基于Green函数和玻尔兹曼变换的致密油藏弹性能量表征方法

曹仁义，辛红刚，杨松林，张晓辉，王鹤楠，毛振华

(1. 中国石油大学(北京)石油工程学院，北京，102249；2. 中国石油长庆油田公司勘探开发研究院，陕西西安，710018)

致密油资源在全球分布广泛，具有良好的发展前景[1-2]，在我国的鄂尔多斯盆地、准噶尔盆地等含油气盆地相继取得重要进展。致密油藏大都通过体积压裂水平井衰竭开发[3-4]，主要驱动能量为弹性能，驱油方式为弹性驱和溶解气驱，定量表征致密油藏地层弹性能量对致密油藏开发具有重要的意义。前期研究表明，致密油藏体积压裂后弹性能量包括压裂后增加弹性能、储层及流体弹性能和溶解气弹性能[5]。

相比较于北美致密油藏，我国致密油藏大都为陆相沉积，储层非均质性强、地层压力低、地层流体弹性能量弱，体积压裂后入地液量对抬升地层压力水平具有重要的作用。对于压裂有效入地液提供的能量，徐黎明等[6-7]提出了准自然能量开发和苏幽雅等[8-9]提出了压裂蓄能式等概念。

对于储层和流体弹性能量，很多学者提出了不同的能量评价方法。汪益宁[10]建立了碳酸盐岩油藏的能量评价体系，准确评价了弹性能量开发阶段油藏能量强弱与生产动态之间的关系。高艳霞等[11]研究了不同储集类型单元驱动能量转换及变化特征，建立了适合塔河油田不同类型单元能量评价模版与指标界限标准。郑松青等[12]提出了原油弹性驱动指数、底水弹性驱动指数和岩石弹塑性变形驱动指数的概念，实现了对缝洞型油藏不同驱动能量的量化评价。张文学等[13]提出能量指示曲线的概念，用于评价地层能量。

然而人们对这些能量的控制范围以及释放过程没有进行系统研究。本文作者基于物质平衡方程，研究致密油藏弹性能量的构成，结合不同缝长、不同渗透率下地层能量控制范围以及不同能量的释放阶段，建立致密油藏体积压裂后弹性能量定量表征方法(本文中以等效液体体积表征弹性能量大小)。实现致密油藏单井弹性能量定量计算，对致密油藏弹性能量定量表征提供了一种新的理论方法，为致密油藏开发能量补充提供一种新的理论分析方法。

1 致密油藏体积压裂后弹性能量构成

致密油藏近井地带经过大规模水力压裂改造，大量入地液滞留在地层中，补充了一定的能量，造成缝网控制区域地层压力抬升，开发初期地层流体驱替能量主要来源于这部分能量[8]。衰竭开发过程中随着地层压力不断下降，储层和流体弹性能不断释放，衰竭开发前期和中期地层流体驱替能量主要来源于这部分弹性能。当地层压力低于原油饱和压力时，溶解在原油中的天然气从原油中分离出来，地层压力降低过程中，从原油中分离的天然气越来越多，形成连续相，该阶段地层流体驱替能量主要来源于这部分天然气弹性能。因此，致密油藏体积压裂后弹性能量包括压裂后增加弹性能、储层及流体弹性能和溶解气弹性能，体积压裂水平井在衰竭开发生产过程中依据弹性能量释放过程划分为压裂后增加弹性能释放阶段、储层及流体弹性能释放阶段、溶解气弹性能释放阶段3个阶段。

2 基于考虑启动压力梯度的Green函数的体积压裂水平井动用边界计算模型

2.1 致密油藏水平井体积压裂后动用区域分区

与常规油藏相比，致密油藏存在启动压力梯度、非达西渗流等现象。弹性能的控制区域取决于压力梯度，由非达西渗流方程(式(1))可知，当压力梯度小于启动压力梯度时，流体不能流动，弹性能量便不能有效波及[14-15]。因此，判断弹性能量的控制区域是计算弹性能量的基础。

