盾构掘进引起的邻近群桩水平位移解析研究

冯国辉，郑茗旺，窦炳珺，杨天鸿，葛佳佳，徐长节,6,7，黄益盘，祝耀东

(1. 浙江大学滨海和城市岩土工程研究中心，浙江杭州，310058；2. 浙江大学平衡建筑研究中心，浙江杭州，310028；3. 浙江省大成建设集团有限公司，浙江杭州，310012；4. 杭州市钱江新城建设开发有限公司，浙江杭州，310020；5. 浙江杭海城际铁路有限公司，浙江嘉兴，314499；6. 华东交通大学江西省岩土工程基础设施安全与控制重点实验室，江西南昌，330013；7. 华东交通大学轨道交通基础设施性能监测与保障国家重点实验室，江西南昌，330013；8. 南昌市政公用工程项目管理有限公司，江西南昌，330000)

随着城市化进程不断加速，城市地下空间的开发越来越受到人们的关注，而城市地铁隧道开挖势必会引起周边地层的变形，盾构掘进时也会不可避免地对邻近桩基产生影响。如何准确预测盾构掘进引起的邻近桩基变形及其内力变化已成为岩土工程领域的研究热点。

学者们对盾构掘进对邻近桩基的影响进行了深入研究[1]。在试验研究方面，MORTON 等[2-3]分别在不同条件下进行了模拟试验，发现在桩土相互作用过程中，盾构掘进会改变邻近桩基周边土体应力-应变场，进而对桩基造成不可忽略的影响；XIANG 等[4]采用室内实验法，研究了当土体为透明土时盾构掘进对周边土体的影响，并得到了土体位移的实测结果。在数值模拟方面，LIU等[5-6]采用数值方法，利用大型有限元软件模拟了软土地区盾构掘进对邻近群桩的影响。多数理论解析法将桩基简化为梁模型并放置在不同的地基模型上，然后利用力学平衡条件获得梁体受力变形解析。目前解析方法大多采用两阶段分析法：第一阶段分析盾构掘进对周边自由土体变形的影响[7]；第二阶段将轴线处土体自由位移转化成荷载附加在桩基上，再采用合理的模型模拟桩-土相互作用来求解出桩基变形[8-9]。李早等[10-11]将桩基简化成Euler-Bernoulli 梁放置在Winkler 地基模型上并结合桩基两端约束情况，利用有限差分法获得盾构掘进引起的邻近桩基竖向位移差分解；梁发云等[12]利用最小势能原理建立被动桩放置在Winkler 地基模型上的变分控制方程，随后解析得到被动桩位移及其内力；可文海等[13]将桩基简化成放置在Winkler 地基模型上的Euler-Bernoulli 梁，利用函数叠加法获得隧道开挖引起的邻近群桩竖向位移解析解。Winkler地基模型计算简单且方便，但该模型忽略了土体的剪切变形，使得邻近群桩位移计算值与实际结果存在较大误差。Pasternak地基模型考虑了土体剪切变形，其计算结果精度较高，因此被广泛地用于土与结构相互作用的研究[14-15]。冯国辉等[16]基于Winkler 和Pasternak 地基模型分别研究了盾构掘进穿越邻近高铁桩基时，隔离桩对高铁桩基的保护效果；梁发云等[17]基于Pasternak 地基模型解析得到附加应力作用下被动桩的水平位移和内力；ZHANG等[18]基于Pasternak地基模型及桩侧土体影响，研究了被动桩在盾构掘进下水平向变形响应；程康等[19]将桩简化成Timoshenko 梁放置在Pasternak 地基上，研究了盾构掘进引起的桩基水平变形。同时，学者们采用更加准确的三参数Kerr 地基模型[20]模拟土与结构相互作用[21]。ZHANG 等[22-23]将桩基简化成Euler-Bernoulli 梁放置在Kerr 地基模型上，解析得到盾构掘进引起的邻近桩基水平变形差分解，并与既有的Winkler 和Pasternak 地基模型比较，证明了Kerr地基模型中桩基变形响应更贴近实际。

