函数与导数解答题中的零点问题

■广东省汕头市六都中学 杜龙安

函数零点是函数的重要性质之一,函数零点问题一直是高考全国卷考查的热点、难点问题,常以压轴题的形式出现。该类问题主要考查同学们分析问题和解决问题的能力,考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养,考查分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想方法。试题通过引入参数,由于参数不确定而引起分类讨论,通常设置的问题有:讨论零点个数、证明零点个数、已知零点个数求参数范围、已知零点范围求参数范围等。本文结合例题帮助同学们梳理函数零点问题的考查形式和求解思路,从而提高备考的针对性,最终达到提高高考竞争力的目的。

一、讨论零点个数

例1设函数f(x)=-(a+1)x+alnx,a＞0。

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)讨论函数f(x)的零点个数。

解析:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)。

由已知得f＇(x)=x-(a+1)+=。

当0＜a＜1时,令f＇(x)＜0,得a＜x＜1;令f＇(x)＞0,得0＜x＜a或x＞1。

所以函数f(x)的单调增区间为(0,a)和(1,+∞);单调减区间为(a,1)。

当a=1时,f＇(x)=≥0在区间(0,+∞)上恒成立,所以函数f(x)的单调增区间为(0,+∞);无减区间。

当a＞1时,令f＇(x)＜0,得1＜x＜a;令f＇(x)＞0,得0＜x＜1或x＞a。

所以函数f(x)的单调增区间为(0,1)和(a,+∞);单调减区间为(1,a)。

(2)由(1)可知,当0＜a＜1 时,函数f(x)的单调增区间为(0,a)和(1,+∞),单调减区间为(a,1)。

所以f(x)极大值=f(a)=-a+alna＜0,f(x)极小值=f(1)=-a＜0。

因为f(2a+2)=aln(2a+2)＞0,所以函数f(x)有唯一零点。

当a=1时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增。

又因为f(1)=＜0,f(4)=ln 4＞0,所以函数f(x)有唯一零点。

当a＞1时,函数f(x)的单调增区间是(0,1)和(a,+∞),单调减区间是(1,a),所以f(x)极大值=f(1)=-a＜0,f(x)极小值=f(a)=-a+alna＜0。

因为f(2a+2)=aln(2a+2)＞0,所以函数f(x)有唯一零点。

综上可得,函数f(x)有唯一零点。

评注:该题第(1)问的难度不大,体现试题的低起点,有利于同学们的解答,主要通过对a进行分类讨论后得出函数f(x)的单调区间;第(2)问可根据第(1)问的结果求出函数f(x)的极值,然后再对函数f(x)的极值的符号进行讨论,并结合函数零点存在定理,从而确定函数f(x)的零点个数。该题求解的关键是求函数的极值,以及对函数的极值的符号的讨论,分类讨论思想在该题中起到举足轻重的作用。

二、证明零点个数

例2已知函数f(x)=sinx-ln(1+x)。

(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;

(2)证明:函数f(x)只有两个零点。

解析:(1)函数f(x)的定义域为(-1,+∞),f＇(x)=cosx-,f＇(0)=0,切点为(0,0),故所求切线方程为y=0。

(2)令g(x)=f＇(x)=cosx-(x＞-1),则g＇(x)=-sinx+。

当x∈(-1,0]时,-sinx＞0,所以g＇(x)＞0,所以g(x)单调递增,所以g(x)≤g(0)=0,即f＇(x)≤0,所以f(x)单调递减,又f(0)=sin 0-ln 1=0,所以函数f(x)在(-1,0]上有唯一零点0。

当x∈(π,+∞)时,sinx≤1＜ln(1+x),则f(x)=sinx-ln(1+x)＜0恒成立,所以函数f(x)在(π,+∞)上无零点。

综上所述,函数f(x)只有两个零点。

评注:本题分类讨论的标准与例1不同,主要结合三角函数值的有界性进行分类,整道题的求解思路还是讨论函数f(x)的单调性,求函数f(x)的极值,判断函数f(x)的极值的符号,最后结合函数零点存在定理即可确定函数f(x)的零点个数。

三、已知零点个数求参数范围

例3已知函数f(x)=(2ax2+bx+1)e-x(e为自然对数的底数)。

(1)若a=,求函数f(x)的单调区间;

