Arrow型蜂窝结构抛物柱面成型蚁狮算法优化

姜恒坤,张华振,,候仰青,伍 科

(1.中国空间技术研究院西安分院,陕西 西安 7 1 0 0 0 0;2.上海跃盛信息技术有限公司,上海 200240)

1 前 言

随着太空空间研究事业的发展,需采用直径更大的星载天线,并且对天线型面精度的要求也越来越高。空间抛物柱面天线具有方向性强、增益高、易于光束自动扫描等优点,因而近几年成为了空间天线研究的一大热点。

抛物柱面天线在20 世纪末得到了初步研究,在21世纪初得到了进一步的发展。2003年John等[1]通过研制膜结构,验证了其满足型面精度要求的技术可行性。2004年Soykasap 等[2]研究了双向可展开弹性薄壳抛物柱面天线。2004年Greschik 等[3]研究了重力加速度与边界条件对在轨薄膜抛物柱面反射面的影响。2007年Im 等[4]采用薄膜材料设计了半尺寸PR-2抛物柱面天线原型模型。2010年Leifer等[5]研究了不同重力对抛物形膜反射面的型面影响。

研究初期天线反射面多采用金属材料等制成,其缺点为质量重、刚度大等,而薄膜材料因为容易产生褶皱影响精度而限制了它的设计口径及应用范围[6-7]。

蜂窝结构与其它传统材料相比,具有轻质、高比强度、高比刚度、高剪切模量,抗冲击、隔热、可设计性强、可减小应力集中等特点。零泊松比的结构在平面内正交方向的变形不会产生耦合,而当其受到弯曲时,通常情况下会表现为圆柱形[8]。 类似于Silicomb[9-10],Chevron[11]和Accordion[12]这类蜂窝结构,它们的泊松比通常表现为0。弯曲型面如图1所示,这使得零泊松比结构更适合于只表现出单曲率弯曲或一个方向变形的结构[8,13]。

图1 三种泊松比蜂窝结构柱面成型 (a)ZPR 单曲面;(b)PPR 鞍 型 面;(c)NPR 凸 面Fig.1 Images of“tubes”formed from honeycombs with(a)ZPR-single curve;(b)PPR-concave;(c)NPR-convex

Arrow型蜂窝是一种结构较为简单的零泊松比蜂窝,它的性能只与胞壁厚度、长度、高度以及夹角四个几何参数相关,在一定情况下与其他蜂窝相比具有近似甚至更加优异的力学性能。本研究将采用Arrow 型蜂窝结构变形拟合抛物柱面天线的反射面,通过蚁狮优化算法优化型面精度,以此验证零泊松比蜂窝结构用于抛物柱面天线的可行性以及蚁狮优化算法的有效性。

2 柱面成型

本研究选取Arrow 型零泊松比蜂窝结构作为研究对象,目标曲面为抛物柱面。由于Arrow 型蜂窝本身具有零泊松比的特性,所以在几何分析中可以忽略蜂窝板宽度方向的影响,将其视为二维平面结构来分析加载的具体情况。利用UG-NX 建立蜂窝板的三维模型(122 mm×100 mm×2.5 mm)如图2所示,分析计算采用ABAQUS,单元属性为S4R。

图2 Arrow 型蜂窝板几何模型Fig.2 Geometry of Arrow honeycomb

假设蜂窝板变形前后长度不会发生变化,在蜂窝板两侧施加对称的转角和位移载荷,如图3所示。

图3 柱面成型加载方式示意图Fig.3 Illustration of loading method

图中参数表示为:

式中:L为蜂窝板原长,y为目标曲线。

由于整体结构的尺寸限制,计算过程中不能直接忽略厚度的影响。在弯曲加载过程中,压缩面板长会减小而拉伸面相比原长会增加,这使得在上述计算中按蜂窝板原长计算得到的Δl值可能偏小,所以在计算中需要考虑蜂窝板厚度带来的影响,如图4所示。