综上所述，学者们对盾构掘进引起的邻近桩基受力变形的理论解析进行了大量研究，但在大多数理论分析的第二阶段，都需要结合有限差分理论求解桩基位移，而有限差分法应用于桩端非自由边界时会存在理论缺陷，故有必要利用函数解析法求解桩基受力变形。目前，人们在研究桩土相互作用时主要基于单参数Winkler 和双参数Pasternak 地基模型，较少考虑计算参数明确的Vlasov 地基模型。为此，本文作者采用两阶段法研究桩土相互作用，在第二阶段将盾构掘进引起的土体自由水平位移转化为荷载施加到桩基上，并将施加的附加荷载转化为傅里叶级数代入Vlasov 地基模型控制方程，从而获得桩基水平变形解析解；随后，考虑群桩间的土体遮拦效应求解出盾构掘进引起的邻近群桩水平位移；最后，将工程实测结果以及有限元模拟结果与本文方法的计算结果进行对比，验证本文方法的准确性，并分析地层损失比、隧道埋深、隧道开挖半径对桩基水平位移的影响。

1 理论解析过程

1.1 盾构掘进引起的周边土体自由场水平位移

LOGANATHAN 等[7]针对软土地区土体变形，提出了盾构掘进过程中周边土体自由位移场计算公式，因其计算结果与实测结果吻合较好而被广泛应用于工程实践。根据LOGANATHAN公式[7]可知，隧道开挖引起的邻近土体自由水平位移场的表达式为

式中：ε0为地层损失率；R为隧道开挖半径；x为桩基截面中心点至隧道轴线的水平间距；z为桩身某点与地表的垂直间距；H为隧道轴线与地表竖向间距；v为土体泊松比。

1.2 盾构掘进引起的邻近单桩水平位移解析解

图1所示为盾构掘进引起的邻近桩基水平变形简化计算模型。图1 中，B为桩基直径，L为桩基入土深度，盾构掘进引起的邻近桩基轴线处土体水平位移为U(z)=UT(x,z)。本文将桩基简化成Euler-Bernoulli 梁放置在Vlasov 地基模型上，并进行以下假定：1)桩为弹性体且土为弹塑性连续变形体；2)桩基与土体紧密接触，桩基变形和土体变形协调一致；3)不考虑桩基与土体之间的摩擦。

基于Vlasov 模型，桩基水平位移的控制方程为

式中：W为桩基水平位移；E为桩基弹性模量；I为桩基截面惯性矩；k为桩侧土的弹簧刚度；t为土体剪切刚度；q(z)为桩基受到的水平外荷载。

根据Vlasov地基模型理论，弹簧刚度k以及土体剪切刚度2t可表示为

式中：Es为土体弹性模量；υ为土体泊松比；h=h(x)，为表征X方向变化的函数，大多数情况下取为线性或指数变化的函数，本文采用线性变化的函数形式；He为地基弹性层厚度，取2.5 倍桩基直径。

为了解析得到式(2)中桩基水平位移，可将附加应力q(z)转化成傅里叶级数形式：

式中：

式中：0 ≤z≤L。

通过式(2)以及式(5)可知桩身水平位移解析解W为

式中：c1，c2，c3和c4均为常数；

若(2tB)2≥4kEI，则式(8)成立；若(2tB)2＜4kEI，则式（8)中的φ2需要替换成φ2=其中，is为虚数。

根据Euler-Bernoulli 梁理论可知，桩基的转角Ψ、弯矩M和剪力Q可分别表示为：

式中：ci(i=5，6，…，16)均为常数。

令

则C1，C2，C3，C4之间满足：

式中：χ为传递系数矩阵，

此时，c5～c16均可用c1～c4唯一表示，故c1～c4可由桩基两端边界条件获得。

1)边界条件1。如果桩基两端都是固定端，那么桩基两端位移和转角均为0，则有

将边界条件1代入式(7)和(9)可得

2)边界条件2。如果桩基两端都是自由端，那么桩基两端弯矩和剪力均为0，则有：

将边界条件2代入式(10)和(11)可得：

3)边界条件3。如果桩基桩顶为固定端，桩底为自由端，那么桩顶满足位移和转角为0，桩端弯矩和剪力均为0，则有

将边界条件3代入式(7)，(9)，(10)和(11)可得：

通过式(16)，(18)和(20)便可得到3种不同条件下的c1～c16，将得到的c1～c16代入式(7)和(9)～(11)，最终得到隧道开挖引起的邻近单桩水平位移解析解。

1.3 盾构掘进对邻近群桩水平位移的影响

当盾构掘进引起桩基处土体水平位移改变时，桩身处的土体位移会因相邻桩基的阻碍作用而减小，这种现象称为桩基的遮拦效应。因此，实际桩基处土体水平位移应该为土体自由水平位移和桩基遮蔽水平位移之和，而遮蔽效应和土体自由位移场效应的作用方向是相反的。

