在“动手做”中实现思维发展——由“多边形内角和”数学实践活动引发的思考

浙江杭州市临平区塘栖镇第三小学（310000） 蔡 华

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》强调：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿和记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”这就要求教师要深入解读数学教材的编写意图和数学课程标准，科学地组织学生进行实践活动，引导学生亲身经历知识的形成过程，积累数学活动经验，拓宽知识视野，真正理解与掌握所学的数学知识。

苏教版小学数学教材每一册都安排了一个以上的数学实践活动，笔者认为其编写意图如下：一是激发学生自主学习的意识，提高学生数学学习的兴趣；二是渗透有关的数学思想方法。在数学实践活动中，学生不仅积累了探究问题的经验，而且促进了数学思维的发展。下面，笔者以“多边形内角和”的数学实践活动为例，谈一些自己的思考。

一、夯实活动基础，以复习激活思维

打造高效的数学课堂，解读数学教材是第一要务。为此，在教学预设时，教师就要深入钻研数学教材，细致解读数学课程标准，全面了解学生的学习情况。数学课堂中，教师要根据学生的学情科学引领、灵活施教，激活学生的思维，让数学课堂充满活力。

师：观看投影中的图形（略），它的内角和是多少度？

生1：这是一个三角形，内角和是180°。

师：还记得这180°是怎么得到的吗？

生2：用量角器测量3 个内角的度数后相加得到的，但是这样有误差，最好的方法是把3 个内角剪下来，发现刚好可以拼成一个平角，所以是180°。

师：也就是说，我们将原本不熟悉的三角形内角转化成熟悉的平角。这样的思考方式，大家还记得在哪里见到过？

生3：学习计算除法时，就是用熟悉的乘法去思考陌生的除法。

生4：计算长方形的面积时，我们是将熟悉的1平方厘米的小正方形摆成1 排、2 排、3 排……逐步推导出长方形的面积计算公式的。

……

实践证明，要想让学生顺利地接受新知，教师就要唤醒他们的学习记忆和活动经验，激活他们的数学思维。因此，在本课教学的初始阶段，教师找准学生思维的“最近发展区”，通过复习激发学生的学习兴趣，引发学生的思考。教师先出示图形，引导学生回忆三角形内角和的知识，并让学生复述三角形内角和的由来，再提出“也就是说，我们将原本不熟悉的三角形内角转化成熟悉的平角。这样的思考方式，大家还记得在哪里见到过？”的问题。这样教学，有助于学生思考力的提升，为学生后续研究多边形内角和提供经验支撑。

二、把握活动操作，以体验促进思维

经验是不断学习的最为宝贵的财富。当然，如果仅凭经验学习，那么学习就会故步自封，难有创新。因此，教师要精心设计数学实践活动，给学生最为真切的学习体验，吸引他们积极参与，让数学课堂洋溢着情趣与智慧。

师：那么，我们将如何研究四边形的内角和呢？

生1：先测量出四边形的4 个内角的度数，再计算出它的内角和。

生2：长方形的内角和是360°，可以推想出四边形的内角和也是360°。

师：这个方法可取。那么，作业纸上的四边形（如右图）的内角和，如何求出来呢？

生3：我测量出∠1=65°、∠2=89°、∠3=135°、∠4=72°，所以这个四边形的内角和是361°。

生4：我测量出∠1=63°、∠2=90°、∠3=134°、∠4=73°，所以这个四边形的内角和是360°。

……

师：现在有361°、358°、360°等不同的结果，是不是四边形的内角和不像三角形的内角和那样，是固定的呢？

生5：应该是固定的。我认为四边形的内角和是360°。

师：那么，我们要怎样来证明自己的猜想呢？

生6：像研究三角形内角和的方法一样，把四边形的4 个内角都剪下来，发现可以拼成一个周角，就说明四边形的内角和是360°。

师：听明白了吗？大家学着做一做，看看是否也能得出同样的结论。

（学生进行操作活动，剪下四边形的4 个内角拼一拼）

师：还有没有其他的研究方法呢？

生7：360°不就是2个180°吗？那是不是可以把四边形分成2个三角形呢？

师：是啊！大家小组合作探究，集思广益，看看还有什么不同的研究方法。

（学生小组合作，尝试用不同的方法思考探究）

生8：简单得很。（出示右图）我们小组将AC连线，这样就得到2 个三角形，发现三角形的6个角就是四边形的4 个内角，所以这样分是可以的。

生9：不对吧！（出示右图）我们小组也将BD连线，这样不就是4个三角形了吗？因此，四边形的内角和应该是720°（180×4）。

生10：这显然不对。4个三角形中间的那4个角不是四边形的内角，所以四边形的内角和不是720°。

生11：有道理。四边形中间的那4 个角不是四边形的内角，所以要减去360°，故四边形的内角和是360°。

师：那么，我们到底该如何连线才是最简洁、最有效的呢？

生12：只能连接一条对角线。

生13：只从一个点去连线，不能每一个点都连。

师：真不得了！同学们的观点和数学家的研究是一样的——只从一个顶点连线。下面，再用这个方法去试一试。

（学生再次对四边形的内角和进行探究）

……

课堂教学中，教师通过问题引导学生运用已有的知识经验去研究、去分析，虽然能获得不错的教学效果，但这样学生对所学的知识没有真正理解。为此，教师要对学生的数学学习予以指导，给学生指明探究的方向。上述教学，教师通过问题引发学生新的思考，使学生在小组学习中实现智慧碰撞，得出不同的连线方法。这样思路有了，方法也就应运而生，但结论是矛盾的，从而形成新的探究契机。于是，教师再引导学生进行观察、思考、辩论，使学生真正理解所学的知识并形成深刻记忆。