(2)若f(1)=1,且方程f(x)=1在(0,1)内有解,求实数a的取值范围。

解析:(1)略。

(2)由f(1)=1得2a+b+1=e,则b=e-1-2a。

由f(x)=1得ex=2ax2+bx+1。

设g(x)=ex-2ax2-bx-1,则g(x)在(0,1)内有零点。

设x0为g(x)在(0,1)内的一个零点,则由g(0)=0与g(1)=0 知g(x)在区间(0,x0)和(x0,1)上不可能单调递增,也不可能单调递减。设h(x)=g＇(x),则h(x)在区间(0,x0)和(x0,1)上均存在零点,即h(x)在(0,1)上至少有两个零点。

g＇(x)=ex-4ax-b,h＇(x)=ex-4a。

当a≤时,h＇(x)＞0,h(x)在区间(0,1)上单调递增,h(x)不可能有两个及以上零点。

当a≥时,h＇(x)＜0,h(x)在区间(0,1)上单调递减,h(x)不可能有两个及以上零点。

h(ln(4a))=4a-4aln(4a)-b=6a-4aln(4a)+1-。

设φ(x)=-xlnx+1-e(1＜x＜e),则φ＇(x)=-lnx。

令φ＇(x)=0,得x=。

当1＜x＜时,φ＇(x)＞0,φ(x)单调递增;当＜x＜e时,φ＇(x)＜0,φ(x)单调递减。

所以φ(x)max=,所以h(ln(4a))＜0恒成立。

由h(0)=1-b=2a-e+2＞0,h(1)=e-4a-b＞0,得。

综上所述,实数a的取值范围为。

评注:本题较为复杂,难度较大,主要因为需要多次求导,多次换元,利用数形结合思想分析函数的单调性、最值,结合函数零点存在定理判断函数零点情况。求解整道题的关键是利用导数这个工具,讨论函数f(x)的单调性,从而得到函数f(x)的最小值,然后根据函数f(x)有两个零点得到h(x)＜0,求得实数a的取值范围,最后利用零点存在定理进一步验证。

四、已知零点范围求参数范围

例4已知函数f(x)=,g(x)=-x2+ax+1。

(1)求函数y=f(x)在[t,t+2](t＞0)上的最大值;

(2)若函数y=x2f(x)+g(x)有两个不同的极值点x1,x2(x1＜x2),且x2-x1＞,求实数a的取值范围。

解析:(1)略。

(2)由题意得y=x2f(x)+g(x)=xlnx-x2+ax+1,则y＇=lnx-2x+1+a。

由题意可知y＇=lnx-2x+1+a有两个不等的实根x1,x2(x1＜x2),即方程a=-lnx+2x-1 有两个不等的实根,也就是函数h(x)=-lnx+2x-1 的图像与直线y=a有两个不同的交点。

令h＇(x)=+2=0,得x=。

当0＜x＜时,h＇(x)＜0,h(x)单调递减;当x＞时,h＇(x)＞0,h(x)单调递增。

所以当a＞h(x)min==ln 2 时,x1,x2存在,且x2-x1的值随着a的增大而增大。

下面计算x2-x1=时的情况。

当x2-x1=时,由题意得两式相减可得lnx2-lnx1=2(x2-x1)=ln 2,即=ln 2,所以x2=2x1。

由x2-x1=,得到x2=2x1=ln 2,此时a=h(x2)=-ln(ln 2)+2ln 2-1,所以实数a的取值范围为a＞-ln(ln 2)+2ln 2-1。

评注:本题求解的关键是在求得函数f(x)的单调区间和最小值后,利用数形结合思想得出x2-x1的值随着a的增大而增大,后面就只需求解当x2-x1=时a的值即可。

研究函数零点问题需要借助导数工具讨论函数的单调性,然后求函数的极值、最值,再利用数形结合思想分析函数的变化趋势。函数零点问题有较强的综合性,问题的求解对同学们的数学综合能力要求比较高,对分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想方法的考查尤为透彻,因此,此类题一直是高考得分率较低的题目。同学们只要平时勤于思考,勤于动手,多归纳总结,勤于提炼思想方法,积累解题经验,提升解题能力,就可以攻破此类问题。