式中：v为渗流速度，m/s；G为启动压力梯度，MPa/m；dp/dx为x处的压力梯度，MPa/m；K为渗透率，10-3μm2；μ为黏度，mPa·s。

MONGALVY等[16]将水力压裂措施后的单井泄油区域分为2部分：有效改造体积和周围未改造体积。即从弹性能量控制角度出发，弹性能量控制区域分为缝网控制区域和基质控制区域(见图2)。缝网控制区由于致密油藏经过压裂改造后，区域内的渗流条件得以改善，Rf为垂直井筒方向裂缝控制距离，等于裂缝半缝长Lf；基质控制区由于没有经过压裂改造，渗流条件较差，Rmv为垂直井筒方向基质控制距离，Rmh为沿井筒方向基质控制距离，L为水平段长度。致密油藏体积压裂后弹性能量控制距离由动边界决定，动边界是一个自形成的外边界，动边界内流体可以流动，即动边界处压力梯度等于启动压力梯度。

式中：R(t)为动边界，Rx(t)=Rmh，Ry(t)=Rf+Rmv。

2.2 基于Green 函数源函数的考虑启动压力梯度的动用范围计算模型

Green函数是求解多孔介质中非稳态渗流的一种经典方法。一旦找到了恰当的Green函数，复杂初始条件及边界条件的非稳态渗流问题都可以解决。当Green函数所表征的渗流场中具有一个源或者汇的时候，该Green函数可以称之为源函数。结合Newman积分原理，可以将简单的Green函数源函数构造成具有复杂结构及复杂边界的井型。

致密储层考虑启动压力梯度条件下，弹性微可压缩流体在无限大地层中存在一口直井时的压力分布函数[17]为

式中：pe为原始地层压力，MPa；B为流体体积系数，m3/m3；r为地层中任意一点到井筒的距离，m；rw为井筒半径，m；η为导压系数，m3/s。

当式(4)中流量Q为τ时刻某一瞬时点源强度δV，瞬时真实压力可表示为

式中：为瞬时非线性拟压力，MPa；φ为孔隙度；Ct为综合压缩系数，MPa-1；τ为瞬时时刻，s。

式(5)即为在非达西流动条件下τ时刻，一瞬时点源作用于无限大地层中引起的压力波动在t时刻的表达式。

将平面中无限个点源依次排列，即可得到位于无限大平面上一无限长度线源。设在y轴方向dy长度的线段单位长度的流量均匀，且均为ds，则该点的长度为dsdy。将此点视为一个点源，则dsdy等于瞬时点源强度δV。将δV= dsdy代入式(5)，并转换为笛卡儿坐标表示，则为

式中：xw为源x坐标，m；yw为源y坐标，m。

将式(6)在yw∈( - ∞, + ∞)内进行线积分，并利用高斯公式简化，则线源函数表示为

将平面中无限个线源依次排列，即可得到在无限大平面的一无限长条带源。单位长度线源瞬时流量ds除以宽度dx即可得条带中单位宽度的瞬时流量为dl，即dl= ds/dx。以xw为条带中心，xf为条带宽度，则在式(7)中对变量xw从xw-xf/2 到xw+xf/2进行积分，表示为

误差函数表达式为

则式(8)积分部分可拆分为

再对式(9)进行积分化简，得到：

运用条带源函数与条带源函数做Newman 乘积，形成有限长宽条带源，再将多个有限长宽条带源叠加，即可模拟二维平面内一口体积压裂水平井渗流场(图3)。

对该模型的数学描述为：t时刻历史流量为Qk的第k条裂缝对点(x，y)引起的真实压降为式(13)，该模型求解的关键在于求解每条缝每一离散时间的流量，对于第k条裂缝t时刻的流量Qk,n的求解方程为式(14)。在已知Δp(x，y，xk，yk，t)情况下可求得对应的Qk,n。由于第k条裂缝处的压降Δp(x，y，xk，yk，t)是由N条裂缝协同作用，若生产压差Δp=pe-pwf，则联立求解可得各条裂缝流量的矩阵方程(式(15))。

式中：A′和B′为式(13)改写的系数表达式。

迭代求解式(15)即可求得无限大边界条件下一口体积压裂水平井压力分布。运用压力叠加原理，即可模拟地层中多口井的情况，将压力场进行求导即可得到动边界位置(图4)，进而求得致密储层体积压裂水平井缝网控制区与基质控制区的面积。