三、鼓励另辟蹊径，以创新拓展思维

要实现学生数学核心素养的提升，数学教学的着力点就必须落实在“四基”上，并以此发展学生的综合能力。因此，数学课堂中，教师应想方设法激活学生的思维，鼓励学生另辟蹊径，促进他们积累数学学习经验，并适时渗透数学思想方法，助推学生深入学习，构建高效的数学课堂。

例如，教学“长方形、正方形的面积计算公式推导”时，教师营造自由的学习氛围，搭建合适的展示平台，激发学生的探究欲望，拓展思考空间，以实现更为灵动的教学。

师：经历动手操作后，大家对长方形面积计算公式的由来有了一定的了解。下面，请再深入思考，看看还有没有其他的方法也能获得这样的学习感悟呢？

（学生在问题的刺激下，再次投入到摆一摆、想一想、议一议等学习活动中，努力从不同的角度探究、分析）

生1：我们小组研究发现，以前都是用1 平方厘米的小正方形去摆满长方形，得出小正方形的个数后，就知道长方形的面积了。可如果遇到很大的长方形时，小正方形就不够用了。这时只要用小正方形摆出长方形的一行、一排，也能知道长方形的面积。大家看，这个长方形一行能摆12 个小正方形，一排能摆10 个小正方形。从中可以看出，长方形的长是12cm，宽是10cm。也就是说，这个长方形一共需要120 个小正方形才能摆满，即长方形的面积=12×10=120cm2。这样的方法，对于计算较大的长方形面积也是有帮助的。

生2：我们小组先用小正方形拼成不同的长方形，再画出对应的长方形，从中发现长方形的面积与它的长和宽有着密切的联系。比如，有个长方形一行能摆6个小正方形，一排能摆4个小正方形，即这个长方形的长为6cm，宽为4cm。也就是说，摆满这个长方形需要24 个小正方形，24 是由6×4 得来的，所以长方形的面积=长×宽。

……

数学课堂中，教师完全放手让学生自己去探究，学生对新知的探究欲望会更强烈。如上述教学，教师给学生提供充足的探究时间和互动学习的空间，让学生在合作探究中发挥自己的聪明才智，迸发出个性化学习的灵感，实现另辟蹊径、深化理解的目的。在交流互动与思维碰撞中，学生可以把更大的长方形面积通过自己的方法计算出来，真正明晰长方形面积计算公式的由来，使学生的数学学习步入一个更为理想的境地。

四、研磨反思活动，以辩论发展思维

数学课堂中，教师要善于利用各种有效的教学资源，创设探究性的问题情境，吸引学生主动参与到“动手做”的活动中去。这样既有助于学生经历富有数学味的操作过程，培养学生的实践意识和动手操作能力，又有利于学生获得更多深入思考和探索发现的机会，引导学生的思维不断向纵深处漫溯，使学生的思维能力获得发展。

师：你能用这样的规律去探索五边形、六边形的内角和吗？

（学生小组合作探究，在练习纸上连线，把五边形、六边形分成若干个小三角形）

生1：五边形从一点出发能连2 条线，分成3 个三角形，所以它的内角和=180×3=540°。

生2：不要连2条线，连1条线即可，这样就把五边形分成1 个三角形和1 个四边形，得出五边形的内角和等于540°。

生3：这样不好。四边形不是也能分成2 个三角形吗？所以，还是从同一个点出发连2 条线，把五边形分成3个三角形为好。

……

师：大家的辩论很有价值。研究问题要掌握一定的方法，这样才能快速、有效地解决问题。这里从一点出发连线，看分成的三角形的个数，就是最有效的方法。下面，请大家用这个方法去研究六边形的内角和吧！

生4：从一点出发连3 条线，把六边形分成4 个三角形，所以六边形的内角和是720°。

……

师：大家的学习真不赖！请回头看看我们的研究，把得到的结果填入下表，并观察表中的数据，想一想是否隐含着什么奥秘呢？

图形名称三角形四边形五边形六边形……边数 分成的三角形个数 内角和（度）

生5：都是把多边形分成若干个三角形。

生6：计算多边形的内角和，要先找它分成的三角形的个数。

生7：表格中的“边数”总比“分成的三角形个数”多2……

师：不错！如果是20边形呢？30边形呢？

生8：20 边形能分成20-2=18（个）三角形，30 边形能分成30-2=28（个）三角形。

生9：我发现如果是A边形，那它能分成三角形的个数就是A-2个。

师：你真了不起！在数学上，一般是说N边形。那你知道N边形的内角和的计算方法吗？

……

要想获得学习成功，就得经历反复思考的艰难过程。上述教学，教师利用四边形内角和学习的经验，引导学生去探索五边形、六边形的内角和，甚至是多边形的内角和，使学生产生不同的思考，引发新的探究、辩论。这样教学使学生懂得如何解决同一类型的问题，积累了相关的数学活动经验。

总之，“动手做”作为一种全新的数学活动内容，需要我们在教学中不断探索、不断优化。我们有理由相信，如果在教学中能够充分重视并认真组织“动手做”的活动，就能够激发学生的数学学习兴趣，改善学生的数学学习方式，让他们的自主学习能力和思维在不断探究中获得发展，从而有效提升学生的数学核心素养。