立足基础强化算理 突出能力提高素养——以2021年高考数学全国乙卷第22题为例

安徽 张 刚

一、问题提出

2021年的全国高考已经落下帷幕，本文以2021年全国乙卷理科第22题的解法探究为例，通过对试题考查的背景溯源、知识梳理以及变式探究等进行深入分析，在立足基础、强化算理、突出能力、平稳过渡的命题导向上，重点考查坐标系与参数方程.这类试题可以很好地考查我们的基本数学概念，普通方程与参数方程的互化、曲线方程及直角坐标方程与极坐标方程的互化知识，借助平面几何图形的呈现，较好地实现对考生化归与转化、数形结合、分类讨论等数学思想方法的深度考查，体现考生理性思维水平和能力的区分功能.本文以2021年全国乙卷第22题为例，立足学生学情，强化算法算理的基础之上，突出考查数学思维能力水平，从而提升学生核心素养，由此引发高三复习教学上的几点思考.以期为高考备考提供参考和启发.

二、原题呈现

【题目】(2021·全国乙卷·22)在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2,1)，半径为1.

(1)写出⊙C的一个参数方程；

(2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.

评注：本题主要考查圆的普通方程和参数方程的互化、圆的切线方程及直角坐标方程和极坐标方程的互化等.通过求圆的切线方程，考查基本的运算能力，数形结合思想，化归与转化思想等，落实逻辑思维与数学运算核心素养.

三、试题探究

1.总体评价

2021年全国乙卷第22题基本上保持了全国卷Ⅰ的出卷风格，在试卷中仍然是第22题考查选修4-4教材中的坐标系与参数方程部分.该题设计分值都是10分，试题一题两问，层层递进，过渡自然，既考查了极坐标与参数方程的主干知识，又考查了解析几何、函数与方程(或方程组)、化归与转化、数形结合、分类讨论等重要的数学思想，通过运用多种坐标系解决数学问题，体会坐标思想的重要作用.这类试题在近几年的全国卷中主要考查的方向就是不同坐标系下的两种方程的相互转化，进而适当结合平面解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系(特别是交点问题、距离问题)考查相关参数问题、最值问题等.

2.知识探源

2017年-2021年全国乙卷(或全国卷Ⅰ)文理第22题的考查方向，列表如下：

高考年份2017年2018年2019年2020年2021年考查主要知识点 椭圆的普通方程与参数方程互化,直线与椭圆的位置关系 直线与圆的极坐标方程与直角坐标方程互化,直线与圆的位置关系 椭圆的参数方程与普通方程互化,直线的极坐标方程与直角坐标方程互化圆的参数方程与普通方程互化,直线的参数方程与普通方程互化 圆的普通方程与参数方程互化,直线的直角坐标方程与极坐标方程互化

从上表我们可以得到一些结论：(1)从命题的方向来看，试题方向越来越稳定.例如只有2017年与2019年考查了椭圆的参数方程与普通方程的互化问题，其余年份都是考查圆的普通方程与极坐标方程、参数方程的互化问题；(2)从考查的重点来看，试题越来越重视坐标系与参数方程这部分的基础知识考查.例如,近五年试题的第一小问都考查直线方程与曲线方程的普通形式、极坐标形式以及参数形式之间相互转化的问题；(3)从涉及的知识点来看，试题越来越综合，强化关键能力，注重学生的综合运用多个知识点解决数学问题的能力.例如，2017年、2019年、2021年第二小问都是借助点到直线的距离公式转化，进而考查最值问题，参数求解问题，渗透化归与转化，数形结合，分类讨论等数学思想，但总体难度不大.

3.知识梳理

有关不同坐标系下的直线方程与曲线方程的互化，都是源于教材4-4坐标系与参数方程这部分内容，教材给出了极坐标与直角坐标的互化公式，以及直线、曲线普通方程与参数方程的互化公式，这些都在近几年全国各地高考(或模拟)试题中频繁出现，因此，值得我们引起高度重视.列表如下：

3.1 直角坐标与极坐标的相互转化

设点P的直角坐标为(x,y)，它的极坐标为(ρ，θ)，

互化的使用条件互化公式①极点与原点重合②极轴与x轴非负半轴重合③取相同的单位长度x=ρcosθ,y=ρsinθ,{ρ2=x2+y2,tanθ=yx{

3.2 直线、圆锥曲线普通方程与参数方程的相互转化

轨迹普通方程参数方程直线y-y0=tanα(x-x0)α≠π2,点斜式()x=x0+tcosα,y=y0+tsinα{(t为参数)圆(x-a)2+(y-b)2=r2x=a+rcosθ,y=b+rsinθ{(θ为参数)

续表

4.解法探究

5.变式链接与简评

5.1 条件结论互换位置

(1)当k=1时，C1是什么曲线？

(2)当k=4时，求C1与C2的公共点的直角坐标.

