小处且莫轻纵过

吴国扬 陈纪韦华

方程是代数学的核心内容，对方程的研究推动了整个代数学的发展，一元一次方程是最简单的代数方程，也是所有代数方程的基础，在小学阶段，用算数方法解应用题是数学课的重要内容，也学习了简单方程的内容，对方程有了初步的认识，会用方程表示简单情境问题中的数量关系，会解简单的方程，已经历了入门阶段，七年级《一元一次方程》这一章内容，承接课标中第二学段的简易方程，对后续进一步学习二元一次方程、不等式、分式方程、一元二次方程等更为复杂的方程不等式以及整个数学学习有至关重要的基础性作用，其中涉及的方程思想、数学建模、阅读能力、数学运算、化归与转化等数学思想方法素养对一个人的影响又要大于具体的数学知识，而且数学思想方法素养的培养与感悟有助于学生从整体上认识问题的本质.因此方程及其预备知识（整式的加减）应该作为七年级的核心内容.

1问题的由来

“势如破竹，数节之后，皆迎刃而解”，《一元一次方程》章节起始课该如何设计，如何高立意、新立意？学生将面对的问题和困难在哪里，如何突破？只有对学情进行客观的分析，才能明确地认识到教什么，就本章而言，教学设计的着落点应该在于有意识让学生体会从算术方法到方程思想的承接与差异，有意识让学生体会“从算术到方程是数学的进步”，真正理解方程的数学本质，做好从算术到代数的过渡.

2 学生从算术方法到方程思想过渡时的疑难分析

“方程的出现明显地使代数方法超越了古老的算术方法”，从数学应用价值上看，通过对贴近实际生活的问题探究，突出方程模型应用的广泛性、有效性和普适性，在更高层次上提高学生分析问题和解决问题的能力，创新精神和实践意识;从数学教育价值上看，方程思想是代数素养中重要的一个核心内容，其中包括符号意识、用字母代替数（文字语言、符号言语、图形语言之间互译）、数学运算（代数结构恒等变形、化归与转化）、模型化思想等，然而在平时教学时，我们发现七年级新生对方程的接受是比较缓慢、不适应的，以下题为例：

例1（鸡兔同笼）鸡兔同笼，共有35个头，94只脚，问鸡兔各有几只？

解法1（算术解）假设所有的35只都是鸡，那么共有35x2=70只脚，而实际上有94只脚，那么多出来的94-70= 24只脚，就是因为每只鸡比兔子少了2只脚，因此兔子的数量为（94- 70）÷2 =12只，鸡的数量为35-12= 23只，

解法2（抬脚法）假如鸡和兔子都抬起两只脚，还剩下94-35x2= 24只脚，那么剩下的脚是兔子的脚，而且这时每只兔子有两只脚在地上，因此兔子的数量有24÷2 =12只，那么鸡的数量为35-12= 23只.抬脚法的实质是解二元一次方程组的过程，

解法3 （方程解）设鸡有x只，那么兔子有（35 -x）只，则依据题意有：2x+4（35 -x）= 94，解得：x= 23，故鸡有23只，兔子有12只，

对于解法1，我们需要先假设，当假设与己知发生矛盾时再纠正;对于解法2，需要对情况有清晰的理解;对于解法3，我们引入一个未知数x参与运算，由等量关系列出方程，再解方程，求出方程中未知量x的值，虽然学生在小学高年级也学习了简单的列方程解应用题，但对于本题，大部分学生仍然偏向于解法1，究其原因是综合性的算术方法形成强烈的思维定势，经过长期潜移默化的训练给学生带来了负迁移，学生潜意识里着重利用应用题中的己知量（包括过程中求出的量），通过一系列程序性、特殊性、假设性、连续性的运算得出答案，此过程学生从算术方法到方程思想过渡时产生的疑难表现在：

