嫦娥五号探测器多圈调相地月转移应急轨道设计与分析

曹鹏飞，刘 勇，马传令，陈 明

(1. 北京航天飞行控制中心，北京 100094；2. 航天飞行动力学技术重点实验室,北京 100094)

0 引 言

2020年12月17日，嫦娥五号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定着陆区，至此，中国探月工程三期“绕”、“落”、“回”圆满收官。此次嫦娥五号任务采用CZ-5运载火箭，于海南发射场发射，历经发射段、地月转移段、近月制动段、环月飞行段、着陆下降段、月面工作段、月面上升段、交会对接段、环月等待段、月地转移段、再入回收段等11个阶段，标称轨迹控制为29次。

在任务准备时期，针对关键控制过程的应急轨道设计与标称轨道设计同等重要。尤其是探测器入轨、近月制动、动力下降、月面起飞等决定任务成败的关键弧段，必须给予充分的故障预案。嫦娥五号发射段，也称上升段，指从运载火箭点火起飞开始至探测器与运载火箭分离为止，将探测器射入近地点高度约200 km，远地点高度约38万km的地月转移轨道。在上升段末期，火箭二级发动机二次开机，轨道半长轴迅速增大，若期间火箭发动机发生提前关机故障，将直接导致探测器入轨(能量)半长轴不足。倘若半长轴偏差比较小，通过中途修正控制即可对轨道进行矫正；但当半长轴偏差比较大时，中途修正所需推进剂可能超出探测器余量，影响后续任务正常执行。针对该问题，文中提出多圈调相地月转移轨道应急策略。

多圈调相地月转移轨道的应用早期可追溯至中国嫦娥一号任务，其于2007年10月24日由长征三号甲(CZ-3A)运载火箭发射升空，之后进入绕地飞行的调相轨道。在经历远地点周期调整和近地点两次较大机动后，分别进入周期为16 h、24 h、48 h的调相轨道，于地月转移窗口打开时再次回到近地点，施加较大机动进入地月转移轨道，于11月5日进入月球捕获轨道，成为中国首颗月球卫星。嫦娥一号卫星通过逐步增加绕地轨道周期实现地月转移，三次比较大的机动均是在近地点执行，对半长轴的抬升效率近乎最高。此次嫦娥五号任务，采用入轨直接地月转移策略，但在应对火箭发动机提前关机故障时，嫦娥一号任务的转移策略仍很有借鉴意义。

目前，关于月球转移轨道的研究多集中在地月转移轨道和月地转移轨道部分。随着火箭运载技术的发展，现月球探测任务多为入轨后直接地月转移，而多圈调相地月转移轨道需要在调相轨道等待数圈，总时间较长，因此相关研究和应用较少。国内较早有杨维廉等在嫦娥一号任务中较为详细地给出了整体飞行轨道设计思路和调相轨道设计方法。国外较早由Dunham等、Uesugi等、Carrington等将调相思想引入探月飞行中，发现可以降低地月转移燃料消耗并能扩展发射窗口等。因此，多圈调相地月转移轨道多应用于早期火箭运载能力有限的探月任务，但在中国即将执行的探月四期和已进入“关深”阶段的载人登月任务中，仍具有重要的应用价值，其轨道设计方法与轨道特性仍需进一步研究。

针对嫦娥五号任务上升段火箭二级发动机可能出现的提前关机故障，或发生入轨大偏差导致中途修正速度增量超限等问题，提出了多圈调相地月转移控制策略。首先分析了不同入轨半长轴偏差、不同中途修正时刻与中途修正速度增量消耗之间的关系；其次，基于月球公转周期，设计了解析窗口搜索与多圈调相地月转移轨道一体化求解算法，实现了调相圈数、调相周期的快速规划与地月转移轨道的联合求解，有效降低了速度增量消耗。通过实例，验证了策略的正确性与可行性，并通过大量仿真算例分析了轨道特性。研究结果可应用于后续中国月球探测任务入轨期间的故障预案设计。

1 动力学模型

月球采样返回任务背景复杂且工程要求苛刻，轨道求解精度要求更为严格。传统的二体模型、双二体模型和限制性三体模型等难以满足轨道设计精度要求，必须考虑引入各种摄动加速度的高精度模型。

1.1 高精度动力学模型

在地心J2000坐标系中，考虑地球中心引力、日月引力摄动、地月非球形引力摄动和大气阻力摄动等，探测器轨道动力学方程如式(1)所示：

(1)

