基于改进混合蛙跳算法的结构多缺陷反演

杜成斌 张梁灿

(河海大学 力学与材料学院,南京 211100)

结构在服役期间,因环境侵蚀、荷载效应及自然灾害等影响,不可避免地出现损伤,进而引发各种工程问题[1].随着工程结构健康问题的日益凸显,已提出了许多结构无损检测方法.其中,基于结构动力响应进行结构缺陷识别的方法为结构无损检测提供了新的有效途径[2-3].然而运用传统有限元法(Finite Element Method,FEM)计算损伤结构的动力响应时前处理复杂,需要不断更新网格,效率较低[4].扩展有限元法(Extended Finite Element Method,XFEM)通过在FEM 位移模式中加入一些加强函数以反映不连续性,避免了网格重划分,并且具有计算网格和结构内部的几何或物理界面相互独立的特点,适于解决反演分析模型中识别结构内部复杂缺陷的问题[5-6].扩展有限元与智能算法相结合建立结构缺陷反演模型能有效反演出结构缺陷信息.Rabinovich等[7]和Waisman 等[8]较早基于遗传算法(Genetic Algorithm,GA)和XFEM 提出一种精确检测和识别结构中裂纹的数值模型；Sun等[9]和江守燕等[10]将扩展有限元法与人工蜂群算法(Artificial Bee Colony Algorithm,ABC)相结合进行结构内部孔洞状和裂纹状缺陷的反演；于鼐等[11]构建了损伤薄板的扩展有限元模型并使用径向基函数结合粒子群算法(Particle swarm optimization,PSO)进行损伤分析.然而,当结构中含有多个形状复杂的缺陷时,反演模型复杂度进一步提升,GA、ABC、PSO 等常用群智能优化算法都存在一定的局限性[12-14]：GA 收敛速度慢,处理复杂高维问题能力较差；ABC 中个体只基于旧解产生新解,优势个体无法在种群中快速传播,收敛速度慢；PSO 在迭代后期难以保持种群多样性,容易陷入局部最优.混合蛙跳算法(Shuffled Frog Leaping Algorithm,SFLA)结合模因算法和粒子群算法的优点,具有结构简单、收敛速度快、全局寻优能力强的特点.许多学者通过对SFLA 进行改进,克服了其容易陷入局部最优的不足,并应用于复杂多峰优化问题[15-17]：Ghatak等[15]基于改进的混合蛙跳算法研究配电系统中分布式静止补偿器的最佳尺寸和选址；代永强等[16]提出了基于混合蛙跳算法的高维生物医学数据特征选择方法,相较于GA 与PSO 获得了更高精度的解；Li等[17]提出一种基于改进混合蛙跳算法的系统可靠性分析方法并获得最优解.混合蛙跳算法已广泛应用于各类组合优化问题,但在结构内部缺陷反演分析方面的研究成果较少.

针对上述问题,本文基于动力扩展有限元和改进混合蛙跳算法建立结构多缺陷反演模型,应用损伤指标法初步确定损伤数目和位置初步信息,并运用改进混合蛙跳算法对损伤区域进行精确反演.将该模型应用于结构的多孔洞、裂纹簇缺陷的反演分析,并通过引入高斯白噪声研究该模型的鲁棒性.

1 动态扩展有限元简介

在XFEM 中,位移函数可近似表示为[5]：

其中：N i为结 点i处FEM 的插值形函数；u i为结 点i处FEM 的位移未知量；为单位分解函数；φj为XFEM 改进函数；a j为结点j的改进结点位移变量.

对于平面四节点等参单元,不考虑阻尼的动力扩展有限元控制方程为：

其中：M是整体质量矩阵；K是整体刚度矩阵；f是整体荷载列阵和u分别为加速度列阵和位移列阵.

采用Newmark-β时间积分方法对控制方程进行求解,如公式(3)～(5)所示：

在结构缺陷反演的正分析中,将XFEM 与描述不连续性的水平集方法相结合,避免了在计算迭代中对网格重划分.结构内部的孔洞、裂纹等缺陷可采用规则的圆形或椭圆形缺陷进行拟合[18].圆形孔洞的水平集函数可以表示为[5]：

式中：xc表示圆心的坐标向量；rc为半径.椭圆形孔洞的水平集函数可以表示为[5]

式中：(xc,yc)为椭圆的中心坐标；a、b分别为椭圆的长半轴和短半轴；β为椭圆的方向角.

