一道含参抛物线试题的命题思考

曾剑凡

二次函数是初中数学的一个重点和难点.二次函数的考查可以从多方面多角度对学生的数学核心素养进行考查，提高学生对数学基础知识的掌握水平，也有利于提高学生的逻辑思维、知识迁移及综合分析并应用数学知识解决实际问题等能力，遵循命题原则，基于几何直观、数学运算及转化能力的考查，本文以“2019年莆田市质检”和“2018年湖州中考”中的两道关于二次函数的试题为原始模型展示了一道含参抛物线试题的命制过程.

1 试题展示

己知二次函数的解析式为C：y= --x2+ 4mx -m.

（1）不论m取何值，抛物线C的顶点都在某一函数的图象上，求该函数的解析式;

（2）若m=1，将抛物线C沿着直线y= 2x的方向平移，得到的抛物线与x轴交于A，B两点，且AB=4，求平移后的抛物线的解析式;

（3）当0

2 命题过程

2.1 命题思路

二次函数是初中数学的一个重要考点，含参抛物线的有关计算更是中考压轴题里面常考的题型，这类题型的常见特点是恒过定点问题、顶点位置问题、与x轴的交点问题等，这些类型的题目主要是为了考查学生对二次函数基本知识的掌握程度、学生利用数形结合及综合应用所学知识解决问题的能力及探究能力，因此，本次的命题就以考虑二次函数在初中课程中的重要性及含参二次函数常见题型的特点作为切入点进行命题，主要为了考查二次函数的顶点坐标、函数解析式、一元二次方程根的存在性、韦达定理等基本知识与概念，考查学生数形结合与化归、转化等数学思想方法的掌握，同时也考查学生综合运用所学知识及探究的能力.

2.2 原始模型

原始模型1 （2019年福建省莆田市质检题）函数Yi=kx2+ ax+a的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），函数y2= kx2+ bx+b的图象与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），其中k≠0，a≠b.

（1）求证：函数y1与y2的图象交点落在一条定直线上;

（2）若AB= CD，求a，b和k应满足的关系式;

（3）是否存在函数y1与y2，使得B，C为线段AD的三等分点？若存在，求a/b的值;若不存在，说明理由，

原始模型2（2018年浙江省湖州市中考题）在平面直角坐标系xoy中，已知点M，N的坐标分别为（-1，2），（2，1），若抛物线y=ax- -x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）.

以上两道试题是以二次函数与一元二次方程根的关系、二次函数解析式中的系数与函数图象特点之间的关联为载体，考查了学生的推理能力，对学生的基础知识进行考查的同时考查学生的数形结合能力和知识迁移能力.

2.3 命题实施

一道试题应注重对学生的基础知识、基本技能、基本思想方法的考查[1]，课程标准对二次函数基本性质的考查达到探究性理解的水平，因此，在命题过程中，遵循命题原则（如：导向性原则、基础性原则、适度开放性原则、准确性及相容性等[2，3]），实现命题源于教材、立足基础、关注本质、内隐探究及考查能力的目的，本试题的设置是为了考查二次函数的综合知识、培养学生“析数画形”和“释形读数”的能力，就应该围绕二次函数最核心、最本质的特征进行命题，

初稿题目己知二次函数的解析式为C：y=一X2+4mx -m.（1）不论m取何值，抛物线C的顶点都在某一函数的图象上.求该函数的解析式;（2）将抛物线C沿着直线y= 2x的方向平移，得到的抛物线与x轴交于A，B两点，且AB=4.求m的值;（3）当0

分析初稿中第（1）问考查己知函数顶点坐标的计算方法及观察两个代数式之间所满足的等式关系;第（2）在第（1）问求出顶点坐标的基础上与平移问题相结合，解题只需要利用顶点坐标在己知直线上、与x轴的交点坐标求法及两点间的距离公式即可求出，思路略显简单，需要加深难度，但又不会过分复杂，

第二稿主要改动在于将第（2）问改为：若m=1，将抛物线C沿着直线v= 2x的方向平移，得到的抛物线与x轴交于A，B两点，且AB=4.求平移后的抛物线的解析式;

分析改動后的第（2）问取定m的值，将抛物线特殊化，让学生领会从一般到特殊的过程;在求解过程中需要求出平移过程中顶点坐标所在的直线，可借助图形来感知，培养学生数形结合的思想，求解第（3）问只需要联立己知抛物线与直线方程，结合转化思想或一元二次方程的相关知识即可解决，但数学计算能力也是一个重要的目标，此题计算过程比较简单，因此，考虑将直线方程复杂化，将其认为是一条与m有关的直线，

第三稿主要改动在于将第（3）问改为：当0

在整个题目的设计与修改过程中，考虑到常见的题型是顶点位置在某个己知的函数图象上求参数，那么反过来的问题当然也值得探究，于是设计出第（1）小题，该问题与原始模型有异曲同工之处;考虑到二次函数图形的变换一般是上下左右平移，这类平移后的函数解析式学生可以用平移规律求得，而如果沿着某一条斜线方向平移呢？于是设计第（2）小题;两个函数的交点问题可以转化为一个函数与x轴的交点问题，考查学生综合应用知识的能力，于是设计第（3）小题.