（1）思维上的转变

算术解法的思维过程相对复杂，大致上是以逆向思维为主，方程解法在思维上是一种正向思维，体现在对等号的理解，用算术解时，算式的功用是一种思考的记录，书写的顺序是从左往右，所列算式在等号左边，计算结果在等号右边，等号的作用更像是箭头的作用，是计算结果的标记，算术解对等号的理解是单向的，是计算性的工具，而方程解对等号的理解更深一层，等号是左右两边相等，左右两边结构对等，整个式子上升为代数结构（等式），两边可以根据性质运算，而且正是对等号的认识不同，算术解中等号左右两边的思维量也是不对等，左边的思维更复杂，在情境复杂的应用题中，更不好理解，方程解中等号两边的思维量是对等的，对情境更复杂的问题，把思维量分担到等号的左右两边，降低了思维过程的复杂性，

因此从思维层次来说，学生应用算术解惯于逆向思考，惯于综合性过程性思考问题，难以迅速体会，过渡到方程思想这一过程中，不习惯用字母表示量，缺乏符号意识，缺乏应用分步分类的代数思维来降低思维量，分析性的代数思维乱且繁琐.

（2）已知数和未知数的地位割裂开来

由于思维定势的强烈作用，学生在解决应用题时，特别关注已知数，总是通过“套模式”来“利用己知数列出算式”求得未知数，将己知数与未知数割裂，未知数无法参与运算，然而，己知数与未知數是相对而言的，数学是符号抽象的学科，数或式都是表示事物的量，已知数无非就是己知数的量，而未知数是暂时未知数的量，用字母表示待求而己，也正是由于认识上的偏差，解应用题时，执着于算术解，甚至在硬性规定用方程时也只是表面的模仿，列出含x的算式而非等式方程，并非经历找等量关系列方程这种分析性的代数思维的过程.

（3）对解方程的步骤感到繁琐

由于小学阶段根深蒂固的算术思维，很多学生运用算术解的能力可以说是到了熟能生巧的地步，“题型+套路+技巧”学生解题程序倒背如流，例如题中的解法2，对于算术解每步的演算简而快，认为方程解需要“设、列、解、答”等主要步骤稍显麻烦，对解方程小学高年级虽然有简易方程的解，但是建立在等式性质为基础的解法，没有形成系统化、程序化（去分母、去括号、移项、系数化为1）解方程，因此在起始阶段学生对计算也是感觉陌生繁琐，

基于以上的分析，学生对列方程解应用题产生强烈的畏难情绪，容易造成屡试屡败的情况，严重影响学生后续学习的信心和兴趣，也是该学段教学的一个瓶颈.

3“《一元一次方程》章节起始课”的教学策略：一题双解多法

方程思想的培养，代数核心素养的内化不是一时半会能解决的，是伴随着学生的学习过程不断深化，不断升华的，“小处且莫轻纵过”，《一元一次方程》章节起始阶段，不应急于掌握方程的定义，基于学生小学方程学习的实际情况，教学时应采取合适的策略，让学生体会“从算数到方程是数学的进步”，才有利于实现从算术方法到方程思想的平稳过渡，基于人教版数学课本的例题，我们可以重组设计起始课的教学片段：

问题1一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地.A，B两地间的路程是多少？

师生活动：（1）引导学生审视问题，根据自己的解题经验用算术解和方程解解决问题： 算术解：1÷（1/60一1/70）= 42 km;

方程解：设4，B两地间的路程为x km，根据题意，得x/60一x/70=1，解得x=42.

（2）请学生分别说明算术解和方程解的式子代表的含义，说说两种方法的优缺点;并探究方程解是否有其他解法，例如：x/60=1+x/70或x/60一1=x/70.

设计意图比较两种方法的优缺点，并让学生对代数思维从不了解到发现了解，

问题2 一台计算机己使用1700h，预计每月再使用150h，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450h？

问题3某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？

师生活动：（1）再一次引导学生从“一题双解多法”角度解决问题：

问题2的算术解：2450 -1700= 750，750÷150=5月;

方程解：设经过x月，根据题意得l700+150x=2450，解得x=5;或150x= 2450-1700.

