体的例题和习题教学环节，教师可以将培养学生的应用意识和问题意识作为设计理念，多挑选一些与生活内容贴近的教材例题带领学生进行训练，让学生在课堂上直接体验知识的实际应用性，从而促使学生的应用性问题解题技巧得到更好的提升.此外，在训练的过程中，教师要注意变式训练，通过一题多变、一题多解的方式更好地拓展学生的思维，提升学生解决应用性问题的灵活性.为此，教师在带领学生进行训练时还可以增加一些变式题.在每一年的中考试题中，虽然题目的形式看起来很新颖，但是都在课程标准和考试大纲范围内，故教师要利用变式训练促使学生掌握以不变应万变的应用性问题解题能力.

(二)加强心理指导，帮助学生克服解题障碍

数学应用性问题文字繁多、背景鲜活，对缺少生活经验常识的初中生而言，解应用性问题是存在一定障碍和困难的.很多学生在面对复杂的数学变量关系时不知如何入手，久而久之，就会在心中对应用性问题建立“难题”印象，从而在解题的过程中产生畏难情绪，而这不利于学生的有效解题.大多数情况下，这些看似非常复杂和烦琐的应用题，学生只要经过冷静的分析，都能得到结果，但是一些学生只要看到应用题题干中大量的文字就会产生抵触的心理.因此在今后的教学中，教师强化对学生的心理指导，帮助学生克服应用性解题心理障碍是十分必要的，具体可以从以下几个方面入手.首先，教师在带领学生解应用性问题时，不要反复地强调解题技巧和方式，而是要提醒学生在面对应用型问题时不要过于紧张，要像平时阅读故事一样去阅读应用性问题材料，这样的心理暗示可以帮助学生缓解自身的紧张情绪.其次，教师的讲解一定要细心、耐心，在碰到题目中的一些专业性名词时多花一些时间，同时用通俗的语言向学生解释，这个过程也是进行题干翻译的过程，从而引导学生将题干中的信息转化为数量关系和解题条件.如在讲解与“利率”有关的应用性问题时，教师要通过通俗的语言帮助学生明确何为“单利”、何为“复利”，从而确保学生对题目背景有明确的认识，然后根据题目所提供的材料明确每个条件与所求问题之间的关系，这样的知识科普有助于帮助学生克服解题障碍.最后，教师要明确，只有学生理解了推理过程，教师的解题方法、技巧讲解才能够具有代入感.因此，教师在向学生讲解应用性问题时，应从一些典型问题入手，帮助学生找准解决此类问题的关键，这样学生再遇见类似问题时就不会感到紧张，从而可以用平稳的情绪去解数学应用性问题.

(三)重视阅读能力开发和间接经验传授

应用性问题具有一定的复杂性，对题目的准确阅读与理解是解题的关键，而学生对此缺少认知，因此，在教学过程中，教师应将阅读能力开发和间接经验传授作为重点，这样可以更好地提升学生的应用性问题解题能力.

第一，教会学生读懂题目.应用性问题的最大特征就是文字叙述比较多，包括科学术语、生活常识等，同时带有图示和表格，各种信息之间相互干扰.而初中生的生活经验和阅历不丰富，因此容易对题意理解不透，无法读懂题目，不知从何处下手解题.对于此，教师在教学过程中就应该从读懂题目入手，培养学生的读题技巧.如在阅读应用性问题时，教师应先引导学生了解题目大意，并把题目中的关键词和重点条件做上标记，然后加以分析和理解.同时，若是题目信息比较长，教师还可以引导学生采用浓缩主、谓、宾的方式进行阅读，以此更好地突出题目的实质.此外，教师还要引导学生细心观察，明确题目中出现的每一个概念及每一个条件所指的数学意义，并深挖题目中的隐藏条件，这样才能够使解题思路更加清晰.学生在读题中若是没有读懂题意，可以进行反复阅读，直到读懂为止.下面以这样的一个应用性问题为例：“某车间需要在12天内完成产品生产任务，已知产品生产成本价是800元，该车间平均每天能够加工生产20个产品.为了加快速度，车间采用工人分批日夜加班、机械负荷运转的方式提高生产效率，这样第一天可以生产22个产品，以后每天比前一天多生产2个产品，但由于机器损耗严重，当每天的生产量达到30个时，当天每个产品的生成成本就会增加20元，假设生产产品的时间为x天，每天生产的产品数量为y，求x与y的函数关系式，以及自变量x的取值范围.”在面对这样一个应用性问题时，学生容易因阅读文字较多而产生急躁心理，对于此，教师可以细心地引导学生仔细阅读题目，并给出如下分析：①题目中涉及两种生产方式，原计划生产方式和实际生产方式，不同的生成方式，生产时间、生产数量、生产成本等条件有所变动；②要理解关键性字词，如每天比前一天多生产2个产品，以及当每天的生产量达到30时，当天每个产品的生产成本就会增加20元.