图2 所示为隧道与群桩位置示意图，其中，X表示水平方向。假设不存在桩基，盾构掘进引起桩1 处土体自由水平位移为U1(z)，桩1 因盾构掘进引起的实际水平位移为W1(z)，那么在遮蔽效应下桩1处产生的遮蔽位移ΔW1(z) 为

根据土体遮蔽效应[19]可计算得到由桩1遮蔽效应引起的桩2处土体位移U21(z)：

式中：λ为水平向土体传递系数；U2(z)为盾构掘进在桩2位置产生的土体水平自由位移。

此时，在盾构掘进与桩1共同影响下桩2位置处的实际土体水平位移为

基于此，本文计算盾构掘进引起的邻近群桩水平位移解析解的具体计算步骤如下。

步骤1：采用式(1)计算出盾构掘进引起的邻近桩基轴线处的土体水平自由位移Ui(z)，其中，i=1，2，3，…，n。

步骤2：按照2.2 节中的方法可计算得到盾构掘进引起的各邻近桩基在单桩情况下的水平位移Wi(z)。

步骤3：根据式(21)和式(22)可计算得到在考虑邻近桩基遮拦效应时，i桩轴线处实际土体水平位移)=Ui(z)+ ∑Uij( )z，其 中，j≠i，i，j=1，2，3，…，n。

步骤4：将步骤3 得到的实际土体水平位移代入式(5)得到隧道开挖作用下邻近群桩附加应力q(z)，将获得的附加应力q(z)代入式(2)，按照本文解析方法便可解析得到桩基i在盾构掘进与邻近既有桩基的共同影响下的群桩水平向变形响应。

2 算例验证

2.1 单桩算例

ZHANG等[18]以某工程为背景研究盾构掘进对邻近单桩的影响。工程概况如下：桩径为1.2 m，桩身有效长度为28.0 m，桩基模量为30 GPa；隧道轴线与地面竖向净距为15 m，隧道轴线与桩基轴线水平净距为5.7 m，隧道分2 个阶段开挖，成型隧道直径为8.25 m，地层损失率为0.5%。基于文献[18]中的地层分层情况，利用加权平均值法计算得到土体模量Es=54 MPa。

将文献[18]中的2 种计算方法与本文计算方法进行对比，结果如图3所示。文献[18]中的Winkler和Pasternak地基模型均是基于差分法的计算结果，且桩顶桩端边界条件均为自由端，而在本文采用的计算方法中，一方面通过解析得到桩基水平位移的显式解，另一方面，可以考虑到桩顶固定桩端自由的情况，此时桩两端约束情况更加符合实际工程。由图3可以看出，本文方法计算结果更加接近实测结果，其精度远远高于Winkler地基模型差分解的精度；与Pasternak 差分解相比，本文方法计算得到的桩基水平位移峰值也更接近实测结果。

2.2 单桩实测验证

以杭州软土地区在建地铁隧道侧穿既有邻近桥梁桩基工程为例，盾构开挖与桥梁桩基的位置示意图如图4所示，其中x为桩基与隧道轴线水平距离。

如图4 所示，桩长L=15 m，桩基模量Ep=30 GPa，桩基直径B=1 m；隧道半径R=4.90 m，隧道中心线埋深H=20.18 m，隧道中心线到桩基水平净距x=4.96 m，竖向净距y=5.18 m，地层损失ε0=1%；根据勘测报告可知，土体泊松比v=0.27。地层土为层状分布，采用加权平均值法计算得到土体模量Es=22 MPa。现将桥梁桩基视为放置在Vlasov 地基模型上的Euler-Bernoulli 梁，假设桩顶桩端均为自由端，分别得到3种不同算法下桩基的水平位移与实测位移对比，如图5所示。

由图5 可知，相比于差分法计算得到的Winkler 和Pasternak 地基模型半解析解，本文方法的计算结果更加接近于实测结果。这是因为本文方法计算得到的是桩基水平变形解析显式解。

2.3 群桩算例

为了验证本文所提方法用于群桩水平位移计算的准确性，将LOGANATHAN等[7]采用三维边界元程序GEPAN 模拟得到的群桩水平位移与本文方法计算结果进行对比，结果如图6所示。图6中，假设土体为各向同性的弹性均匀体，土体弹性模量Es=24 MPa，泊松比v=0.5，桩基模量Ep=30 GPa，桩基入土深度L=25 m，桩基直径B=0.8 m，隧道半径R=3 m，隧道轴线埋深H=20 m，地层损失率ε0=1%。第1 排桩(前桩)距离隧道轴线水平净距为4.5 m，第2 排桩(后桩)距离隧道轴线水平净距为6.9 m，两桩轴线间距为2.4 m。