问题3的算术解：1 - 52%= 48%，则80÷（52% -48%）= 2000人;

方程解：设这个学校有x名学生，根据题意，得52%X -（1 - 52%）x= 80，解得x=2000;或[52% - （l-52%）]x= 80.

（2）再一次对问题2、问题3辨析上述方法的优劣，并着重考查学生对两种方法的选择顺序，考查学生是否对方程思想优越的认识并带入解题方法的选择顺序中.

设计意图比较问题1，问题2，问题3三个情境，感受代数思维的分析性、顺向性，算术思维的综合性、连续性，

问题4把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本;如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？

师生活动：（1）在复杂情境中，引导学生审视问题，从“一题双解多法”角度解决问题：

算术解：20+25= 45，4-3=1，45÷1= 45名;

方程解：（法1）设这个班有x名学生，依题意得3x+20= 4x -25（对图书数“算两次”），解得x=45;

（法2）设共有图书y本，则y-20/3=y+25/4（对 学生数“箅两次”），解得y=155，则有45名学生.

（2）让学生发表对方程法的优越性的认识，教师适时归纳总结，算术解也不是一无是处，但方程解对复杂情境中更有利于解决问题，

设计意图认识代数分析性思维，方程中分步分类思考问题的方法——“算两次”思想：将一个量用两种方式表示，形成对代数思维优势的深入认识，

从以上的分析，《一元一次方程》章节起始课的教学策略上采取的是一题双解多法，即既用算术解又用方程解，同时探讨一解多法，联系地、统一地看待算术解与方程解，帮助学生从不同的情境中，经历对代数素养的认知发展，从不了解到了解，从认识方程思想到初步应用方程思想，从应用方程思想到深入认识代数思维，并内化为代数素养，尤其是复杂情境中认识到从算术到方程的进步，转变思维的方式，灵活选择合适的方法，

“连雨不知春去，一晴方觉夏深”，代数素养不像代数知识，是隐形的，是内化的，“方程起始课”的低起点是立足于学生的小学学情，高立意是从知识发展到能力升华到学科核心素养，这个过程中不去刻意追求，是一种“润物细无声”的感知，感知不同情境问题中蕴含的数量关系，能够积极地运用方程思想、分析性的代数思维对不同情境问题做出分析，并能有效地解决问题.

4 结束语

总之，对于《一元一次方程》章节起始课不必急着让学生探究方程的概念和方程的解，不必急着让学生探究等式的性质以及解方程，应该站在“大方程视野下”从人教版教材“阅读材料”中“方程的史话”，从数学文化、人类认知规律的角度上介绍方程的产生和发展，提高学生学习方程的兴趣，继而可以采用“一题双解多法”，从简单到复杂情境应用入手，通过类比、比较、辨别、甄选等思维方式，让学生体会算术思维和代数思维的异同点，让学生体会方程模型是解决问题的一种普适性模型，让学生体会代数思维是如何产生、如何思考，“劳而无功，弊在推舟于陆，若有所得，要在求之于本”，数学教育之本不是检验学生是否掌握学校数学课程内容，而是培养学生是否掌握面对未来世界所需要的数学核心素养，一元一次方程的学习之本不仅仅是解方程能力的培养，应该还包括从算术方法到方程思想的过渡，并升华为代数素养，能力是素养的载体，一元一次方程乃至后续其他类型方程的学习之本，不仅仅是让学生掌握知识和能力，而且应该让学生体会到从算术到方程是数学的进步，让学生体会代数核心素养，例如：符号意识、代数结构及其运算、数学建模、应用意识等，素养的获得是一个终身的过程，因此在方程的章节起始阶段，花一些时间为学生打开一扇认识代数思维之门还是相当必要的.（本文系莆田市教育科学“十三五”规划2020年度立项课题“基于情境問题视角下初中学生数学核心素养的培养研究”（课题编号：PTGFKT20059）的研究成果）