图4 板厚h 的蜂窝板加载方式示意图Fig.4 Illustration of loading method considering thickness-h

式中:h为蜂窝板厚度。

按照计算出的载荷进行有限元分析,变形后云图表现出在宽度方向变形的一致性,如图5所示,尤其是弯曲挠度的一致性,这点证明了抛物柱面成型的有效性及忽略其宽度方向变形影响的可行性。

图5 蜂窝板变形有限元仿真Fig.5 FE simulation of honeycomb deformation

上述通过几何计算得出了曲面成型所需载荷,虽然考虑了蜂窝板厚度的影响,但由于变形过程中可能会产生的非线性变形,计算得出的载荷并不是使得型面精度最高的最优解,因此可以针对型面精度进行优化。

3 蚁狮优化算法(ALO)概述

3.1 ALO 背景

ALO 算法模拟了自然界中蚁狮诱捕蚂蚁,最早由Mirjalili[14]于2015年提出。

蚁狮的幼虫会在沙地上一边旋转一边向下钻而形成一个漏斗状的陷阱[15-17],自身藏在漏斗最底端沙子下面将沙子往外弹抛,使得陷阱周围平滑陡峭[18]。

当蚂蚁或其他小虫爬入陷阱时因为沙子松动而滑下,蚁狮则不断向外弹抛沙子,使猎物被流沙推进陷阱中心而吃掉。然后把尸体扔出陷阱准备下一次的捕猎[19]。

ALO 算法的流程如图6所示。

图6 蚁狮优化算法的流程图Fig.6 Flow chart of ALO algorithm

3.2 ALO 算法

ALO 算法是模拟蚁狮和蚂蚁在捕食过程中的相互关系而得出的,为了构建这种关系的模型。需要蚂蚁在搜索空间中移动,而蚁狮来捕捉它们,并且通过构建陷阱捕食而变得适应度更高。因为在自然界中蚂蚁是随机移动的,因此采用如下所示的一个随机步长来模拟蚂蚁的活动过程:

式中:n为迭代的最大次数,t为表示迭代次数,cumsum是计算累积的步长和的函数,r(t)是一个随机函数,可以表示为:

优化过程中,蚂蚁的位置矩阵表示为:

式中:Anti,j为第i只蚂蚁的第j个变量值(变量维度),n为蚂蚁数,d为变量数。

每一只蚂蚁的位置都表示问题的一个优化参数值。为了得到每只蚂蚁的适应度,需在优化过程中采用目标函数计算出蚂蚁的适应度矩阵:

式中:F为适应度函数(目标函数)。

式中:AntLi,j为第i只蚁狮的第j个变量值(变量维度),n为蚁狮数,d为变量数,F为适应度函数(目标函数)。

3.2.1 蚂蚁活动的随机步长 在优化过程中,蚂蚁通过式(5)来保证随机活动,为了保证活动范围包含在搜索空间内,需要对其进行正规化:

式中:ai为第i个变量活动的最小随机步长,bi为第i个变量活动的最大随机步长,c为第i个变量在第t次迭代时的最小值,d为第i个变量在第t次迭代时的最大值。

3.2.2 选取猎物 如上文所述,蚂蚁活动随机步长的大小会受到蚁狮所挖陷阱的影响,这种行为具体可以描述为下式:

式中:ct为第t次迭代时所有变量中的最小值;dt为第t次迭代时所有变量中的最大值;c为第i只蚂蚁所有变量的最小值;d为第i只蚂蚁所有变量的最大值;Antlion为第j只蚁狮在第t次迭代时的位置。