式中：为地心位置矢量；为地球引力常数；为N体引力摄动加速度，星体间空间几何关系通过DE421星历求解；为地球非球形摄动，取WGS84引力场模型6×6阶计算；为月球非球形摄动，取LP165P引力场模型6×6阶计算；为太阳光压摄动；为大气阻力摄动加速度；为推进加速度。忽略地球潮汐和相对论效应等微小摄动量的影响。

1.2 微分修正算法

微分修正算法和B平面参数在深空轨道设计中被广泛应用，也是本文的基础算法。

假设地月转移轨道的约束变量为维的向量，控制变量为维向量。前者可根据月球探测任务目标轨道的要求而定；后者取转移轨道修正点的轨道参数，一般为速度增量。二者之前存在函数关系，如下

=()

(2)

若控制变量初值为，对应的约束变量值为，将式(2)在处进行泰勒展开并取一阶项，得：

(3)

式中:为雅克比矩阵，反映了约束变量相对控制变量微小改变的敏感性，工程任务中可采用差分法进行数值求解。

已知与目标约束存在一定偏差-，则利用式(3)，可迭代计算出修正-所需的Δ，如下式

Δ=Δ

(4)

若≠，则可利用最小范数广义逆计算Δ，如下式

Δ=(·)Δ

(5)

关于B平面参数的内容可参考文献[8,19]，限于篇幅，这里不再进一步展开介绍。

1.3 火箭发动机提前关机故障对入轨影响分析

火箭发动机提前关机故障主要影响入轨轨道的半长轴和偏心率，对其它轨道参数影响不大。如图1所示，给出了嫦娥五号任务上升段后期入轨半长轴随时间变化趋势图。

图1 二级二次点火后半长轴变化趋势图Fig.1 The change trend of the semi-major axis after the secondary ignition of the secondary engine

由图1可知，探测器正常入轨时刻为，在前约400 s内，轨道半长轴随时间的推移近似指数增长，从约6×10km增加至约2×10km。若期间，火箭发动机发生提前关机故障，通常制定如下应急控制策略：1)在+17 h实施中途修正控制，继续完成后续飞行任务；2)若半长轴偏差较大，提前实施中途修正控制，继续完成后续飞行任务。如图2所示，给出了不同提前关机时刻、不同中途修正时刻(相对)，中途修正消耗的速度增量变化情况。

图2 不同提前关机时刻、不同中途修正时刻对应速度增量消耗变化趋势Fig.2 The change trend of incremental speed consumption corresponding to different early shutdown time and different midcourse correction time

由图2可知，火箭发动机提前关机故障发生时机越靠前、中途修正时刻越靠后，中途修正消耗速度增量越多。嫦娥五号探测器标称入轨半长轴为206817.8 km，若发生火箭发动机提前关机故障，在保证完成后续采样返回任务的前提下，地月转移段最大可用速度增量约为173 m/s。以此为上限，对比图2和图1可计算出不同中途修正时刻，对应的最小半长轴和最大入轨半长轴偏差Δ，结果见表1。

表1 不同修正时刻对应的最大半长轴偏差Table 1 The maximum semi-major axis deviation corresponding to the different midcourse correction time

由表1可知，中途修正时刻越靠后，所能修正的半长轴偏差越小。+3 h中途修正控制对应的最大半长轴偏差约为7.070×10km，若半长轴偏差进一步增大，中途修正消耗的速度增量将超限。

2 多圈调相地月转移轨道设计

针对月球探测器入轨半长轴偏差超出中途修正能力问题，本节给出多圈调相地月转移轨道方案，并制定高精度模型下的求解策略。

2.1 多圈调相地月转移轨道方案

在进行月球探测任务发射窗口规划时，为应对可能出现的火箭推迟发射等情况，通常要求至少连续两个月存在发射窗口。

若当月窗口的上升段出现火箭发动机提前关机故障导致半长轴偏差过大超出中途修正能力，或入轨后出现短期内无法排除的故障等，均可采用多圈调相地月转移轨道方案。如图3所示，给出一个典型的多圈调相地月转移轨道示意图。由于火箭发动机提前关机，探测器入轨后进入半长轴偏差较大的绕地椭圆轨道，运行一圈再次到达近地点时施加调相机动进入调相轨道，在调相轨道上运行数圈于最后一次到达近地点时施加地月转移机动进入地月转移轨道，之后择机实施中途修正控制以修正定轨和控制偏差，到达近月点时实施近月制动被月球捕获。

图3 多圈调相地月转移轨道示意图Fig.3 Diagram of the multi-cycle phase modulated Earth-Moon transfer trajectory