第二，运用图表整合数据.应用性数学问题的另一特征就是涉及的数量比较多、变量比较多、数量之间的关系隐秘而复杂.面对这些复杂的问题时，学生往往会感到无从入手，找不到解题的突破口.对此，教师可以引导学生从问题的整体出发，尝试借助图表的方式建立数学模型，以促使学生更好的解题.还是以上述工厂加工生产的问题为例，在解题过程中，教师可以带领学生列出如下表格，这样就可以使问题变得更加清晰.这是在应用性问题讲解中，教师需要传授给学生的经验和方法.

生产时间(天)生产数量(个/天)生产成本(元/个)原计划x20800实际情况xy=2x+20①800(x≤5)②800+20(y-30)(x>5)

(四)巧妙导入试题中的解题思路

很多学生把公式当成完成习题解答的重要思路，不会利用已知条件分析习题中的解题要求，导致最终得出的结论和要求的作答方向完全不同.比如“16000平方米用科学计数法怎么表示”这道习题，只需要完成数字加单位的表示即可，可有学生不理解什么是科学计数法，就对16000这个数字进行了以万为单位的表示，并忘记在后面加上单位.而16000和1.6万两种数字表示形式在读法和写法上都不同，所表达出来的具体意思也就不同.16000平方米中的平方米，已经是用于修饰16000这个数字的单位，当用科学计算法进行表示时，需要把16000记为1.6×104，再加上单位“平方米”.教师需要让学生看懂题目，根据已知条件完成有效作答，为他们普及先找到解题要求再导入概念或公式完成计算的解题思路.这样，学生在完成习题作答后，还可将结论代入选择题选项或习题材料中，分析结论和解题要求是否一致，并让学生熟悉常见的思维陷阱，让他们不要把未知条件当成解题的必需，而是利用所学知识和已知条件，观察是否能够直接或间接得到结论，防止学生把简单的事情想得过于复杂，导致最终解题思路的错误.教师在批卷中可以发现学生对于数学学习的薄弱地方，而在数学学习中，不同的教学环节也有着典型的错误及重难点内容，故在试卷讲评、课后习题讲解过程中，教师可以以某个学生所出现的错题为案例，在总结班级学生薄弱之处的基础上，引导学生对数学的基础知识、计算方法、数学思维等进行不断的充实与优化.一元二次方程的求解是初中数学的基础内容，而学生在求解时会存在解题时不细心的情况，课堂教学中，教师可以以某个学生的错误为典型案例，让学生对个人的解题方式进行阐述，并要求班级学生共同找出这个学生答题的错误，通过班级内共同查找错误、共同分析错误原因、共同探究错误的方式，在共同的数学思维引导下，学生了解了解题方法，也不断夯实了数学学习基础.

(五)对易错数学概念进行细致讲解

不同学生在数学学习中有着不同的学习问题，而学生与学生之间的学习差异、体系构建差异也会在其习题解答、强化训练中得以展示.因此，教师在对错题进行讲解时，要把握学生个性化的学习背景，在引导学生反思的过程中，使学生对自己的学习薄弱环节进行有针对性的优化.学生有时由于对概念不理解，会产生解题思路正确计算过程失误的情况，如因式分解就是一个易错点，也是学生难以理解的一个数学概念.因式分解的过程是把一个多项式化成几个整式的积的过程，最终得到的可能是几个单项式的积，也可能是一个数字.因最终结果是单项式的积的形式，所以因式分解过程中很少出现除法，即便学生使用了除法运算，也是将存在分数形式的多项式转化为乘法运算的计算，而这个计算步骤可以使用乘法代替，因此，教师对这个概念的讲解必须细致到每一个步骤，让学生认识到数字计算不可能替代最终因式分解结论的基本情况，并针对不同的公式示范因式分解过程中分数形式的转化，使学生能够真正认识因式分解的运算法则.除此之外，实数根、中位数等概念也属于中考试题中的易错考点，需要教师结合解题要求进行细致讲解.这些概念之所以易错，是由于学生对其如何运用于解题不够清晰，需要跟随教师的思路进行具体的应用和重复记忆，才能够牢固，从而形成对概念的理解和运用思路.据此，教师必须对试题中涉及的每个概念进行细致讲解，帮助学生更好地认识和运用概念解题.

三、总 结

中考数学应用性问题始终是学生在学习过程中的重点与难点，教师应当有效把握中考数学中应用题型的变化与方向，以帮助学生更加从容地面对中考数学试题中的应用性问题.而从近些年的中考数学出题动向来看，应用性问题常是中考试卷的压轴问题，所占分值较高，教师若想要使学生在中考数学中提升成绩，培养学生应用性问题的解题技巧就十分必要.本文对此提出了一些建议，希望能够为同仁提供借鉴和启示.