2.3 模型验证

表1所示为水平井及储层参数。利用表1中数据，计算致密储层一口体积压裂水平井开发时弹性能量控制范围，利用商业数值模拟器对模型进行验证。图5所示为垂直于井筒方向和沿井筒方向的控制范围计算结果对比。从图5可知，本文模型与商业数值模拟器计算结果差距很小。

2.4 体积压裂水平井动用规律研究

利用表1中数据，计算不同基质渗透率和启动压力梯度下的弹性能量控制范围。图6所示为动边界随时间变化曲线。从图6 可知：无限大地层中，随着生产时间的延长，压力波不断向外扩散，从垂直于井筒和沿井筒方向观察，动边界逐渐扩大。但在生产初期呈现一个较快的扩展速度，后期逐渐减缓，动边界趋于稳定，较大的渗透率和较小的启动压力梯度梯度有助于扩大动边界范围。

表1 水平井及储层参数Table 1 Horizontal well and reservoir parameters

2.5 储层及流体弹性能计算公式

储层及流体弹性能主要来源于缝网控制区和基质控制区，产液量主要来源于地层压力下降造成的此区域内储层孔隙体积变化以及流体体积的变化。缝网控制区内储层及流体弹性能计算公式为

式中：E21为缝网控制区内储层及流体弹性能，104m3；Δp2为原始地层压力与废弃压力的压力差，MPa；NTG为净毛比；Boi为原始条件下原油体积系数，m3/m3。

基质控制区内储层及流体弹性能计算公式为

式中：E22为基质控制区内储层及流体弹性能，104m3。

储层及流体弹性能为缝网控制区域和基质控制区域内储层及流体弹性能之和，即：

式中：E2为储层及流体弹性能，104m3。

3 基于玻尔兹曼变换的溶解气驱弹性能量计算模型

3.1 溶解气阶段含油饱和度随地层压力变化关系

当地层压力下降至饱和压力以下时，溶解在原油中的天然气逐渐分离出来。溶解气阶段渗流复杂，此时油、气两相渗流方程分别为：

式中：p为地层压力，MPa；So为油相饱和度；Sg为气相饱和度；Kro为油相相对渗透率；Krg为气相相对渗透率；μo为原油黏度，mPa·s；μg为溶解气黏度，mPa·s；Bg为溶解气体积系数，m3/m3；Rs为溶解气油体积比，m3/m3。

为了简化方程，对方程式(19)和(20)进行如下变量替换：

引入玻尔兹曼变换：

将αo，βo，αg和βg分别对玻尔兹曼系数ξ求导后代入式(19)和式(20)，展开化简可得：

由式(26)和式(27)可知，压力和含油饱和度都是关于玻尔兹曼系数的函数，联立式(26)和式(27)可得：

通过式(28)即可得到溶解气驱阶段含油饱和度随地层压力变化情况。

3.2 溶解气弹性能计算公式

溶解气弹性能主要来源于缝网控制区和基质控制区，产液量主要来源于地层压力下降造成的此区域内溶解气析出占据孔隙，排出液体。

缝网控制区内溶解气弹性能为

式中：E31为缝网控制区域内溶解气弹性能，104m3；p3为废弃压力，MPa。

基质控制区内溶解气弹性能为

式中：E32为缝网控制区域内溶解气弹性能，104m3。

溶解气弹性能为缝网控制区域和基质控制区域内溶解气弹性能之和：

式中：E3为溶解气弹性能，104m3。

4 压裂后增加弹性能计算模型

4.1 压裂后地层压力抬升

图7所示为致密油藏体积压裂改造后地层压力抬升示意图。从图7可知：压裂液弹性能主要来源于水力压裂改造阶段有效入地液量(总入地液量减去放喷液量)滞留造成的缝网控制区域地层压力抬升[7,18-19]。

对水力压裂后的近井地带，根据物质平衡方程，可得到地层压力变化计算公式如式(32)所示，代入地层相关弹性参数后得式(33)，可利用式(33)计算改造后压力抬升幅度Δp1。

式中：Vpor为孔隙体积，m3；Cf为岩石压缩系数，1/MPa；Vb为基质体积，m3；Δp1为有效入地液抬升压力，MPa；Vos为地层油体积，m3；Vws为地层水体积，m3；Vwy为有效入地液体积，m3；Bo为原油体积系数，m3/m3；Bw为地层水体积系数，m3/m3；Vfrac为压裂缝体积，m3。

