细化算式结构 提升运算效率

广东 陈宇航

《2019年普通高等学校招生全国统一考试大纲说明》(理科)，明确把应用数学处理物理问题的能力列为高考考查的五大能力之一。学生若要顺利的解决物理问题往往需要较强的数学功底，而运算能力则是数学功底中最重要的一环。没有好的运算能力，就意味着没有好的思维能力。提高运算的效率，是提高学生成绩的关键。

物理学科的学习有其固有的规律，不同的物理原理和思考方法都对应着不同特征的数学表达。通过对高中阶段物理学习中相关题目的梳理，笔者发现在不同知识点的考查应用中，某些算式结构出现频率较高。通过对这些算式结构进行分析，可以帮助学生认识不同原理的出题规律，同时在熟悉算式结构的过程中增强对运算的信心。

【例1】(2019年全国卷Ⅲ第16题)用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两光滑斜面之间，如图1所示。两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上，倾角分别为30°和60°。重力加速度为g。当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2，则

图1

( )

【解析】对圆筒进行受力分析如图2所示。根据平衡条件有

图2

【总结】以上方程组中常见于牛顿定律的应用当中。牛顿定律是高中物理的核心内容之一，当对物体的状态进行分析时，牛顿第二定律是常用的切入手段，而对于水平和竖直方向进行受力分析列式就会得到含有三角函数的方程组。其解法为利用sin2θ+cos2θ=1消元。

如上述方程：①×sinθ+②×cosθ

可得A=C1sinθ+C2cosθ

或①×cosθ-②×sinθ

可得B=C1cosθ-C2sinθ

图3

( )

A.20 B.18 C.9.0 D.3.0

【解析】由题意可知，当摩托车在a点动能为E1时，有

【总结】上述方程组一般在平抛(类平抛)题型中出现。求解过程比较简单，通常是先在一次方程中求解t，然后代入其他公式中求解其他量。因此就不再赘述了。

【例3】(海南省2020年普通高中学业水平选择性考试第17题)(节选)如图4所示，光滑的四分之一圆弧轨道PQ竖直放置，底端与一水平传送带相切，一质量ma=1 kg的小物块a从圆弧轨道最高点P由静止释放，到最低点Q时与另一质量mb=3 kg小物块b发生弹性正碰(碰撞时间极短)。已知圆弧轨道半径R=0.8 m，传送带的长度L=1.25 m，传送带以速度v=1 m/s顺时针匀速转动，小物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.2，g=10 m/s2。求：

图4

(1)碰撞前瞬间小物块a对圆弧轨道的压力大小；

(2)碰后小物块a能上升的最大高度。

【解析】(1)设小物块a下滑到圆弧最低点未与小物块b相碰时的速度为va，

代入数据解得va=4 m/s

小物块a在圆弧轨道最低点时，根据牛顿第二定律有

代入数据解得FN=30 N

根据牛顿第三定律可知，碰撞前瞬间小物块a对圆弧轨道的压力大小为30 N。

设碰后小物块a上升的最大高度为h，根据机械能守恒定律有

解得h=0.2 m

【总结】此方程组常见于弹性碰撞的情境当中。几乎所有的碰撞都能列出动量守恒定律和能量守恒定律各一条方程式，而对这样的方程组通常会使用移项降次的方式求解。

再由⑧÷⑦，得v0+v1=v2⑨

四、(F-Δmg)Δt=Δmvt-Δmv0 ⑩ 掌握难度：中等

【例4】2021年7月4日，神舟十二号航天员刘伯明、汤洪波从空间站天和核心舱节点舱成功出舱，身上穿着我国自主研制的“飞天”舱外航天服，航天服内置微型喷气发动机和操纵系统，相当于微型载人航天器，未来有一天，航天员登陆月球，在月球表面悬停。已知航天服连同人和装备的总质量为m，喷气口的横截面积为S，气体的密度为ρ，且气体喷出前的速度为零，月球的质量为M，月球的半径为R，引力常量为G。要使航天员能在月球表面悬停，则单位时间内喷射的气体的质量为

( )

设Δt时间内，从喷口喷出的气体的速度为v，体积为ΔV，质量为Δm，则

Δm=ρΔV，ΔV=SvΔt

设航天员对气体的作用力为F′，月球表面的重力加速度为g，对Δt时间内喷射出来的气体，

由动量定理可得(F′+Δmg)Δt=Δmv-0

上式中ΔmgΔt很小，可忽略

根据牛顿第三定律有F=F′

【总结】此式主要是在竖直方向上应用动量定理的问题中出现。其关键技巧在于ΔmgΔt这个无穷小量可忽略。虽然这类问题在动量应用中常见，但由于难以与其他章节结合，所以在平时训练中出现的频率不高。

五、教学建议