研究高考真题 领悟命题立意 号准考向脉搏

⦿四川省双流中学(文卫星工作室) 曾月波 曹军才

1 引言

波利亚指出：解题的价值不是答案的本身，而在于弄清“是怎样想到这个解法的？”、“是什么促使你这样想，这样做的？”笔者以2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学甲卷第21题为例，从试题题型、背景、设问方式到问题解答多角度领悟命题立意，准确把握考向脉搏，突出思维导图在解题中的应用，不仅给出常规(通法)解法而且还给出简捷(秒杀)解法.

2 真题呈现

(1)当a=2时,求f(x)的单调区间；

(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围.

3 试题分析

图1

4 试题解析

图2

所以,如图2，要函数y=g(x)(x>0)有且仅有两个零点,必须且只需

所以,当x∈(1,e)时,h′(x)>0,h(x)单调递增；当x∈(e,+∞)时,h′(x)<0,h(x)单调递减；

图3

当x=e时,h′(x)=0,h(x)取得极大值，最大值

即当a∈(1,e)∪(e,+∞)时,函数y=g(x)(x>0)有且仅有两个零点.

②当00在(0,+∞)上恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增.

从而,函数y=g(x)在(0,+∞)上不可能有两个零点.

综上①、②,要曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,a的取值范围是(1,e)∪(e,+∞).

⟺方程xa=ax(x>0)有且仅有两解

⟺方程alnx=xlna(x>0)有且仅有两解.

设g(x)=alnx-xlna(x>0,a>0,a≠1),即等价于函数y=g(x)有且仅有两个零点.

①当a>1时，

以下同通法1.

设r(t)=t-1-lnt(t>0),则

所以,当t∈(0,1)时,r′(t)<0,r(t)单调递减；

当t∈(1,+∞)时,r′(t)>0,r(t)单调递增.

因此r(t)的最小值为r(1)=0,所以不等式t-1-lnt>0的解集为(0,1)∪(1,+∞).

从而a的取值范围是(1,e)∪(e,+∞).

②当00在(0,+∞)上恒成立,g(x)在(0,+∞)上单调递增.

因此,函数y=g(x)在(0,+∞)上不可能有两个零点.

综上①、②,要曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,a的取值范围是(1,e)∪(e,+∞).

点评:通法2把原问题等价转化成函数g(x)=alnx-xlna的零点问题.多次转化，化归难度增加，同时运算能力要求也高，秒杀1利用换元法，进一步化归，把问题转化成以经典切线不等式x-1≥lnx为背景的问题，从而更易解决.同样还涉及到分类与整合、函数与方程、函数极限等数学思想.

⟺方程xa=ax(x>0)有且仅有两解

⟺方程alnx=xlna(x>0)有且仅有两解

所以，当x∈(0,e)时,h′(x)>0,h(x)单调递增；

当x∈(e,+∞)时,h′(x)<0,h(x)单调递减；

当a∈(0,e)时,g′(a)<0,g(a)单调递减；

当a∈(e,+∞)时,g′(a)>0,g(a)单调递增；

当a=e时,g′(e)=0.

所以,h(x)在x∈(0,e)上有唯一零点；

所以,当0

②当1

图4

所以,当1

③当a=e时,

所以,h(x)在(0,+∞)上有唯一零点,不合题意.

④当a>e时,当x∈(e,+∞)时,h(x)单调递减且h(a)=0,所以,h(x)在x∈(e,+∞)上有唯一零点；

当x∈(0,e)时,h(x)单调递增，且

图5

所以存在唯一x0∈(0,e),使得h(x0)=0.

即h(x)在x∈(0,e)上有唯一零点.

所以,当a>e时,h(x)在(0,+∞)上有两个零点,符合题意.(如图5)

综上所述,要曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,a的取值范围是(1,e)∪(e,+∞).

⟺方程xa=ax(x>0)有且仅有两解

⟺方程alnx=xlna(x>0)有且仅有两解

所以，当x∈(0,e)时,h′(x)>0,h(x)单调递增；

当x∈(e,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递减；

图6

秒杀法3：原问题

⟺方程xa=ax(x>0)有且仅有两解

⟺方程alnx=xlna(x>0)有且仅有两解

图7

以下同通法1.

5 总结与感悟

本题初看函数结构新颖,细看实则熟悉，再做又感陌生；函数以幂函数为分子,指数函数为分母的分式型结构呈现,虽然两类函数背景熟悉,但以分式型结构呈现又觉新颖,又体现了高考命题的创新性.两个问题设置常规,难度呈现递进式有层次性，第(1)问起点低入手易,让基础薄弱的学生有成就感,充分体现了高考命题的基础性与人文关怀；第(2)问注重梯度,由“知识立意”到“能力立意”,凸显数学本质,让优秀学生能够脱颖而出，高考命题的综合性、应用性.

从题型角度而言,研究两函数图象交点(个数)的问题是常规题型,一般可以转化成研究相应方程根的问题,进而转化成研究函数的零点问题,常常涉及函数与方程、分类与整合、化归与转化、数形结合等数学思想.再观2021年文理科导数题,虽然函数模型不同、难度不同,但问题背景实则相同.Z