3.2.3 建造陷阱 蚁狮优化算法采用轮盘算子来模仿自然界中蚁狮捕食的行为,选取标准按照每只蚁狮在优化过程中的适应度,适应度越高的蚁狮捕捉到蚂蚁的的可能性越高。

3.2.4 蚂蚁坠入陷阱 按照这种模仿的捕食机制,蚁狮会依照其适应度大小建造相应大小的陷阱,而蚂蚁则在其周围随机活动。然而,蚁狮一旦意识到有蚂蚁进入陷阱,它会将陷阱中心里的沙粒抛出使得蚂蚁慢慢滑下,而蚂蚁则会尽力挣脱试图爬出。以下式来模拟蚂蚁的这种行为:

式中:I为比例系数。

3.2.5 抓住猎物并且重建陷阱 这是整个捕食过程的最后一步,蚂蚁掉到陷阱底部被蚁狮抓住到沙子里然后吃掉。在这一步中,调用目标函数分别计算蚂蚁和捕食它的蚁狮的适应度,假设当蚂蚁的适应度大于捕食它的蚁狮时(被拖入沙子)蚂蚁就被抓住了,然后蚁狮的位置移动到其最近捕食的蚂蚁的位置重新构建陷阱来进行下一次捕食。具体表示为:

式中:t为当前迭代次数,Antlion为第j只蚁狮在第t次迭代时的位置,Ant为第i只蚂蚁在第t次迭代时的位置。

3.2.6 精英选择 在优化算法迭代的过程中,精英选择是选取每一次迭代中最优解的重要步骤。在ALO 算法中,选取每一次迭代中最优的蚁狮作为精英个体,它可以影响所有蚂蚁在迭代过程中的活动,因此可以假设每只蚂蚁同时在其由轮盘选出的对应蚁狮和精英个体周围活动,具体表示为:

式中:R为第t次迭代中在有轮盘选出的蚁狮周围活动的随机步长,R为第t次迭代中在精英个体周围活动的随机步长。

4 目标函数

本研究优化的目标函数为输入不同的载荷r(rotation转角)和d(displacement位移),分析计算后输出变形曲面的RMS。表示为:

函数示意图如图7所示。

图7 目标函数示意图Fig.7 Schematic diagram of objective function

4.1 ABAQUS计算

本研究中对于蜂窝板模型的变形计算采用有限元分析软件ABAQUS,模型为用Python 语言编写的Inp文件。为蚁狮算法中的蚂蚁和蚁狮赋予两个变量值,分别用Anti,1;AntLi,1和Anti,2;AntLi,2表示施加的载荷r和d。第一次初始化蚂蚁和蚁狮的位置后,需要用蚁狮的位置参数改写Inp文件中的输入载荷。之后的每一次迭代过程中,在改变了蚂蚁的位置后,分别用每一只蚂蚁的位置参数改写Inp文件中的输入参数r和d,然后调用ABAQUS软件计算新的有限元模型。

4.2 曲面拟合与RMS计算

函数输出RMS表示加载不同载荷变形后的结果与理想曲面之间的差值[20-21],根据抛物柱面的几何表达式,可以表示为:

由于不同的载荷下蜂窝板的变形量并不相同,为了保证上式适用于每一个模型,需要先进行曲面拟合后再计算RMS。提取计算结果中蜂窝板弯曲内侧表面所有节点的坐标数据,采用最小二乘法进行抛物面拟合,然后计算其表面RMS。

5 计算结果

假定目标抛物柱面焦距取为40 mm,标准曲线表示为y=x2/160,首先采用几何计算的方法求得该模型变形成理想抛物柱面所需转角和位移载荷,当不考虑蜂窝板厚度时(式(2),式(3))计算的转角和位移载荷为:r=0.616 rad,d=4.4 mm;