4.2 压裂液抬升地层压力后弹性能增加量计算公式

压裂液弹性能主要来源于缝网控制区，产液量主要来源于此区域内地层压力下降造成的储层孔隙体积变化。研究表明，压裂液渗吸作用对采收率具有一定的贡献[20-22]，本文中主要考虑弹性能量对采收率的贡献，暂不考虑压裂液渗吸作用，因此，该阶段弹性能量计算公式为

式中：E1为压裂液抬升地层压力后弹性能增加量，104m3；Af为缝网控制区面积，km2；h为油藏厚度，m。

5 实例分析

鄂尔多斯盆地长7段致密油藏X试验区为2011年开辟的致密油攻关试验区，主要沉积微相为砂质碎屑流和浊流沉积，孔隙结构为低孔-微喉型孔喉结构，平均孔隙度为11.5%，平均渗透率为0.10×10-3μm2。2011-12 开始开采，利用体积压裂技术陆续部署1 000 m 井距水平井4 口。X 试验区体积压裂水平井平均每段有效入地液量216～480 m3，平均抬升地层压力1.12～1.78 MPa。针对鄂尔多斯盆地X 试验区1 500 m 体积压裂水平井，结合表1 数据计算不同压裂段数弹性能量控制距离，进而可以得到图8所示不同压裂段数下的致密油藏弹性能量控制距离和单井控制面积。

考虑不同的油藏厚度和单井控制面积，绘制X试验区有效弹性能量图。所谓有效弹性能是指衰竭开发至废弃压力时所控制的弹性能量，当地层压力较低时，单井产能低，无经济效益，衰竭开采结束。本文研究过程中该废弃压力取值为6.00 MPa，实际取值可根据油田现场变化。图9所示为X试验区1 000 m井距有效弹性能量图。从图9 可以看出：随着油藏厚度或者单井控制面积增加，单井控制的弹性能量增大。X 试验区1 000 m井距体积压裂水平井单井控制面积范围为0.39～0.64 km2，油藏厚度范围为8.90～18.60 m，由图9还可知单井控制有效弹性能量范围为3.65×104～8.42×104m3。

利用弹性能量定量表征模型计算该区初始有效弹性能量(截至计算至地层平均压力为废弃压力6 MPa)总计为27.96×104m3。图10所示为X试验区弹性能量分布图。从图10 可知：压裂液弹性能为3.07×104m3，占比10.98%；储层及流体弹性能为12.24×104m3，占比43.78%；溶解气弹性能为12.65×104m3，占比45.24%。

图11 所示为X 试验区弹性能量分布。从图11可以看出，X井区北区压裂液弹性能从2011-11开始释放，2014-01压裂液抬升地层压力后弹性能量增加量释放完毕，储层及流体弹性能接替释放，2015-05，溶解气开始析出，溶解气弹性能开始释放，截止到2020-06，累积产油量13.22×104m3，采收率4.57%，X北区有效弹性能释放64.09%，压裂液增加弹性能释放100%；岩石及流体弹性能释放80.36%，其中改造控制区域释放92.44%，剩余7.56%，未改造控制区域释放74.14%，剩余25.86%；溶解气弹性能释放10.45%，其中改造控制区域释放11.80%，剩余88.20%，未改造控制区域释放4.69%，剩余95.31%。后期开发主要依靠溶解气弹性能释放，后续应采取一定的措施补充能量，提高能量的利用率，达到提高采收率的目的。

6 结论

1)致密油藏压裂后弹性能量控制区域分为缝网控制区和基质控制区，结合渗流力学和油藏工程方法得出，无限大地层中一口体积压裂水平井弹性能量控制范围在生产初期的拓展速度较快，后期组建减缓并趋于稳定，较大的渗透率和较小的启动压力梯度有助于扩大动边界范围。

2)利用物质平衡方程建立了致密油体积压裂水平井压裂后增加弹性能、储层及流体弹性能及溶解气弹性能的定量表征方法。

3)利用弹性能量定量表征方法对X 试验区进行计算，对弹性能释放阶段及对采收率的贡献进行了分析，结果表明该区压裂后增加弹性能、储层及流体弹性能释放超过80%，后续开采主要依靠溶解气弹性能的释放，应采取相应措施补充地层能量，提高能量利用率，达到提高采收率的目的。