基于数学抽象的高中数学章节起始课教学设计——以“空间向量与立体几何”为例

汪留屿

(南通中学，江苏 南通 226001)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《课标》)中指出：高中数学课程的基本理念是以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养.其中，数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现.在6个数学学科核心素养中，数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中.可以说，数学抽象的水平在一定程度上能反映学生数学核心素养的水平.

目前，对数学抽象的研究很多，既有挖掘内涵的本质性研究，也有结合课堂的教学实践.在这些教学实践中，有人认为数学抽象的培养主要集中在函数章节[1]，也有人认为可以通过解题教学来提升数学抽象素养[2]，还有人认为数学实验对培养数学抽象素养非常有效[3]……可以说，对数学抽象的教学研究比较分散，具体在某一课型上的系统研究几乎没有.这样的教学纵然能够展现不同课型下培养数学抽象素养的手段与措施，但正由于课型不同，方法不一，教学实践的相关经验几乎无法推广，难以形成有效、系统、统一的教学范例.

数学知识是体现数学核心素养的重要载体，数学课堂是落实数学核心素养的主要阵地[4].随着新课程改革的不断推进，各种各样的课型都应运而生，章节起始课就是其中之一.章节起始课，顾名思义，应当是每一章节的起始课，一般多为概念课.从教学时间上来说，它就是指一个章节中第一课时的教学；从教学内容上来说，它应当涵盖章节起始内容、第一小节相关知识和本章的知识概况及核心研究方法；从教学结果来看，它必须帮助学生把握知识主线，联系已学的旧知，完善知识结构[5].从章节起始课的内涵中不难发现，章节起始课不仅涉及章节知识的相关背景和主要概念，还体现章节的核心思想和研究方法.而从情境中抽象出概念、规则、命题和模型，从过程中抽象出方法、思想、结构和体系，无一不鲜明地表明章节起始课对培养数学抽象素养的独特价值.因此，章节起始课可以作为培养数学抽象素养的主要阵地.基于此，笔者选择章节起始课作为研究对象，以苏教版高中《数学(选修2)》“空间向量与立体几何”章节为例，试图通过章节起始课的教学培养学生的数学抽象素养，以期形成一种教学范例.

1 章节分析

1.1 章节起始内容分析

无论是哪个版本的教材，在每章都有一个类似的设计，即章节标题下方有一张图片——背景图，之后新的一页上有一段话——章头语，还有与内容配套的图片——章头图，苏教版教材还有与之相应的名人名言.这些内容统称为章节起始内容，它们并非指向某一小节的知识或方法，而是以先行组织者的方式揭示了本章节的数学知识及背景来源，渗透了本章节的研究方法和数学思想.

“空间向量与立体几何”章节的背景图是蔚蓝天空下战机飞行的场景，从经验的角度，我们可以想象战机在空中进行转弯、俯冲、拉伸等动作，这也反映了本章节要学习的知识和空间有关.章头图给出的是吊机吊载物品的场景和空间直角坐标系中的一个向量，吊机在吊载物体时会经历水平和垂直两个方向的运动，展现了空间运动的分解.空间直角坐标系和向量则鲜明地指出了本章的研究方向——空间向量.

名人名言选用的是华罗庚先生的一句经典语录：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”这句话可以作为数形结合思想的文字体现，它向我们展现了数学学习中数与形各有特点、相辅相成、缺一不可的情境.这句话不仅表明数学学习中数形结合思想的重要性，而且揭示了本章的学习必然.

章头语包含了两段文字和两个问题：在《数学(必修2)》中，我们学习了平面向量，研究了平面向量的运算、平面向量基本定理及平面向量的坐标表示，运用平面向量知识解决了数学和物理中的一些问题.

然而，在现实生活中，许多涉及大小和方向的问题不仅出现在平面中，也经常出现在空间中，例如吊车吊载物体、飞机降落、火箭发射……

空间向量是如何进行运算的？怎样用向量解决空间图形的相关问题？

第一段文字回忆了已学的平面向量以及相关内容，第二段文字展现了超越平面的问题情境，两个问题涉及空间向量的运算和应用.总的来说，这些内容先是回忆旧知，建立新知生长点，接着引出新情境，提出问题，引发学生的认知冲突，激发学生的好奇心和兴趣，为学生接下来的学习指明方向和重点.

1.2 章节知识结构分析

“空间向量与立体几何”章节包括3个部分内容：空间向量及其运算、空间向量的坐标表示和空间向量的应用.第一部分“空间向量及其运算”包括线性运算、数量积和共面向量定理这3个小节，第二部分“空间向量的坐标表示”包括空间向量基本定理及坐标表示这2个小节，第三部分“空间向量的应用”包括直线的方向向量和平面的法向量、空间线面关系的判定、空间角的计算和空间距离的计算这4个小节.