2 改进混合蛙跳算法

2.1 经典混合蛙跳算法简介

混合蛙跳算法是一种基于群体的亚启发式协同搜索群智能算法,由Eusuff等[19]提出,其模拟了青蛙群体在田野的觅食行为.在青蛙种群中,每只青蛙的位置代表一个可行解.蛙群按照某种规则分成若干子群,子群最差解在最优个体的引导下进行局部搜索：记种群最优个体、第k个子群最优个体和最差个体分别为XG、和,由式(8)、(9)得到新解；若新解比原解更优则用新解代替原解,反之则用XG代替代入公式计算新解；若XG计算出的新解没有原解好,则在可行域内随机生成一个位置代替原解.当全部子群完成局部搜索后,将所有青蛙个体混合,回到全局搜索.重复执行局部搜索和全局混合搜索,直到满足算法停止条件.

混合蛙跳算法借鉴了模因算法的局部搜索策略,算法前期具有平衡局部深度搜索和全局信息交换的优势.在局部搜索中,子群内最差个体朝着最优个体的方向进化,加快了收敛速度,该原理类似粒子群算法.但同其它群智能优化算法一样,经典混合蛙跳算法也存在不足：在局部搜索阶段各个子群内最差解总是受最优解的引导来改进自身的位置,由此会导致种群成员的趋同性,降低蛙群的多样性,使得算法后期容易陷入局部最优,精度较低[20].

2.2 改进混合蛙跳算法

2.2.1 改进青蛙搜索方式

多数群智能优化算法中,个体在最后的迭代中只执行局部寻优,这可能导致陷入局部最优.周文峰等[21]通过引入花授粉算法[22]的全局搜索与局部搜索转换概率,调整位置迭代公式,提升粒子群算法跳出局部最优的能力.鉴于此,在混合蛙跳算法局部搜索中,引入搜索转换概率p以及从子群中随机选一个体协助当前个体进行搜索,即将式(10)代替式(9)作为子群最差个体更新公式.

优化迭代过程中,转换概率p控制着青蛙位置的更新方式.算法前期p较大,引入随机个体协助搜索概率较大,增强了个体之间信息交流；迭代后期p较小,引入随机个体概率减小,在不影响算法收敛速度的同时也能提高算法跳出局部最优的能力.

2.2.2 双中心策略

Liu等[23]和汤可宗等[13]通过研究发现,粒子群算法在迭代优化过程中,全体粒子个体的中心是一个十分关键的位置,可能比全局最优解更接近于真实值.由于混合蛙跳算法的子群最优个体和全局最优个体的质量直接影响到算法的性能,本文在混合蛙跳算法中引入双中心策略,其中广义中心定义为各子群最优蛙的中心(式11),狭义中心定义为各子群内青蛙的中心(式12).

其中：m表示子群个数；n为各个子群内成员个数；为第k个子群的最优个体；X k为第k个子群的成员.

将全局最优解XG与广义中心XGC适应度值进行比较,若广义中心优于全局最优解,则用XGC代替XG；反之则不变.将各个子群最优个体与该子群狭义中心适应度值进行比较,若狭义中心优于子群最优个体,则将代替反之则不变.双中心策略能够有效增加个体搜索范围,极大提升全局极值的质量,从而增强了整个种群解的质量,将改进的青蛙搜索方式以及双中心策略与经典蛙跳算法结合,得到改进混合蛙跳算法.

3 结构多缺陷反演模型

传统识别结构内部缺陷的方法是对整个结构建立预测模型,采用拓扑变量法不断迭代进化,进而拟合真实结构响应并得到缺陷参数[24].该方法需对整个模型进行迭代计算,计算量繁重.利用文献[6]提出的损伤指标法初步确定损伤数目和位置初步信息,在此基础上对该子区域运用群智能优化算法进行精确反演,能够在提高反演效率的同时得到高精度的缺陷参数.相应步骤如下：

步骤1：损伤指标法确定损伤数目和位置初步信息.

此步骤的目的是确定结构损伤的数目和粗略位置.采用文献[6]介绍的损伤指标法,根据损伤结构传感器位置处的真实响应与对应健康结构响应,计算各传感器的权重,并对各传感器权重插值成像得出等高线云图,云图极值数目即结构的损伤数目.将损伤区域范围定义为：边长为传感器间距两倍的正方形子区域,该子区域以权重值最大的传感器为中点.

步骤2：混合蛙跳算法精确识别缺陷参数.

根据步骤1所得到的损伤数目和损伤区域,缩小智能算法对结构模型损伤的预测范围.接着,应用改进混合蛙跳算法对损伤区域进行迭代反演,直到适应度函数收敛.具体的流程图如图1所示.