2.2 多圈调相转移轨道优化模型

下文从设计变量、约束条件和目标函数三方面给出多圈调相地月转移轨道优化模型。

由图1可知，火箭发动机提前关机故障发生时机不同时，入轨对应的半长轴偏差也不同。本节给出适用于不同半长轴偏差的多圈调相地月转移轨道规划模型。设计变量为：近地点高度、远地点抬升机动脉冲Δ、总转移时间Δ(包含调相段时间与地月转移时间)、调相轨道圈数、调相机动时刻、调相轨道周期Δ、调相机动脉冲Δ，以及地月转移时刻、地月转移时间Δ、地月转移机动脉冲Δ。上述设计变量均已知时，在高精度模型下可确定一条多圈调相地月转移轨道。

下文给出各设计变量确定方法，一般由任务给定，参考嫦娥一号任务取600 km；选在探测器入轨后首次回到近地点的时刻；选在探测器最后一次过近地点的时刻；Δ与可由式(6)确定，如下

(6)

式中：Δ为月球公转轨道周期，取27.32 d；Δ为入轨偏差轨道周期，根据定轨结果确定；int为向下取整符号。由与Δ，进一步可由式(7)确定Δ，如下

(7)

因此，一条多圈调相地月转移轨道可由式(8)所示的四个元素确定，即

=[Δ,Δ,Δ,Δ]

(8)

由于多圈调相地月转移轨道瞄准下个月奔月，总的转移时间相对固定，这里以总速度增量消耗为优化目标，即目标函数为

min=Δ=Δ+Δ+Δ

(9)

2.3 多圈调相转移轨道求解策略

针对上述优化模型求解问题，提出如下控制策略，具体流程如图4所示。

图4 多圈调相地月转移轨道求解流程图Fig.4 Solution flow chart of the multi-cycle phase modulated Earth-Moon transfer trajectory

(1)远地点机动抬高近地点。受大气阻力、月球引力等摄动影响，探测器在偏差轨道上运行一圈后可能存在撞地风险。因此，入轨后应首先对下一次过近地点时的高度进行预报。若高度低于600 km，则在远地点施加机动脉冲Δ，将近地点抬高至600 km；反之，则取消机动脉冲Δ。

(2)近地点机动进入调相轨道。根据式(6)和式(7)规划与Δ，期间为避免推进剂额外消耗，应以升轨调相为主，即调相轨道半长轴大于入轨偏差轨道半长轴。若调相轨道的远心距大于地月距离，可以考虑降轨调相。

(3)远地点高度保持。探测器在调相轨道运行期间，每一圈均需进行近地点高度预报，若高度低于600 km，则需在远地点实施抬升机动，脉冲记为Δ，将近地点抬高至600 km，否则进入(4)。

(4)近地点周期保持。预报圈后探测器最后一次到达近地点的时刻，若与偏差较大，则需在近地点实施周期保持机动，脉冲记为Δ，否则进入(5)。

(5)近地点地月转移机动。在探测器到达地月转移入口时，施加Δ进入地月转移轨道，瞄准地月转移时长、到达近月点时的高度和月固系轨道倾角为标称值。在求解Δ时，可采用二体活力公式解析求出初值Δ，然后在高精度模型下将近月点高度约束与倾角约束转化为B平面参数，采用微分修正策略迭代求解。

(6)中途修正。根据近月点参数偏差情况择机安排中途修正控制，控制目标与地月转移机动相同。

(7)近月制动。探测器到达近月点时，实施近月制动控制，以实现月球捕获，控制目标是目标半长轴。

3 实例验证与轨道特性分析

3.1 多圈调相地月转移求解策略校正

以嫦娥五号任务2019年窗口上升段末期弹道为例给出设计实例，参数配置如下：探测器标称入轨时刻为9 Nov 2019 07∶26∶24.061 LCLG，由于发射火箭提前关机故障造成入轨时刻为9 Nov 2019 07∶24∶50.105 LCLG，轨道六根数见表2。其中，为半长轴，为偏心率，为轨道倾角，为升交点赤经，为近地点幅角，为真近点角。半长轴偏差约9.88×10km，由表1可知，该半长轴偏差已超出+3 h中途修正能力。

表2 地心J2000坐标系下轨道根数Table 2 The orbit elements under the J2000 coordinate system

以上述偏差轨道为输入，地月转移时间设为112 h，采用2.3节的求解策略，计算多圈调相地月转移轨道，得到的轨道飞行轨迹如图5所示，相应的轨道参数及各次机动消耗的速度增量见表3。其中，Δ为近月制动速度增量；为到达近月点时刻，日期为11 Dec 2019 00∶00∶00.000 LCLG。