从空间向量的章节结构和知识层级中不难发现：空间向量与平面向量一样，都涵盖对自身内涵外延的研究、坐标形式以及相关应用.从整体上来看，空间向量的学习可以把几何问题转化为代数问题，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的数学思想.从局部来看，空间向量为处理立体几何问题提供了全新的视角，能够有效解决三维空间中图形的位置关系与度量问题.

根据章节起始内容和章节知识结构，笔者认为在设计章节起始课教学时应考虑两点：一是在引入环节帮助学生建立新知生长点——平面向量，引导学生用类比的方法得到空间向量及相关知识；二是要启发学生思考平面向量与空间向量之间的共性与差异，即什么样的内容可直接类比，什么样的内容需要拓展和提升.

2 教学实录(片段)

环节1情境引入，提出问题.

师：同学们，2019年不仅是中华人民共和国成立70周年，也是中国人民解放军空军成立70周年.10月份，为了庆祝中国人民解放军空军成立70周年，空军航空大学在吉林长春举办了一个大型的航空展，展示了各式各样的战机.老师在现场拍了一些视频，一起来看一下.

(教师PPT展示战机空中飞行的视频.)

师：我们看到战机在天空中进行了各种表演，有直线运动，有水平运动，也有仰冲运动.为了研究方便，不妨从这3个实例中抽象出数学模型.

师：如果飞机从点O出发，沿直线飞到点A，如何表示飞机的位移？

图1 图2 图3

师：如果飞机沿直线飞到点A后，拐弯再沿直线飞到点B，如何表示飞机的位移？

师：在平面内，还可以如何表示？

师：用了什么知识？

生4：向量加法三角形法则.

师：如果飞到点B后，最后向上仰冲到终点C.位移如何表示？

师：还可以如何表示？

师：用到了什么知识？

生7：向量加法三角形法则.

师：这里的3个向量在同一平面内吗？

生8：不在.

问题1空间中如何进行向量加法的运算呢？

师：我们生活在三维空间内，常常会遇到类似的问题，这就需要我们将二维的平面向量推广到三维，也就是我们今天要学习的“空间向量”.

环节2活动探究，建构新知.

师：空间向量是一个新的概念，首先要研究它的什么内容？

生9：定义.

师：那同学们能给空间向量下个定义吗？

生10：在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量.

问题2还可以从哪些角度研究空间向量呢？

生11：相关概念、表示方法、线性运算……

师：怎样想到这些角度的呢？

生12：前面的平面向量是这样学习的.

师：那我们先来梳理平面向量的相关知识.在平面向量中，我们学习了哪些内容呢？

生13：概念、表示、运算、坐标、应用.

(教师PPT展示平面向量的知识结构.)

师：这节课我们就重点来研究“概念及表示”与“线性运算”这两部分内容.请大家回忆一下，我们学过哪些特殊向量?

生14：零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、相等向量、相反向量.

师：能够平移到同一直线上的向量称为共线向量.

问题3把共线向量推广到空间，可以得到什么呢？

生15：共面向量——空间中能够平移到同一平面内的向量.

活动1用两支笔表示空间中的任意两个向量，判断它们是否是共面向量.

(学生上台，动手演示.)

师：那我们可以得到一个什么结论？

生16：空间中任意两个向量是共面向量.

师：空间内只要是涉及一个向量或者两个向量的问题都可以转化为什么问题？

生17：平面向量问题.

师：也就是说，平面向量中的表示方法以及相关概念都可以直接推广到空间向量.

(教师PPT展示空间向量的相关概念.)

师：接着来研究平面向量的线性运算，包括哪些内容？

生18：加法三角形法则、加法平行四边形法则、减法三角形法则、加法交换律、加法结合律、数乘分配律、向量共线定理.

问题4这些知识能直接推广到空间向量吗？

生19：除了加法结合律涉及空间，其他都可以直接推广.

活动2验证空间向量加法结合律.

(学生探究，教师投影展示.)

师：这样我们就把平面向量的概念、表示及线性运算都推广到了空间向量.

环节3总结回顾，建构体系.

师：请同学们总结一下这节课有哪些收获？

生20：空间向量的概念、线性运算.

师：我们可以从3个方面来看：从知识概念层面，我们学习了空间向量的有关概念和线性运算；从思想方法层面，这节课渗透了类比和转化思想，即类比平面向量得到空间向量的相关概念和结论，将空间向量问题转化为平面向量来解决；从结构体系层面，我们发现平面向量是特殊的空间向量，因此空间向量的知识结构可由平面向量推广得到.

