何鹏 张志刚
将函数式F中所有的“·”变成“+”,“+”变成“·”,“o"变成“1”,“1”变成“o”,并保持原函数中的运算顺序不变,则得到的新表达式为函数式F的对偶式.在解题时,依据已知关系式的结构特征,构造结构一致,具有某种对称关系的一对对偶式,就能通过加法﹑减法、乘法等运算,巧妙地求得问题的答案.本文重点探讨一下如何巧妙地构造对偶式.
一.通过取倒数构造对偶式
有些已知关系式中含有成倒数关系的式子,此时可根据已知关系式的结构特征,取倒数,便可构造出方程组,通过解方程求得问题的答案.
例1.已知2f(x)+f(一)=3x ,求函数f()的解析式.解:用↓替换已知关系式中的x ,
得2(与)+f(x)=3,
W)-x ’
2r(x)+f(A)=3x,
因此
2r()+八(s)=宁解得f(x)=2x-!.
显然与x成倒数关系,已知关系式是关于f(t)与f()的关系式,于是用替换已知关系式中的x ,构造出已知关系式的对偶式,通过解方程组求得f(x)的表达式.
例2:
解:
通过取倒数,构造 A 的对偶式 B ,然后借助基本不等式进行放缩处理,就能轻松证明不等式.
例3:
证明:
根据目标不等式的结构特点构造对偶式,便可结合已知条件进行放缩得A+B≥1+兰+李+…+是,从而使问题获解.
二,通过和、差运算构造对偶式
当遇到求值题目时,通常可通过和、差运算来构造对偶式.将两个已知关系式相加、或相减,或将已知关系式中的“+”替换成“一”,构造出另外一个结构一致,“+”“_”符号不一致的式子,再通过加减运算便能求得问题的答案.
例4.已知f(一x)+2f(x)=2* ,求函数f(x)的解析式.解:用–x替换已知关系式中的x ,
得f (x)+2f(一x)=2',
因此 (一X)+ 2f (x)=2",
\f(x)+2f(一x)=2*,解得f(x)= 2+'_2-*.
已知关系式是关于fx)与f(一x)的关系式,而题目中α的取值具有任意性,因此可用-x替换已知关系式中的x ,构造另一个结构类似的关系式,进而把f(x)、f(-x)看作未知数,通过解方程组求得f()的表达式.
例5.已知 a = ,求 a5-2a4-2020a3的
解:
2021-1
设 b = -1,
则 a -b =2,ab =2020,
從而可得 a5-2a4-2020a3=a5-a -ba4-aba3=a5-a5+a4b -a4b =0.
通过对已知条件和所求目标式的观察,可以捕捉到以下信息:表达式“a5-2a4-2020a3”中的“2”可视为2=(+1)-(-1),“2020”可视为2=(+1)×(-1),于是联想到通过和、差运算构造对偶式,然后通过恒等变换求值.
例6.已知α∈ R , sin α+2 cosα= ,则 tan2α=().
A.3B. C.- D.-4 4 3
解:设sin α+2 cosα=的对偶式为sin α-2 cosα=t,
则sin α+2 cosα=①,
由①2+②2得 t =-或 t = , 当 t =-时,sin α=- ,cosα= ,从而可得 tanα=- , tan2α=- ;
同理,当 t = 时,tan 2α=- .
综上可得tan2α=- ,故选C
解答本题的关键在于构造已知关系式的对偶式 sin α-2cos α=t ,建立关于 sinα、 cosα的方程组,通过解方程组求得 sinα、 cosα的值,进而求得问题的答案.
例7.若0<θ<,且3 sin θ+4 cos θ=5,求 tan θ的值.
解:设3 sin θ-4cos θ=t(其中 t 为常数),
则解得 ,,
将其代入 sin2θ+ cos2θ=1,得 t =-,
进而得 tan θ= .与研究
将已知关系式中的“+”变成“-”,构造对偶式,然后通过和、差运算,求得方程的解,即可求得问题的答案.
