合理设线 优化计算

郑国赞

直线与圆锥曲线的综合问题在各类考试中多以高难题、压轴题形式出现，主要考查位置关系、弦长、定值与定点、最值与范围等问题，对数学运算、逻辑推理的数学核心素养及分析与解决问题的能力要求较高，纵观近几年的浙江高考数学卷中的此类问题，均涉及到了直线与抛物线的问题，可谓文风不变，一脉相承，本文将从2020年高考浙江卷第21题入手，谈谈此类问题的解决方法及其拓展.

1 问题呈现

（2020年高考浙江卷.21）如图1，己知椭圆C1：X +y2 =1，抛物线C2：y2=2px（p>0），点A是椭圆C1与抛物线C的交点，过点A的直线交椭圆C于点B，交抛物线于M（M，B不同于A）.

（1）略.

（2）若存在不过原点的直线，使M为线段AB的中点，求p的最大值，

分析本题涉及到直线与椭圆、直线与抛物线的关系，显然要引入直线，方程，考虑到抛物线的方程形式，直线，选择x=my+n的方程形式，解题思路即根据己知条件列出参变量m，n，p的关系，消元后再构造目标函数，最终求出参数p的最值.

2 探究分析

实际上，对于抛物线y2= 2px（p>0）与直线的问题，直线方程通常设为y= kx +b，或者x=my+n，这两种形式均引入了两个参变量k，b或m，n，相对而言，第二种设法优于第一种设法，它避免了代入时平方的运算.除了上述两种形式的直线设法之外，其实还有如下的方程形式，

评注这种直线方程的形式也是引入了两个参变量y1，y2，且这两个参变量有着显著的几何特征即两个交点的纵坐标，我们也可以把y1+y2与y1，y2视为两个整体，亦相当于引入两个参变量，

由上述性质1，2020年高考浙江卷第21题还可作如下分析解答：

评注解法3充分利用幾何性质，无需设直线方程代入圆锥曲线，解法显得简洁明了，

除了上述的几种解法之外，本题还可利用直线与椭圆相交时的一个性质进行分析，即KOM KAB=e2一l（e为椭圆的离心率），具体解法与解法3中的KOM KAM=一1相同，本文不展开叙述.

由上述可知，直线与抛物线的问题思维要求高，计算量大，当问题中含一个或多个参数时，对数学运算的素养就要求更高，教师在此类问题的教学过程中应对每一个数学运算的算理（为什么能这样算，计算的依据）、算法（如何算，计算的步骤或程序）、算力（计算的功力，最终算出正确的结果）[2]进行分析，要引导学生认识运算的目的性，设计合理的计算程序，训练代数式及多参数计算与转化的能力，培养学生选择简捷运算途径的意识和习惯，只有这样才能提高教学的有效性与针对性，

参考文献

[1]姚良玲.一个优美结论的再推广[J].中学数学教学参考，2018（7）：54-55

[2]陆建根.数学运算，算法从哪里来[J].中学数学教学参考，2018（7）：23