若考虑蜂窝板厚度,采用式(4)对位移载荷修正后结果为:r=0.616 rad,d=5.12 mm。

分别在ABAQUS中为蜂窝板施加上述载荷,然后计算变形后的型面精度。结果如图8所示。

图8 几何计算结果Fig.8 Results of geometric loads

图中A 表示不考虑蜂窝板厚度,B表示考虑厚度影响计算出的转角、位移和加载变形后型面的RMS。由图可得在几何计算中,蜂窝板厚度对于柱面成型所需载荷的影响只存在于位移载荷d,当施加考虑蜂窝板厚度计算得出的载荷时,变形后曲面的型面精度大幅提高,RMS 降低了86.0%。这表明当蜂窝板厚度相比其长度和宽度并不能忽略时,其载荷计算中必须考虑厚度的影响。由于变形过程中的非线性变化,板厚对于型面精度的影响并不能通过简单的几何计算得到,因此需对其进行优化。

采用ALO 算法求解使得型面精度最高的最优载荷r和d,用Matlab自带优化函数fmincon(有效集法Active Set)作为对照组,验证ALO 的有效性和优异性能,算法迭代过程如图9,10所示。

图9 ALO 算法优化迭代过程Fig.9 Convergence curve of ALO algorithm

分析结果充分证明了对于零泊松比的Arrow 型蜂窝结构,当施加适当的载荷时,其完全可形成具有一定精度的抛物柱面,证明了将其应用到柱面天线的可行性。

同时可以看出,应用ALO 算法求解目标问题最优解时,迭代过程很快趋于收敛,最终优化结果如表1所示。

表1 ALO 与fmincon计算结果Table 1 Results of ALO and fmincon

结果很好地证明了ALO 算法的有效性,相比于考虑板厚的几何计算结果,RMS下降了45.5%,这一结果与fmincon的计算结果相差不大,二者RMS 都达到了0.071 mm 左右。但是由图9和图10对比可以看出,ALO 算法在迭代的第6步开始趋于收敛,而fmincon则从迭代的第42 步开始才趋于平稳,是ALO 算法的7 倍。这表明相比于一般传统算法,ALO 算法可以更加高效快速的解决优化问题,而且其迭代过程中目标值的变化趋势平稳,也证明了其具有很高的计算效率。

图10 Fmincon优化迭代过程Fig.10 Convergence curve of fmincon optimism

图11表示了在迭代过程中根据蚂蚁位置计算的每一只蚂蚁的适应度,可以看出随着优化进行,所有蚂蚁的位置逐渐接近,这表明蚂蚁的活动范围在不断减小,为ALO 算法的收敛性提供了依据。而每一次迭代中适应度最高的蚂蚁位置将会更新精英蚁狮的位置,所有个体位置最后逐渐接近,由此得到目标函数最优解。

图11 优化中每只蚂蚁的适应度Fig.11 Search history of ALO algorithm

此外,在采用fmincon算法的分析过程中,变量初值的选取会直接影响到计算结果,如果变量初值与目标值相差过大,则很容易出现局部收敛,文中结果是采用几何计算载荷作为初值才得到了与ALO算法近似的结果,而ALO 算法并不需要设定变量初值,它可以通过个体的随机移动来避免局部最优的出现。

6 结 论

本研究采用转角载荷和位移载荷结合的方式,对零泊松比Arrow 型蜂窝结构进行了抛物柱面成型的几何计算及有限元模拟,并采用ALO 算法对成型曲面型面精度进行了优化,得到了两个优化载荷(r=0.5883 rad,d=5.0530 mm)使得变形后抛物柱面型面精度进一步提高,达到了RMS=0.0713 mm,与计算板厚的型面精度(RMS=0.1308 mm)相比下降了45.5%。优化结果充分证明了将Arrow 型零泊松比蜂窝结构应用到抛物柱面天线,用来制造高精度反射面的可行性。同时相比于传统的优化算法,本研究中采用的ALO 算法也表现出优异的求解性能,收敛过程更加平稳高效,相比于文中的有效集法迭代步数减少了7倍,而且对于优化变量较少的问题,它可以很好得避免局部最优。算法本身与目标问题相互独立,与目标函数初值选取无关,证明了采用ALO 算法解决现实中初值未知的优化问题的可行性。