评注:本题第一小问考查的就是圆的普通方程与参数方程的逆向转化，第二小问求公共点问题也可以类比第一小问将k=4代入C1，消去参数后得方程组，联立解决问题.这类问题，消去参数是关键.

5.2 曲线方程变为直线方程

实际上，我们对2021年全国乙卷第22题还可以再改编一些变式，比如，将题中已知条件中的曲线方程变成直线方程，又该如何求它的参数方程或极坐标方程？如何求直线与曲线间相关距离呢？这都涉及直线的普通方程与参数方程、极坐标方程的相互转化问题.下面，我们通过实例来说明这一转化策略.

(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；

评注:第一小问中采用三角函数两角和与两角差的公式展开后，进而使用直线的普通方程与极坐标方程、参数方程的逆向转化即可解决，第二小问结合直线参数方程中t的几何意义得出t1+t2,t1t2的值，代入计算即可求出，而理解直线方程中参数的几何意义是解题关键.

5.3 直线与曲线间最值问题

点到直线的距离公式是很多求直线与曲线最值问题的必备利器，也是高考必考的热点之一，大部分都是和其他知识点交汇综合运用，很多问题最后都会转化为二次函数、三角函数或基本不等式模型中的最值问题来解决的.近几年高考题均有所考查，下面举一例说明其运用的情况.

(1)求C和l的直角坐标方程；

(2)求C上的点到l距离的最小值.

评注:第二小问设出C的参数方程，再利用点到直线的距离公式与辅助角公式以及三角函数的有界性，即可求出C上的点到l距离的最小值，因此三角函数的有界性是求解最值问题的关键.

四、教学思考

1.立足课本考纲范围，强化题根研究

坐标系与参数方程这类高考试题，很多都是来源于课本，这类试题都能在课本中找到试题的“影子”，课本给出了很好地例习题的示范与引领功能，这些都是近几年高考(或模拟)试题的“题根”所在.

2.厘清基本概念原理，明确算法算理

《普通高中数学课程标准(2017年版2020修订)》指出：数学运算是数学学科的六大核心素养之一.数学运算是解决问题的必备手段，通过高三阶段的强化复习，我们要厘清高中数学重要的数学概念、公式及原理，明白算法算理，能够自我建构前后知识间的逻辑体系，不至于造成概念模糊，公式乱用的现象.

例如，高考试卷第22题中涉及的圆的方程、圆的切线、直线与圆的参数方程、极坐标方程等问题都是课本中的最基础、最重要的核心概念、公式，教师应立足学情、课标和考纲要求，对这类问题进行分解式的专题复习，分解问题分层训练，降低学生思维切入点，螺旋式上升设置问题，引发学生主动思考，从而明确每一步的原理和依据是什么，解题思考的方向可能有哪些.例如，本文中过点F(4,1)作⊙C的两条切线是否存在，如果存在，都在哪里，能画出草图吗，这些都是具有深度和思考性的问题，逐步引导学生将思维推向深处，学会有条理地思考和表达问题，从而实现学生“心中有理，算法有据”的规范数学答题格式.

3.加强方法技能训练，提升核心素养

波利亚曾在《怎样解题》中强调：“中学数学的首要任务就是加强解题训练，掌握数学就意味着善于解题.”因此掌握高中数学中必要的常规解法、基本技巧，落实重要的一类问题的普遍解法是十分有必要的，数学是思维性很强的学科，在高考数学复习的过程中，解题教学应从重视“一课一练”向“一题一课”“一课多变”“多题化一”的方向转变，应从重视“刷题训练”向思维迁移与发散的方向转变，提炼数学问题的核心与本质.