图1 结构多缺陷识别模型流程图

4 数值算例

4.1 双圆形缺陷反演

如图2(a)所示,边长为5 m 的正方形薄板下侧受固定约束,右侧距上边界0.8 m 处受冲击荷载F激励,板内按间距1 m 均匀布置30个传感器(图2(b)中蓝色小方框).薄板弹性模量E=2.2×104MPa,泊松比υ=0.167.薄板内含有两个圆形缺陷,一圆形缺陷圆心坐标(X1,Y1)=(1.51,3.00),半径R1=0.19 m；另一圆形缺陷圆心坐标为(X2,Y2)=(3.67,2.22),半径R2=0.14 m.利用XFEM 对含缺陷薄板进行建模(图2(b)),结构网格为25×25,单元边长为0.2 m.

图2 双圆缺陷薄板结构、模型、损伤指标值云图

首先应用损伤指标法,根据含缺陷薄板模型以及对应的健康状态模型测点处动力响应值计算得到各传感器权重,并进行双三次插值得到损伤指标值云图(图2(c)).根据损伤指标值云图中两个极大值,可以判断薄板内含有两个缺陷,以及缺陷大致位置.以两个极大值对应传感器位置为中心,边长为两倍传感器间距的正方形区域作为改进混合蛙跳算法反演区域(图3所示绿色方框区域).改进SFLA 中参数设定为：种群数量S=100,子群数量m=20,每个子群个体数量n=5.种群进化最大迭代次数T=500,子群最大局部搜索次数L=2.

图3 双圆形缺陷薄板缺陷识别过程

图3给出了改进SFLA 精确反演薄板缺陷参数的过程,其中黑色圆形区域为结构实际缺陷,红色圆形区域表示反演结果.从反演结果可见,当迭代至第51步时,算法已经捕捉到两个缺陷的位置与孔径信息.第73步迭代所得红色圆形区域几乎与黑色圆形区域重叠,优化算法达到收敛.表1 给出改进SFLA反演双圆缺陷薄板结构第73步迭代结果,其最大误差不超过3%,结果精度高.

表1 改进SFLA反演双圆缺陷结果

图4给出了改进SFLA 与经典SFLA 以及其他常用的群智能优化算法在缺陷反演迭代过程中,适应度函数值随迭代次数的变化关系,其中绿色正方形点线、黄色三角形点线、蓝色圆形点线和红色菱形点线分别代表粒子群算法、蜂群算法[10]、经典混合蛙跳算法以及本文提出的改进混合蛙跳算法反演得到的适应度值的对数值收敛曲线(下同).可以看出,改进SFLA 在迭代前期适应度函数值持续下降,算法具有较好的全局搜索能力；到达73步以后,适应度值收敛曲线总体趋于平稳,优化算法达到收敛.相对于未改进的经典SFLA、ABC算法,改进SFLA 收敛速度更快,收敛精度比3个对比算法都要高,这得益于2.2节中提出的改进青蛙搜索方法以及双中心策略,这些改进策略能够帮助算法更快找到高质量的解,从而引导整个种群向最优解快速进化,提高算法收敛速度和收敛精度.由此可见,本文提出的基于改进混合蛙跳算法和动力响应的结构缺陷识别模型具有收敛快,精度高的优点.

图4 双圆缺陷反演收敛曲线

4.2 双不规则缺陷反演

考虑到实际工程结构中,往往存在多个形状复杂的缺陷,本部分将薄板内的缺陷设置为不规则形状,每个不规则缺陷由两个圆以及一椭圆的交集构成,如图5(a)所示.算例中薄板结构的材料参数、几何尺寸和约束条件等与4.1节例子相同,并采用XFEM 对其进行1∶1建模,如图5(b)所示.

图5 双不规则缺陷薄板结构、模型、损伤指标值云图

反演迭代前应用动力损伤指标法确定缺陷数目和大致位置,如图5(c)所示.接着采用两个椭圆预测缺陷进行迭代逼近真实缺陷,每个椭圆有5个参数,分别为中心点坐标(Xc,Yc),长轴a,短轴b和方位角θ.

图6展示了不同迭代步中,基于改进SFLA 的缺陷识别模型对薄板中不规则缺陷信息的反演结果.当预测模型迭代到第74步时,不规则缺陷的位置已经被锁定.随着迭代步数的增加,预测的缺陷位置及大小逐渐逼近真实缺陷.在第104步迭代后,预测模型所得到的两个椭圆缺陷与真实缺陷基本重叠.

图6 双不规则缺陷薄板缺陷识别过程

表2给出了改进SFLA 反演所得两个椭圆预测缺陷的形心与真实缺陷形心的位置信息,误差在2%以内,说明基于改进混合蛙跳算法的结构缺陷识别模型同样适用于多个不规则缺陷的反演.