2.4解法分析

本题的设计是一道二次函数的综合题，在求解过程中认真审题、理解题意、探究解题思路，最后正确作答[4，5].不仅要考虑二次函数的基本知识概念，也要考虑题目所隐含的重要数学思想，如转化与化归思想、数形结合思想及方程的思想等，正确认识图形的特征与数、式之间的关系，从而确定正确的解答思路，解题有三个思维层次，即一般性解决，即明确解题的总体方向;功能性解决，即选择解题方法;特殊性解决，即利用数学知识和技巧具体解答问题，

第（1）小题中抛物线C的顶点是与m有关的量，考生要根据“不论m取何值，抛物线C的顶点都在某一函数的图象上”这一条件求出该函数的解析式，相当于要找出抛物线C的顶点坐标所要满足的等式关系（一般性解决）;为了找等量关系，需要求出C的顶点坐标，探索顶点坐标之间的等量关系（功能性解决）;根据二次函数顶点坐标公式求出顶点坐标，并建立等式关系求得函数D的解析式（特殊性解决）.这一小题求解的关键点在于求出顶点坐标并探究坐标之前的关系，而易错点在于含参二次函数由一般式转化为顶点式学生在计算上容易出现问题，

第（2）小题要求抛物线沿斜线平移后的解析式，只要确定顶点位置就可以了，也就是说相当于找出满足“抛物线C沿着直线y= 2x的方向平移，得到的抛物线与x轴交于A，B两点，且AB=4”的抛物线的顶点坐标就可以了（一般性解决）;为了求出平移后的顶点坐标，需要知道抛物线沿斜线平移有什么特点，满足什么样的等式，根据这些特点和等式关系求出顶点坐标（功能性解决）;根据平移后的抛物线顶点均在一条与直线y= 2x平行的特点可以根据“设横表纵”的方法写出顶点坐标，再利用平移后的抛物线与x轴两个交点的距离为4这一条件，结合两点间的距离公式和一元二次方程的韦达定理求出顶点坐标（特殊性解决）.在解题过程中，关键是利用数形结合的思想找出抛物线沿斜线平移有什么特点，这也是本小题的一个易错点和难点，

第（3）小题中要根据“当0

3 试题评析

本题突出初中数学学科的特点，着重考查学生的综合运用数学思维方法（数形结合、转化等）分析问题、解决问题的能力，试题以学科素养为导向，比较全面地覆盖二次函数和一元二次方程的基础知识（顶点坐标、解析式、与x轴的交点坐标、求根公式、韦达定理等），体现全面性、基础性的考查要求;通过考查二次函数与一元二次方程的联系、二次函数与平移的结合凸显综合性，试题以数学基础知识为载体，重点考查学生的理性思维和逻辑推理能力，固本强基，为高中的数学学习奠定一定的基础，第（1）小题通过由解析式及顶点坐标公式求点的坐标，己知条件中点在某一函数图象，本质是顶点坐标所满足的函数关系式，考查学生分析、猜想能力，尝试从不同角度考查学生获取“数”与“形”的相关信息，属于基础性考查，第（2）小题表面是抛物线的平移，实质是顶点位置的变化，有利于学生综合运用数学知识来解决问题，涵盖了方程和函数等知识，确保了试题具有较好的效度和可推广性，第（3）小题转换条件，进一步考查函数图象特点与方程之间的关系，有利于学生猜想、分析和推理，又能考查数形结合、方程与函数、转化等思想和方法，以此考查并进而增强学生的探索能力、发现能力、获取并处理信息的能力、综合运用数学知识能力和创新能力.

4 命题拓展

二次函数与平面几何的综合命题，能够考查学生对代数与几何之间的把握程度，综合运用所学知识解决问题的能力，以及能很好地考查学生数形结合及探究，因此，本题还可以通过在平面直角坐标系中将二次函数与平面几何的三角形、对称等知识结合起来，作出如下三种方式的拓展：

拓展方案1顶点若要求在一个固定的三角形内部，求参数m的取值范围，也可以是顶点是在己知三角形的内部的整点，求m值，

拓展方案2題（2）中平移后抛物线的顶点、与x轴两个交点若构成等边三角形，求m值，

拓展方案3结合抛物线与x轴，y轴对称后的图形进一步分析与直线y=x+4的交点个数问题.

5 结束语

以二次函数为背景的试题能够全面考查用数析形、以形析数的技能与计算能力，能够突出学科素养导向，全面覆盖基础知识，凸显综合性、应用性，在考查学生思维的灵活性、创新性及广阔性等方面具有较高的效度，这类试题的命制值得关注，

参考文献

[1]李远宏.谈课改后初中数学中考命题变化[J].课程改革，2018 （02）：136

[2]胡国平.初中数学命题技巧和应用策略研究[J].新课程·中学， 2018（10）：18

[3]朱小扣.初中数学命题应遵循的原则[J].理科考试研究（初中版），2018 （06）：4-5

[4]刘宁.小议抛物线解题的三个层次[J].数理化解题研究，2018 （10）：42-43

[5]孙小娟.浅谈初中数学解题策略[J].基础教育论坛（中旬刊），2019（07）：28-29

[6]蔡德清.中考数学压轴题的命题研究与反思[J].福建中学数学，2010（11）：11-14