三、通过配凑系数构造对偶式
对于已知条件为实数a,b满足的关系式 f(a,b)=0,求表达式 pa +qb(其中p,q为常数)的最值问题,可联想到平面向量数量积的坐标表示形式,于是尝试
对已知关系式和目标式进行整体考虑,构造出对偶式,再借助数量积的性质∙≤进行放缩即可解题.
例8.(1)已知实数a,b满足 a2+4b2=1,求 a +b 的最大值;
(2)已知实数 a, b, c 满足 a2+2b2+3c2=1,求 a +2b 的最大值.
解:(1)因为 a +b =a ∙1+2b ∙,
而 a2+4b2=1可变形为 a2+2b2=1,
其对偶式为:12+ è(æ) ø(ö)2= .
设向量 =a,2b,= è(æ)1, ø(ö),
则 a +b =a ∙1+2b ∙= ∙ ≤=∙ 2= ,当且仅当 a = , b =1时取等号.所
以 a +b 的最大值是5.
(2)因为 a +2b =a ∙1+ b ∙,
而 a2+2b2+3c2=1可变形为 a2+ b2=1-3c2,其对偶式为:12+2=3.
设向量 =a, b,=1, ,
则 a +2b =a ∙1+ b ∙= ∙ ≤
= ∙= ≤3,
当且仅当a =b = ,c =0时取等号.
所以a +2b 的最大值是 .
本题中的两个小问题在本质上都是有限制条件的二元函数最值问题.由于目标关系式均为线性关系式,于是联想到平面向量数量积的坐标表示,通过配凑系数构造出 a2+2b2=1的对偶式,再对已知关系式和目标式进行拆分重组,借助数量积的性质∙≤进行放缩,就能顺利解题.
四、通过奇数、偶数变换构造对偶式
整数可分为奇数、偶数.当遇到只含有奇数或偶数的式子,我们便可根据代数式的结构形式构造出对偶式,然后将两式相加、减,以构造出所有的整数项,或者关于自然数 n 的数列,通过寻找数列中的规律,运用整体思想来求得问题的答案.
例9.求证:2×4×6×…×2n < .证明:设 A = × × ×…× ,
24 6 2n
35 7 2n +1,
1234 56 2n -1 2n
23, 45, 67, 2n 2n +1,
所以 A <B ,可得 A2<AB = ,
故A < ,即× × ×…× < .
根據所要求证的不等式中分子、分母的特点,构造
b b +m
五、通过变量轮换构造对偶式
有些题目中的几个变量可轮换,即每个变量的意义、位置相同,可通过轮换变量来构造对偶式,构造出可使用基本不等式的条件,运用基本不等式来解题.
例10.若 a >1, b >1,求证:+ ≥8. 证明:设 A = + ,B = + ,则 A -B == += ≥0,
从而可得 A≥B .
由基本不等式得 B =b+1+ +a+1+
=b -1++a -1+ +4≥2+2+4=8,
当且仅当a =b =2时取等号.
所以 A≥B≥8,即 + ≥8.
仔细观察目标式,可发现 a、b 可轮换,于是构造其对偶式,利用基本不等式证明结论.
例11.若a,b,c都是正数,求证: + +
c +a ≥ 2 .
证明:设 A = + + ,
B = a +b + b +c + c +a ,
则 A +B = + +
≥ + + =a +b +c ,
而 A -B =0,所以 A =B≥ ,
即 + + ≥ ,原不等式成立.
题目中 a、b、c 可轮换,于是构造出对偶式B,将A、 B相加、减,便可构造出可运用基本不等式的条件.
从以上各例可以看出,运用构造对偶式法解题的关键是构造对偶式.在构造对偶式时,要注意将题目的条件和结论关联起来,通过观察、类比、归纳、猜想等手段从中捕捉到有用信息,合理构造出对偶式,通过加工、重组、再生,探求出解题的思路.
(作者单位:山东省宁阳县复圣中学)