表2 改进SFLA反演双不规则缺陷结果

图7为不同优化算法模型得到的曲线收敛图.使用椭圆缺陷进行逼近真实缺陷,参数相比圆形缺陷更多,优化问题更为复杂.迭代过程中,由于算法搜索策略的局限性,经典SFLA 以及ABC 算法收敛较为缓慢.而青蛙搜索方式的改进以及双中心策略使得改进SFLA 在复杂高维问题中的优势更为明显,在第104次迭代步后适应度函数收敛曲线趋于平缓,算法在允许误差范围内达到收敛,得到精度更高的解.

图7 不规则缺陷反演收敛曲线

4.3 双裂纹簇缺陷反演

混凝土结构由于温度变化、不均匀沉陷等原因会产生裂缝,当结构受到荷载、温差等作用之后,裂纹会不断扩展和连通,形成多裂纹交叉的裂纹簇缺陷[25].本节研究薄板结构裂纹簇缺陷的反演问题,薄板结构的材料参数、几何尺寸和约束条件与4.1 节例子相同,所不同的是薄板内含有两个裂纹簇缺陷,每个裂纹簇由两条长度0.6 m 的裂纹相交构成,双裂纹簇薄板结构及其XFEM 模型如图8(a)与8(b)所示.

通过动力损伤指标法确定缺陷数目和大致位置,如图8(c)所示.接着,采用两个椭圆预测缺陷进行迭代逼近真实裂纹簇缺陷,每个椭圆有5个参数,分别为中心点坐标(Xc,Yc),长轴a,短轴b和方位角θ.

图8 双裂纹簇缺陷薄板结构、模型、损伤指标值云图

图9展示了基于改进SFLA 的缺陷识别模型精确反演含双裂纹簇缺陷薄板的过程.预测模型迭代到第101步时已经接近不规则缺陷的大致位置,并逐渐逼近真实缺陷；第129步迭代结果较精确地锁定真实裂纹簇缺陷位置和方向.

图9 双裂纹簇缺陷薄板缺陷识别过程

表3给出改进SFLA 反演双裂纹簇所得两个细长椭圆预测缺陷的形心与真实裂纹簇形心的位置信息,误差在5%以内,结果满足精度要求.

表3 改进SFLA反演双裂纹簇缺陷结果

图10为不同优化算法模型反演双裂纹簇缺陷得到的适应度函数值曲线收敛图.改进SFLA 在129次迭代后达到收敛,收敛速度与结果精度都比其余3种算法更优.

图10 裂纹簇缺陷反演收敛曲线

4.4 改进SFLA算法的鲁棒性分析

在实际工程健康监测中,受制于仪器的性能和外界环境影响等原因,仪器所测得的信号与结构真实信息相比存在一定的误差.本文将研究改进SFLA 算法在有信号误差情况下的有效性问题.

本例在4.1例子的基础上,引进高斯白噪声,通过在结构实际响应值中引入不同水平(5%、10%)的误差,探讨结构动力响应误差对改进SFLA 算法反演结果的影响.

表4显示了在不同水平的高斯白噪声影响下,带双圆缺陷薄板结构(同4.1节结构)的反演结果.在测量信息存在5%高斯白噪声的情况下,缺陷参数识别信息最大误差不超过6%；当存在10%的高斯白噪声影响下,反演结果误差不超过10%.虽然有噪声情况下反演结果精度略低于无噪声情况下结果的精度,但该反演模型依旧可以较为准确定位到缺陷信息,表明该模型具有较好的抗干扰能力,鲁棒性强.

表4 不同水平噪声影响下结构缺陷识别结果

5 结论

本文通过在混合蛙跳算法中改进青蛙搜索方式以及引入双中心策略,帮助算法快速找到高质量的解并引导整个种群向最优解进化,提高算法收敛速度和避免陷入局部最优的能力.将改进的混合蛙跳算法与动力扩展有限元法相结合,建立了基于结构振动响应值的结构多缺陷反演模型.将该模型应用于结构圆形孔洞、不规则孔洞以及裂纹簇缺陷的反演分析,研究表明,基于改进混合蛙跳算法与动力XFEM 的结构多缺陷反演模型能够快速准确反演出结构孔洞、裂纹这类复杂缺陷的信息,改进混合蛙跳算法相比于经典混合蛙跳算法以及常用的蜂群算法、粒子群算法具有收敛速度快、缺陷信息定位准确的优点,且对于含噪信号模型具有较好的鲁棒性.

当前研究中结构的XFEM 模型采用全局同尺寸网格,计算量较大.后续研究中可以扩展到损伤结构多尺度网格缺陷分析,针对结构损伤区域与健康区域对结构模型进行不同尺度的网格划分,以提高正分析效率.