3 教学反思

3.1 关于教学中的3个环节

环节1包含两个方面：一是从生活实际中抽象出数学情境，让学生意识到数学源于生活；二是从问题情境中抽象得到空间向量的概念，让学生体会到空间向量是为解决空间问题服务的.这一环节主要让学生理解空间向量知识的产生背景——生活实际，明确本章的研究目标——空间向量，以及本节的研究方向——空间向量的运算.

环节2包含3个方面：一是学生类比平面向量初步形成空间向量的知识框架；二是类比共线向量得到共面向量，进而将空间中涉及一个向量或两个向量的问题直接转化为平面向量来解决；三是类比平面向量验证空间中的加法结合律.这一环节主要是让学生形成章节知识框架——空间向量的结构体系，体会数学思想方法——类比与转化.

环节3主要是师生从知识概念、思想方法和结构体系这3个方面总结课堂内容，深化知识理解.

3.2 关于教学中的2个活动

活动1是让学生通过动手操作的方式验证命题——空间中任意两个向量是共面向量，通过以笔代线的方式将抽象的空间问题转化为较为具体的实物问题，降低思维难度.本活动通过验证命题实现将部分简单的空间问题直接转化为平面问题来解决，是转化思想的直接体现.

活动2是让学生类比平面向量探索空间向量加法结合律的验证方法，通过问题探究、学生展示、教师点评的方式突破本课难点.本活动是推广线性运算的关键步骤，是类比思想的进一步运用.

3.3 章节起始课中培养数学抽象素养的思考

《课标》指出：抽象是形成科学概念的基本途径，是从众多的事物中抽取共同的、本质性的特征，而舍弃其非本质特征的过程.数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法和思想，认识数学结构和体系.而章节起始课作为每一章节的第一课，既包含了第一课时的概念和命题，又体现了本章节的核心思想，还可以初步展现章节的知识结构，可以说能有效展现数学抽象的各个方面.因此，数学教师在设计章节起始课时，可以根据数学抽象的具体表现，通过设计教学情境、教学流程和教学活动开展教学，实现数学抽象的培养.

1)设计情境,抽象问题和概念.

数学概念的形成通常要经历两种不同层次的抽象过程：第一层次是以数学外部的事物为对象，经过数学化抽象得到数学概念；第二层次是以已有的数学概念为对象，经过进一步抽象得到更为抽象的概念.数学教师在设计章节起始课时，可以结合章节起始内容，挖掘章节知识的生成背景和来龙去脉，据此设计适合学生的问题情境，引发认知冲突，在分析问题、解决问题的过程中，抽象出章节的核心概念，深化对数学概念的理解.

2)设计流程,抽象结构与命题.

数学抽象的更高水平是对数学基本结构和理论体系的抽象.通过这种抽象可以让人们看清楚数学知识的发生和发展过程、数学理论体系的完善过程以及不同数学研究领域的相互联系和统一性[6].在章节起始课的设计中，数学教师要规划好教学流程，先以宏观视角帮助学生初步建立章节的知识结构，再从微观视角逐步验证结构中的命题、规则和结论，完善并深化章节知识体系的建构.

3)设计活动,抽象思想和方法.

数学思想方法的形成通常蕴涵在数学概念的抽象过程及数学问题的解决过程中，它是人们对数学知识和方法形成的规律性的理性认识和基本看法[6].可以说，数学思想方法是更高级别抽象的产物，不同于一般的数学概念，它的抽象程度更高，需要的教学时间更长，学习难度更大.因此，在章节起始课的设计与教学中，数学教师需要根据章节知识内容，设计符合学生认识的探究活动，通过问题探究、学生活动的方式，让学生在活动中感受研究方法的奇妙，体会数学思想的魅力.

数学核心素养作为新课程改革深化的重大突破成果，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度和价值观的综合体现.数学抽象素养作为六大素养之一，具有独特、鲜明的特征.如何在课堂上落实核心素养，是当下许多一线教师研究的重点.笔者取其一隅，选择数学抽象素养和章节起始课作为对象，研究如何在章节起始课落实数学抽象素养.笔者认为要做好以下3点：一是根据章节起始内容设计符合学生认知的生活情境和数学情境，启发学生从情境中抽象出关键问题和核心概念；二是根据章节知识目录设计教学流程，将章节知识体系适当融入课堂中，让学生有效抽象出关键命题和知识结构；三是设计适合学生的问题探究和实践活动，通过探究的方式引发学生思考，通过活动的方式促进学生产生知识迁移，让学生在活动中感悟、在探究中发现，从而逐步完善思想方法的教学.