将群桩中的桩基简化成Euler-Bernoulli 梁放置在不同的地基模型上，以研究隧道开挖对后桩水平位移的影响，Winkler 和Pasternak 地基模型差分解结果与本文方法计算结果对比如图7 所示。图7中，3 种方法均将桩基两端简化成自由端。由图7可以看出，3种方法所得计算结果呈现出的变化趋势基本上是一致的，但是相比于传统的Winkler和Pasternak 地基模型的差分解，本文方法得到的计算结果更接近GEPAN 模拟结果，从而进一步证明了显式解析解的优越性。

3 参数分析

为了研究群桩桩基中地层损失率、隧道直径、土体模量变化对后排桩基水平向变形响应的影响，取如下参数进行算例分析：1)隧道开挖相关参数，H=20 m，R=3 m，ɛ=1%。2)桩基的计算参数，B=1 m，L=25 m，Ep=30 GPa。假设土中存在2根桩长相等的桩基，分析盾构掘进对邻近群桩的影响，前桩位置处轴线到隧道中心线的水平间距x1=4.5 m，后桩位置处轴线到隧道中心线的水平间距x2=7 m。土体模量Es=24 MPa，土体泊松比v=0.5。在参数分析过程中，当研究某一参数改变对邻近群桩水平位移的影响时，其他参数保持不变。本文在对参数进行分析的过程中，桩基两端均考虑为自由端且仅计算后排桩的水平位移。

3.1 地层损失率

取5组不同的地层损失率分析群桩在盾构掘进影响下的水平向变形响应，ɛ分别为0.25%，0.50%，0.75%，1.00%和1.25%，并采用本文提出的方法计算群桩水平位移。

图8所示为隧道开挖引起的不同地层损失率对邻近2 根邻近桩基水平位移的影响。由图8 可知：当地层损失由0.25%增加到1.25%时，后桩的水平位移均增大，且增幅基本保持不变。这是因为，随着地层损失率增大，土体水平位移增大，而桩基处土体自由位移场与地层损失率呈正比，当土中桩基受到以相同比例增大的土体位移荷载的影响时，其水平位移也会呈等比例增大。

3.2 隧道埋深

取5组不同的隧道开挖深度分析群桩在盾构掘进影响下水平向变形响应，隧道埋深分别为16，18，20，22 和24 m，并采用本文提出的方法计算群桩水平位移。

图9所示为不同隧道埋深下隧道开挖对邻近群桩水平位移的影响。由图9可知，随着隧道埋深增大，邻近群桩的最大水平位移也会逐渐增大，且桩身产生最大水平位移的位置深度也逐渐增大。这是因为，桩身位置越接近隧道开挖深度，由隧道开挖引起的桩身土体水平自由位移也最大。

3.3 隧道开挖半径

取5组不同的隧道开挖半径分析群桩在盾构掘进影响下的水平向变形响应，隧道开挖半径分别为2.50，2.75，3.00，3.25 和3.50 m，并采用本文提出的方法计算群桩水平位移。

图10 所示为不同开挖半径下隧道开挖引起的邻近群桩的水平位移。由图10 可知，当隧道开挖半径从2.5 m 增加到3.5 m 时，群桩水平位移逐渐增大，且位移增速也增大。由LOGANATHAN 公式[7]可知，随着隧道开挖半径增大，开挖引起邻近桩基处的土体自由水平位移会呈非线性增大，因此，邻近群桩水平位移呈非线性增大。

4 结论

1)由LOGANATHAN 公式计算得到盾构隧道施工引起的周边自由场水平位移，将土体水平自由位移转化为傅里叶级数荷载附加在单桩上，得到考虑桩基两端不同约束情况下的水平位移解析解，随后得到考虑了桩基土体的遮拦效应的盾构掘进引起的邻近群桩水平位移的解析解。

2)通过将本文方法计算结果与已有的Winkler和Pasternak 地基模型半解析解计算结果以及工程实测结果进行对比，验证了本文方法的准确性。

3)随着地层损失率及隧道开挖半径增大，邻近群桩水平位移逐渐增大；随着隧道埋深增大，邻近群桩水平位移逐渐增大，且桩身产生最大水平位移的位置深度也逐渐增大。