平面向量在几何中的应用

⦿安徽省宣城中学 奚 婧

1.引言

平面向量作为一种基本数学工具，实现平面几何问题化归为简单的平面向量运算问题，变抽象的逻辑推理为具体的平面向量运算，实现“数”与“形”的化归与转化，以平面向量为载体的数学试题与平面几何知识联系紧密，具有很强的时代气息，充分体现平面向量在几何中的巧妙应用，倍受命题者的青睐．

2 位置的判定

A．10 B．11 C．14 D．15

分析：由设点法切入，结合平面向量的坐标运算、数量积、模公式等建立相应的关系式.通过代数运算加以合理化简与转化，得到对应的轨迹方程，利用满足条件的点的罗列来确定满足条件整点个数．

整理可得

两边平方，可得(x2+y2)2+12(y2-x2)+36≤(10-x2-y2)2，整理可得x2+4y2≤8.

因此有(0，0)，(0，1)，(1，0)，(-1，0)，(0，-1)，(2，0)，(-2，0)，(1，1)，(1，-1)，(-1，1)，(-1，-1)，(2，1)，(2，-1)，(-2，1)，(-2，-1)，共15个.

故选择答案：D．

点评:利用设点法与代数运算处理时，合理串联起平面向量与几何问题，通过平面向量的坐标运算，确定对应的轨迹问题，进而确定位置关系．这里对于关系式的代数运算比较繁杂，运算量大，要求有比较高的代数运算能力．

3 数值的运算

分析：结合平面几何的图形特征，通过辅助线的构建，借助三角形的外心的实质，综合平面向量的数量积以及直角三角形的定义加以转化，建立两参数的方程组，利用方程组的求解来确定相应的参数值，进而求解两参数的和．

图1

如图1，过外心O作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E，则D，E分别为AB，AC的中点.

=AB·AD=4×2=8；

=AC·AE=6×3=18.

故选择答案：C．

点评:合理利用平面向量的线性关系，结合数量积公式的应用加以巧妙转化.数形结合利用平面几何知识加以化归与转化，这是破解此类平面向量中数值计算问题的常见方法之一．

4 参数的确定

例3(2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练(八省联考)数学·14)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为，．

分析：借助平面向量的法向量法是破解此类问题的另一种特殊的思维方法.根据正方形中边与角的特殊性质，设出该正方形的两条邻边所在直线的方程，结合已知直线OB的方程，分别确定对应的法向量，利用两直线的夹角建立向量关系式，进而确定对应参数之间的关系式，结合斜率公式确定对应的斜率即可．

图2

解析：以正方形的一个顶点为坐标原点建立如图2所示的平面直角坐标系，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为kOB=2，则直线OB的方程为2x-y=0.

设该正方形的两条邻边OA(或OC)所在直线的方程为ax+by=0，则直线OA(或OC)与直线OB的法向量分别为

n1=(a，b)，n2=(2，-1).

设两直线的夹角为θ，则

整理，得3a2-8ab-3b2=0，即(a-3b)(3a+b)=0，亦即a=3b，或3a+b=0.

点评:平面向量的法向量法是实现数学知识之间的交汇与转化的另一种重要方法技巧，合理交汇出平面向量与平面解析几何之间的联系，也是平面向量知识应用的另一充分体现．

5 最值的求解

分析：根据直观的平面几何图形，通过点P在圆Q的左、右半圆(AQ的左、右边部分)上的运动分类讨论，两次利用三点共线，结合平面向量的共线定理与数乘关系建立关系式，并合理化归与转化．

图3

解析：如图3所示，点P为圆Q上任意一点，延长QP交AC于点D，设AC与圆Q相切于点P0，延长P0Q交圆Q于点P1.

综上分析，可知m+n的取值范围是[-1，1].

故选择答案：A．

点评:借助平面向量中“形”的直观，巧妙转化平面几何中对应的关系式为线段的比值问题，数形结合，直观形象地确定相应关系式的取值范围或最值问题，是实现平面向量中“数”与“形”转化与化归的一大应用．

借助平面向量知识，把平面几何中共线(平行)或垂直的位置关系，数值的运算，参数的确定或最值的求解等，转化为平面向量的线性运算、坐标运算、数量积等形式，合理化归转化，巧妙运算破解，实现知识点间的渗透与拓展，形成知识网络体系，激发创新思维，增强实践意识与创新应用，全面提高数学能力，培养数学核心素养．Z