图5 J2000坐标系下不同视角的多圈调相地月转移轨道飞行轨迹Fig.5 Multi-cycle phase modulated Earth-Moon transfer trajectory with different perspectives under the J2000 coordinate system

表3 多圈调相地月转移轨道参数Table 3 The orbit parameters of multi-cycle phase modulated Earth-Moon transfer trajectory

此计算过程在计算机CPU为2.67 GHz的Matlab环境下进行，单条轨道的计算时长不超过30 s。因此，利用该方法进行多圈调相地月转移轨道设计时，收敛速度很快，适合用于大规模的轨道特性分析。

3.2 多圈调相地月转移轨道特性分析

在任务设计阶段，工程人员往往对单条轨道参数并不关心，而是更加注重这一类轨道的一般规律和特性。本节在3.1节算例的基础上，取不同的火箭提前关机时刻，模拟不同的入轨半长轴偏差，范围设置为1×10～1.2×10km，约以1×10km为步长，以此为输入分析多圈调相地月转移轨道特性。

首先，分析半长轴偏差和地月转移速度增量消耗之间的关系。在二体模型下利用活力公式，解析计算入轨偏差轨道与远地点在月球的转移轨道在近地点处的速度差，从而得到地月转移机动速度增量。

如图6所示，给出了不同半长轴偏差对应的地月转移机动速度增量变化趋势图。二体模型下，随着半长轴偏差从1×10km增至1.2×10km，地月转移机动所需的速度增量从0附近单调递增至150 m/s，符合所需轨道能量随半长轴偏差增大而增大的特性。

图6 二体模型下半长轴偏差与地月转移速度增量之间的关系Fig.6 The relationship between the semi-major axis deviation and the speed increment of the Earth-Moon transfer maneuver under the two body model

采用2.3节求解策略，逐条计算出由不同半长轴的偏差轨道出发，经多圈调相、地月转移后，达到近月点的转移轨道，各次机动消耗的速度增量、到达近月点的时刻信息见表3。对应的半长轴偏差与地月转移段总速度增量之间的关系如图7所示。

图7 高精度模型下半长轴偏差与地月转移段速度增量之间的关系Fig.7 The relationship between the semi-major axis deviation and the speed increment of the Earth-Moon transfer segment under the high precision model

由图7可知：(1)与二体模型不同，高精度模型下多圈调相地月转移段所需的速度增量随着半长轴偏差的增大，并非单调递增，而是呈先增大后减小再增大的变化趋势；(2)当半长轴偏差约为3×10km，速度增量消耗达到极大值，当半长轴偏差约为6×10km，速度增量达到极小值；(3)半长轴偏差大于6×10km时，随着半长轴偏差的增大，速度增量消耗也增大，这明显是因为所需增大轨道能量随半长轴偏差增大而增大的缘故。

3.3 月球引力摄动影响分析

仿真中发现，探测器在不同偏差轨道上运行，受地月关系影响，远地点在月球影响球边缘或进入月球影响球内时，易受月球引力影响被月球“加速”，或被月球“减速”，由此将导致探测器近地点高度抬升或降低。当轨道近地点高度低于一定程度时，需要进行近地点高度保持控制。为分析图6与图7所呈现特性差异的原因，分析半长轴偏差和近地点高度保持与抬升速度增量之间的关系，如图8所示。

图8 半长轴偏差与近地点高度抬升与保持的速度增量之间的关系Fig.8 The relationship between the semi-major axis deviation and the speed increment of perigee elevation and maintenance

由图8可知：随着半长轴偏差的增大，近地点高度抬升与保持的速度增量从0先急剧增大后缓慢减小，当半长轴偏差为3×10km，速度增量达到极大值。原因如下：当半长轴偏差为1×10km时，探测器在远地点附近将被“加速”，近地点高度抬升无撞地风险，因此不需要进行高度保持控制；当半长轴偏差为3×10km，探测器在远地点附近被“减速”最严重，由此导致近地点高度抬升与保持消耗的速度增量最多。

4 结 论

本文针对嫦娥五号任务上升段末期可能出现的火箭发动机提前关机故障，及半长轴偏差较大问题，提出了多圈调相地月转移轨道应急控制策略。设计了解析窗口搜索与多圈调相地月转移轨道一体化求解算法，有效降低了速度增量消耗，扩大了半长轴偏差适应范围。并在仿真中发现，受月球引力摄动影响，多圈调相地月转移段所需的速度增量随着半长轴偏差的增大呈先增大后减小再增大的变化趋势，在半长轴偏差约为3×10km时，地月转移总速度增量消耗达到极大值。